摘? 要：類(lèi)比思維是根據(jù)一類(lèi)事物所具有的某種屬性，可以推測(cè)與其類(lèi)似的事物也具有這種屬性的推理方法的一種思維。類(lèi)比思維是大學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的創(chuàng)新思維模式。在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，運(yùn)用類(lèi)比法有助于大學(xué)生對(duì)基本知識(shí)的理解和掌握，用已學(xué)過(guò)的理論知識(shí)和新的理論知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比，是同學(xué)們更容易地接受所學(xué)的新知識(shí)，而鞏固舊知識(shí)，并且無(wú)形中培養(yǎng)了學(xué)生的類(lèi)比思維。本文是根據(jù)自己多年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐探索，以線性代數(shù)中的分塊矩陣和矩陣運(yùn)算組為例，具體的闡述類(lèi)比思維，對(duì)于我們?cè)趯W(xué)習(xí)線性代數(shù)中，解決問(wèn)題所起的重要作用和的幫助，是增強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的一種重要的思維方法。

關(guān)鍵詞：類(lèi)比思維;線性代數(shù);分塊矩陣;對(duì)角矩陣;矩陣運(yùn)算

所謂類(lèi)比是通過(guò)探討或認(rèn)識(shí)新的理論知識(shí)時(shí)，聯(lián)想和它相似的已學(xué)習(xí)過(guò)的理論知識(shí)，并根據(jù)所學(xué)新的理論知識(shí)與已知的理論知識(shí)之間部分屬性的相似性或者相同性，以這些相似或者相同點(diǎn)維橋梁，得出其它屬性也有相似的推斷，從而實(shí)現(xiàn)利用已有的理論知識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)屬性相似的其他理論知識(shí)結(jié)構(gòu)，求同存異，跨越新領(lǐng)域，解決新問(wèn)題，導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)新規(guī)律的類(lèi)比思維方法蘊(yùn)含于自然科學(xué)的發(fā)明創(chuàng)造之中。類(lèi)比的整個(gè)思維過(guò)程是，以“聯(lián)想” 為前題;以“相似性” 為向?qū)?以提出“猜想” 為使命;以發(fā)現(xiàn)“新規(guī)律” 為目的。雖然類(lèi)比的結(jié)果具有不確定性，但無(wú)論類(lèi)比的結(jié)論如何，它對(duì)我們的科學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)都提供了富有創(chuàng)意的思維方法。因此，人們形象地把“類(lèi)比” 稱(chēng)作“由已知通向未知的橋梁”。

在數(shù)學(xué)的類(lèi)比推理中，形式類(lèi)比一般比較直接，有時(shí)可以通過(guò)一個(gè)表達(dá)式進(jìn)行聯(lián)想，往往就可類(lèi)比出另一個(gè)表達(dá)式。比如，通過(guò)形式類(lèi)比，可以得出一些數(shù)學(xué)概念、定理、解題方法等。就線性代數(shù)而言，由于其內(nèi)容比較抽象而且豐富，需要掌握的概念及定理比較多，解題方法和技巧往往也靈活多變，從而，給學(xué)生們的學(xué)習(xí)常常帶來(lái)了重重困難。因此，教學(xué)時(shí)，有必要幫助學(xué)生將所學(xué)習(xí)得內(nèi)容梳理成一個(gè)知識(shí)脈絡(luò)，進(jìn)行形式類(lèi)比推理。

1.由二階行列式的定義到三階行列式的定義，再到n 階行列式的定義的類(lèi)比

在線性代數(shù)中，求解二元線性方程組和三元線性方程組，我們采用消元法求解到其結(jié)果，為了便于記憶解得結(jié)果，分別引進(jìn)了二階行列式，以及三階行列式

通過(guò)仔細(xì)觀察，可見(jiàn)（1）式和（2）式具有如下規(guī)律：展開(kāi)式都是一些項(xiàng)的代數(shù)和，且項(xiàng)數(shù)分別為 2！ 和3！，又每一項(xiàng)分別由位于不同行不同列的兩個(gè)數(shù)相乘和三個(gè)數(shù)相乘，并且符號(hào)為正及符號(hào)為負(fù)的項(xiàng)數(shù)各占一半。如果將每一項(xiàng)中元素的行標(biāo)按自然順序排列，并根據(jù)列標(biāo)的排列的逆序數(shù)確定每項(xiàng)的符號(hào)。通過(guò)類(lèi)比，n 階行列式的展開(kāi)式就很容易得到為

2.由n 個(gè)未知數(shù) n 個(gè)方程的線性方程組的克萊姆法到n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次線性方程組，再類(lèi)比推出 n 個(gè)未知數(shù) m（m≤n）個(gè)方程的齊次線性方程組的類(lèi)比顯然;齊次線性方程組是非齊次線性方程組的特殊情形，而非齊次線性方程組又是線性方程組的特殊情形。

