孟 勇

(合肥北辰教育培訓(xùn)學(xué)校有限公司，安徽 合肥 230041)

1 引言

拋體運(yùn)動(dòng)是指以一定的初速度按照不同的角度將物體拋出，物體僅在重力作用下所做作的運(yùn)動(dòng).針對(duì)不同的拋射角度可以將拋體運(yùn)動(dòng)分為豎直上拋、豎直下拋、平拋運(yùn)動(dòng)與斜拋運(yùn)動(dòng)。在日常生活中拋體運(yùn)動(dòng)隨處可見(jiàn)，同時(shí)在物理教學(xué)中它也擔(dān)當(dāng)重要的角色，并且該問(wèn)題也被相關(guān)專業(yè)學(xué)者不斷地研究。例如在文獻(xiàn)[1]給出了任意時(shí)刻拋體運(yùn)動(dòng)的曲率半徑的表達(dá)式。同時(shí)在文獻(xiàn)[2]中將拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律直接用于指導(dǎo)體育運(yùn)動(dòng)，從而提高比賽成績(jī)。但是作為自然界真實(shí)的拋體運(yùn)動(dòng)勢(shì)必會(huì)受到空氣阻力[3,4]、地球自轉(zhuǎn)[5]、風(fēng)等影響，所以為了更加真實(shí)而全面的反映出拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，本文從牛頓力學(xué)的角度對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行詳細(xì)的動(dòng)力學(xué)分析。由只受重力下的理想情況下的拋體運(yùn)動(dòng)逐步過(guò)渡到真實(shí)情況中受空氣阻力、科里奧利力、風(fēng)力下的運(yùn)動(dòng)，推導(dǎo)出其在各種情況的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，從而分析出不同因素對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的影響。

2 只受重力下的拋體運(yùn)動(dòng)

針對(duì)于圖1 所示，從地面出發(fā)并只受重力作用下的拋體，易得到其動(dòng)力學(xué)方程：

圖1 拋體運(yùn)動(dòng)

并由其初始條件

可得到其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

從式(4)～(5)可以看出拋體運(yùn)動(dòng)在x軸方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，在y軸方向上做勻變速運(yùn)動(dòng).因此拋體運(yùn)動(dòng)是一個(gè)勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。此外由式(4)可以得到

然后將上式代入式(5)中可得到拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡方程

針對(duì)上式對(duì)θ進(jìn)行求導(dǎo)并化簡(jiǎn)為

然后將上式y(tǒng)'=0 得到

再將式(9)代入式(7)得到拋體運(yùn)動(dòng)的包絡(luò)線方程

然后再令上式中y=0 和x=0 就分別得到了拋體運(yùn)動(dòng)最遠(yuǎn)射程與最大射高

這與文獻(xiàn)[6]中所得結(jié)果一致。最后根據(jù)式(10)～(11)得到包絡(luò)線的長(zhǎng)度，以及與地面所圍成的面積

此外為了求拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度與路徑覆蓋面積，先令式(5)中y=0，得到拋體運(yùn)動(dòng)的飛行時(shí)間為

然后將上式代入式(4)中得到拋體運(yùn)動(dòng)的射程表達(dá)式

再通過(guò)上式與式(7)可得拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度與路徑覆蓋面積為

針對(duì)于式(17)～(18)可分別對(duì)拋射角求導(dǎo)得到軌跡長(zhǎng)度與覆蓋面積的最大值，以及相對(duì)于的拋射角為

同時(shí)設(shè)置參數(shù)

然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式(4)～(5)以及包絡(luò)線方程式(10)，在Maple 軟件平臺(tái)[7,8]上制作出如圖2 所示的拋體運(yùn)動(dòng)的模擬動(dòng)畫(huà)。

圖2 不同拋射角的拋體運(yùn)動(dòng)動(dòng)畫(huà)

從上圖可以看出以相同的速率按照不同拋射角度拋出的小球從同一位置同時(shí)拋出，然后在空中散開(kāi),共同形成一個(gè)以半徑為r=v0t的逐漸變大的圓形,同時(shí)這個(gè)圓形在y軸方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)。針對(duì)于該現(xiàn)象可以解釋為小球在各個(gè)方向上以v=v0勻速運(yùn)動(dòng)的同時(shí)還在豎直方向參與y=-gt2/2的自由落體運(yùn)動(dòng).然后上述兩種分運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立又結(jié)合在一起，就形成了上述運(yùn)動(dòng)。并且還注意到在任何時(shí)候所有小球都在包絡(luò)線下的粉紅色區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，這驗(yàn)證了上述求得的包絡(luò)線方程的正確性。因此通過(guò)以上論述也說(shuō)明了模擬動(dòng)畫(huà)的制作可以直觀、準(zhǔn)確的、全面的反映出拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，達(dá)到可視化教學(xué)的目的。