由于克萊姆法則是利用行列式，來(lái)討論 n 個(gè)未知數(shù) n 個(gè)方程的線性方程組的求解，而齊次線性方程組是非齊次線性方程組的特例，通過(guò)類(lèi)比推理，可以得出對(duì)于n 個(gè)未知數(shù) n 個(gè)方程的齊次線性方程組，有非零解的判定定理，即齊次線性方程組有非零解的充要條件為它的系數(shù)行列式為零，也即系數(shù)矩陣 A 的行（列）向量組線性相關(guān)，也即 r（A）< n。我們?cè)賹 個(gè)未知數(shù) n 個(gè)方程的齊次線性方程組和一般的n 個(gè)未知數(shù) m（m≤n）個(gè)方程的齊次線性方程組進(jìn)行類(lèi)比推理，很容易推出一般的n 個(gè)未知數(shù) m（m≤n）個(gè)方程的齊次線性方程組有非零解的判定定理，即有非零解的充要條件仍然為它的系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)。顯然，上述類(lèi)比推理，經(jīng)歷了從一般到特殊，再由特殊到一般的過(guò)程。

3.由數(shù)的運(yùn)算到普通矩陣的運(yùn)算，再到分塊矩陣的運(yùn)算的類(lèi)比

從數(shù)的運(yùn)算和矩陣的運(yùn)算進(jìn)行類(lèi)比，我們發(fā)現(xiàn)，它們有很多相似之處，但且記它們的區(qū)別，尤其是數(shù)的乘法運(yùn)算符合交換律，消去律，但矩陣的乘法即不符合交換律，也不符合消去律，符合反交換律。由于分塊矩陣中的每一元素均為子塊矩陣。形式上，分塊矩陣與普通矩陣很類(lèi)似。討論分塊矩陣運(yùn)算時(shí)，憑“數(shù)感”，我們應(yīng)與普通矩陣運(yùn)算進(jìn)行類(lèi)比推理，然后再一一去論證。比如，對(duì)于較高階的矩陣乘法運(yùn)算，如果直接用矩陣的乘法運(yùn)算，計(jì)算量往往非常大，如果我們能夠把它們適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行分塊，再利用分塊矩陣的乘法運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算，往往會(huì)大大降低計(jì)算量。易見(jiàn)，從數(shù)的運(yùn)算到矩陣的運(yùn)算，在從矩陣的運(yùn)算到分塊矩陣的運(yùn)算，類(lèi)比思維得到充分的體現(xiàn)。

4.由余子式到 k 階子式，再到順序主子式的類(lèi)比

我們知道，行列式的余子式屬于第一章中，行列式計(jì)算的內(nèi)容;而矩陣的 k 階子式屬于第二章中，矩陣的秩的內(nèi)容;至于矩陣的順序主子式屬于第五章中，正定二次型的內(nèi)容。余子式、k 階子式、順序主子式不僅可以進(jìn)行形式類(lèi)比，更重要的是要進(jìn)行內(nèi)容類(lèi)比;不僅在講授時(shí)進(jìn)行類(lèi)比，而且在復(fù)習(xí)課中更應(yīng)該進(jìn)行類(lèi)比。三者在內(nèi)容類(lèi)比思維中兩次經(jīng)歷了由一般到特殊，再由一般到特殊的過(guò)程。

5.由向量組的線性無(wú)關(guān)性到向量組的秩，再到向量空間的維數(shù)的類(lèi)比

由于向量組的秩，即為向量組中任何一個(gè)的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)。而向量空間的維數(shù)，即為向量空間中的任何一個(gè)基所含向量的個(gè)數(shù)。向量組的極大線性無(wú)關(guān)組與向量空間的基是對(duì)應(yīng)的。將向量組的線性無(wú)關(guān)性，向量組的秩，向量空間的維數(shù)進(jìn)行內(nèi)容類(lèi)比思維，經(jīng)歷了由一般到特殊，再由特殊到一般的過(guò)程。

6.由等價(jià)矩陣到相似矩陣，再到合同矩陣的類(lèi)比

在矩陣的理論中，矩陣的等價(jià)關(guān)系是指存在可逆矩陣;而矩陣的相似關(guān)系是指存在可逆矩陣;至于矩陣的合同關(guān)系是指存在可逆矩陣。

相似矩陣和合同矩陣均為等價(jià)矩陣的特殊情形，但相似矩陣不一定合同，而合同矩陣也不一定相似，當(dāng)然也存在兩矩陣既相似又合同的情形。經(jīng)過(guò)進(jìn)行內(nèi)容類(lèi)比推理，得出這三種關(guān)系的類(lèi)同點(diǎn)和相異點(diǎn)，使學(xué)生有更為清楚的認(rèn)識(shí)。

總之，在線性代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，為尋找問(wèn)題的線索，往往借助于類(lèi)比法，不僅要對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行形式類(lèi)比，而且還要對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行類(lèi)比，使學(xué)生不僅能使難理解的概念容易理解，難記憶的公式更容易記憶，而且可以使解題思路變得更加開(kāi)闊。

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作者簡(jiǎn)介：楊付貴（1957.5）男，天津人，副教授。從事最優(yōu)化方法研究。