3 考慮空氣阻力的拋體運(yùn)動(dòng)

物體在空氣中運(yùn)動(dòng)總是會(huì)受到與速度成正相關(guān)的空氣阻力的影響，因此可以設(shè)空氣阻力的表達(dá)式

其中F(v) 雖然不易得出，需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定。但在考慮拋體速率較低時(shí)可將空氣阻力的大小近似為與速率成正比，即斯托克斯摩擦[9]：

于是在二維空間受到空氣阻力下的拋體運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可寫(xiě)為：

為了下文討論方便，設(shè)β=mγ，則式(24)～(25)可改寫(xiě)為：

然后將初始條件設(shè)置與式(3)相同，則通過(guò)求解式(26)～(27)得到受阻力的拋體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

針對(duì)于式(29)中令y(t)=0 ?？赏ㄟ^(guò)數(shù)值求解這個(gè)超越方程得到拋體運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間。此外，再對(duì)式(28)～(29)中時(shí)間t求導(dǎo)得到拋體運(yùn)動(dòng)的速度表達(dá)式

從式(30)～(31)可得拋體運(yùn)動(dòng)的收尾速度為

并且由式(29)和式(30)～(31)可得拋體在任意時(shí)刻的動(dòng)能以及該時(shí)刻之前因?yàn)榭諝庾枇Χ鴵p失的機(jī)械能

此外,令式(31)等于零，解得拋體運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)時(shí)間為

再將上式代入式(29)得拋體運(yùn)動(dòng)的射高為：

同時(shí)由式(28)～(29)可到其軌跡方程：

然后設(shè)置參數(shù)

考察γ值對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的影響，如圖3 所示：

圖3 不同γ 對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的影響

從圖3 可以看出隨著空氣阻力的增大，拋體運(yùn)動(dòng)的射程和射高都逐漸變短了，并且也能觀察到當(dāng)初速度相同時(shí)拋射角越大，射高越大.同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn)隨著γ的增大，拋體運(yùn)動(dòng)軌跡圖形的軸對(duì)稱性逐漸降低，左邊寬右邊窄。這是因?yàn)殡S著運(yùn)動(dòng)的進(jìn)行，其水平速度逐漸減小，而在上升過(guò)程中拋體的豎直速度逐漸減小，所以上升階段的合速度方向逐漸沿x方向。相反，在下降階段豎直速度逐漸變大，所以合速度方向逐漸偏向-y軸。因此上升過(guò)程比下降過(guò)程更“寬”。

4 在地球自轉(zhuǎn)影響下的拋體運(yùn)動(dòng)

由于地球是一個(gè)非慣性參考系（如圖4），所以在真實(shí)情況中考慮地球自轉(zhuǎn)，所以拋體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中除了受到重力和空氣阻力外，還要受到科里奧利力這種慣性力的作用，因此根據(jù)文獻(xiàn)[10]可以列出三維情況下的動(dòng)力學(xué)方程：

圖4 地球自轉(zhuǎn)(緯度為λ)

與上文相同令β=mγ，則式(40)～(42)可改寫(xiě)為：

同時(shí)設(shè)拋體運(yùn)動(dòng)的初始條件為

下面通過(guò)連續(xù)近似法得到該運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的近似解。首先針對(duì)于式(43)～(45)首先積分，并代入初始條件式(46)得到

然后將式(47)～(49)中x(u)、y(u)、z(u)用初始條件式(46)中x(0)、y(0)、z(0)進(jìn)行替換，就能得到一級(jí)近似解：

從以上三式可以看出一級(jí)近似解就是上文中拋體在只受重力下的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并且將這個(gè)三式代入式(47)～(49)中x(u)、y(u)、z(u)后積分就能得到考慮空氣阻力與地球自轉(zhuǎn)的二級(jí)近似解：

然后選取參數(shù)

然后畫(huà)出拋體運(yùn)動(dòng)圖像，如圖5 所示：

作為二級(jí)近似解的圖像，從圖5(a)就足以觀察到在x-z平面以不同的拋射角拋射的物體，在往x方向運(yùn)動(dòng)的同時(shí)因?yàn)槭芸评飱W利力的影響產(chǎn)生沿-y方向上的微小位移，這同時(shí)也符合北半球運(yùn)動(dòng)的物體向右偏的現(xiàn)象。并且在圖5(b)中能夠觀查到相比于圖中其他拋射角，以π/4拋射的物體在x方向的射程最遠(yuǎn)，而從圖(c)～(d) 卻發(fā)現(xiàn)以π/3拋射的物體在y軸方向射程最遠(yuǎn)，這說(shuō)明不同方向上最遠(yuǎn)射程對(duì)應(yīng)的拋射角不一樣。

圖5 科里奧地力與阻力影響下的拋體運(yùn)動(dòng)

針對(duì)于二級(jí)近似解式(53)～(55)還可以用相同的方式帶入式(47)～(49)以求出更精確的三級(jí)近似解：

同時(shí)再設(shè)置參數(shù)：

然后通過(guò)求式(43)～(45)求出其數(shù)值解與通過(guò)連續(xù)近似法得到結(jié)果進(jìn)行比較，如圖6 所示

圖6 近似解與數(shù)值解的比較

從上圖可以發(fā)現(xiàn)代表一級(jí)近似的豎直上拋運(yùn)動(dòng)一開(kāi)始就偏離了數(shù)值解，而二級(jí)近似解在運(yùn)動(dòng)往-y方向上偏移，也與數(shù)值解的差距越來(lái)越大.但作為三級(jí)近似解在整個(gè)拋體過(guò)程能較好的符合真實(shí)解。這說(shuō)明隨著近似解不停地迭代，能更好的符合拋體真實(shí)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。

5 恒定風(fēng)速作用下的拋體運(yùn)動(dòng)

拋體在真實(shí)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中除了上述討論的受重力、空氣阻力、科里奧利力之外，還可能會(huì)受到空氣的定向移動(dòng)的影響，即風(fēng)的作用。下文就綜合上述各種力下對(duì)探究水平方向恒定風(fēng)速對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的影響。假設(shè)風(fēng)速恒為V，則可以列出下列動(dòng)力學(xué)方程：

為了下文探討方便設(shè)fx=βVx/m,fy=βVy/m,γ=β/m，則上式可化簡(jiǎn)為

同時(shí)設(shè)初始條件為

針對(duì)式(64)～(66)對(duì)時(shí)間t進(jìn)行一次積分，并代入初始條件得到：

由以上三式可以得到:

然后將式(68)～(73)代入式(64)～(66)，并忽略包含有ω2的項(xiàng)（地球自轉(zhuǎn)角速度過(guò)小）得到：

最后由初始條件式(67)解以上三式得到其運(yùn)動(dòng)的近似解為：

再設(shè)置參數(shù)：

然后進(jìn)行與數(shù)值解的比較，如圖7 所示：

圖7 近似解與數(shù)值解

從上圖可以看出近似解與數(shù)值解的圖像近似完全重合，說(shuō)明該近似解的表達(dá)式正確。并且從圖中還可以發(fā)現(xiàn)物體在豎直上拋的過(guò)程中受到沿x方向的風(fēng)時(shí)會(huì)往x方向的大范圍移動(dòng)的同時(shí)會(huì)受到科里奧利力的影響往y軸的負(fù)方向進(jìn)行微小的偏移.此外改變風(fēng)速大小得到如下圖像(圖8)

從圖8 觀察到隨著風(fēng)力的增大，拋體不僅在風(fēng)力的方向上位移增大，而且-y方向上的位移也逐漸變大.這說(shuō)明沿x方向的風(fēng)會(huì)影響拋體在y方向的運(yùn)動(dòng)。

圖8 不同風(fēng)速對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的影響

同時(shí)若在式(77)～(79)中令ω=0，然后對(duì)γ進(jìn)行泰勒展開(kāi)，得到

從以上三式可以看出當(dāng)忽略地球自轉(zhuǎn)，并考慮無(wú)阻尼情況（γ=0 ），以上三式就過(guò)渡到只受重力情況下的豎直上拋運(yùn)動(dòng)

從而也側(cè)面驗(yàn)證了式(77)～(79)的合理性。

6 結(jié)論

本文從牛頓力學(xué)的角度對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了詳細(xì)的研究，探究了拋體在受重力、空氣阻力、科里奧利力、風(fēng)力等情況下的運(yùn)動(dòng)過(guò)程.求出拋體在受到這些力作用下的動(dòng)力學(xué)方程的精確解或近似解，并研究與其相關(guān)的幾何性質(zhì)。但值得指出的是本文雖然逐層遞進(jìn)的方式來(lái)還原真實(shí)情況下的拋體運(yùn)動(dòng)，但是在考察空氣阻力的時(shí)候假設(shè)阻力與速度成簡(jiǎn)單的線性關(guān)系的情況，而在真實(shí)情況中當(dāng)拋體速度逐漸變大時(shí)，阻力會(huì)與速度大小的高次方成正比。因此本文在研究拋體運(yùn)動(dòng)性質(zhì)時(shí)尚不夠全面，需要在以后的研究中更加深入和動(dòng)態(tài)的考察空氣阻力與拋體速度的關(guān)系。