費時龍，洪佳音，朱少娟

（宿州學(xué)院，安徽 宿州234000）

0 引言

常見的分析類教材中討論了一元函數(shù)列一致收斂的概念，這個概念的引入主要目的是在一致收斂的基礎(chǔ)上，可以通過函數(shù)列自身的連續(xù)性、可微性、可積性來研究其極限函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性。但是，對于多元函數(shù)列一致收斂的概念及相應(yīng)極限函數(shù)的性質(zhì)卻未見涉及，而多元函數(shù)列的積分與極限的交換次序的問題無論在理論上還是應(yīng)用上都是極其重要的，因此，研究多元函數(shù)列的一致收斂性及其極限函數(shù)的性質(zhì)有著重要的意義。本文將在一元函數(shù)列一致收斂及極限函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上引入多元函數(shù)列一致收斂的概念并分別討論其一致收斂極限函數(shù)的若干性質(zhì)。

1 基本概念

定義1.1 設(shè)fn(x，y)與f(x，y)為定義在同一平面點集D?R2上，若對任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得對所有n＞N，及任意(x，y)∈D時，都有

則稱二元函數(shù)函數(shù)列fn(x，y)在D上一致收斂于f(x，y)，記作

定義1.2 設(shè)fn(x1，x2，…，xk)與f(x1，x2，…，xk)為定義在同一點集E?Rk上，若對任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得對所有n＞N，及任意(x1，x2，…，xk)∈E時，都有

則稱k元函數(shù)函數(shù)列fn(x1，x2，…，xk)在E上一致收斂于f(x1，x2，…，xk)，記作

2 一致收斂的判別方法

定理2.1 （Cauchy 收斂準則）二元函數(shù)列fn(x，y)在平面點集D?R2上一致收斂的充要條件是對任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N ，使得對所有n，m＞N，及任意(x，y)∈D時，都有

證明 必要性，設(shè)fn(x，y)?f(x，y)(n→∞)，(x，y)∈D。則對任意的ε ＞0，存在正整數(shù)N ，使得當(dāng)n＞N時，對一切(x，y)∈D，都有

充分性，由（1）式及數(shù)列極限的柯西收斂準則知，{fn(x，y)}在D上任意一點都收斂，不妨記其極限為f(x，y)?，F(xiàn)固定（1）式中的n，讓m→∞，于是當(dāng)n＞N時，對于(x，y)∈D，都有

由定義1知，fn(x，y)?f(x，y)(n→∞)，(x，y)∈D。

定理2.2 （Cauchy 收斂準則）k元函數(shù)列fn(x1，x2，…，xk)在點集E?Rk上一致收斂的充要條件是對任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N ，使得對所有n，m＞N，及任意(x1，x2，…，xk)∈E時，都有

證明 類似于定理2.1的證明。

定理2.3 二元函數(shù)列fn(x，y) 在平面點集D?R2上一致收斂于f(x，y)的充要條件是

證明 必要性，若fn(x，y)?f(x，y)(n→∞)，(x，y)∈D。則對任給的正數(shù)ε ，存在不依賴于(x，y)的正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時，有

由上確界的定義，亦有

充分性，由假設(shè)，對任給ε＞0，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時，有

因為對一切(x，y)∈D，總有

故由（5）得

于是fn(x，y)在D 上一致收斂于fn(x，y)。

定理2.4k元函數(shù)列fn(x1，x2，…，xk) 在點集E?Rk上一致收斂于f(x1，x2，…，xk)的充要條件是

證明 類似于定理2.3。

3 一致收斂極限函數(shù)的性質(zhì)

定理3.1 設(shè)fn(x，y)?f(x，y)，(x，y)∈D，P0為平面區(qū)域D的一個聚點，若對每個n ，極限均存在且

證明 首先證明數(shù)列{an}收斂，對任意給定的正數(shù)ε＞0，由fn(x，y)?f(x，y)知存在正整數(shù)N，當(dāng)n＞N及任意給定正整數(shù)p，及任意(x，y)∈D均有

令P→P0，則有

由Cauchy收斂準則知數(shù)列{an}收斂。

因此，當(dāng)0＜|P-P0|＜δ時，有|f(P)-A|≤|f(P)-

注：定理3.1表明：在二元函數(shù)列一致收斂的假設(shè)下，{fn(x，y)}中變量x與n，在對兩個變量分別求極限時，極限的順序可互換，即

定 理 3.2 設(shè)fn(x1，x2，…，xk)?f(x1，x2，…，xk)，(x1，x2，…，xk)∈E，P0為平面區(qū)域E 的一個聚點，若對每個n，極限則極限

證明 類似于定理3.1。

定理3.3（二元極限函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)二元函數(shù)列fn(x，y)在二維平面區(qū)域D?R2上一致收斂于f(x，y)，且每一項fn(x，y)都在D上連續(xù)，則極限函數(shù)f(x，y)在D上也連續(xù)。

證明 設(shè)任意Q0(x0，y0)∈D，由fn(x0，y0) 及定理3.1 可得存在，并且故f(x，y) 在 點Q0(x0，y0)連續(xù)，由Q0(x0，y0)的任意性知f(x，y)在D上連續(xù)。

注定理3.3 表明：若連續(xù)的二元函數(shù)列fn(x，y)其極限函數(shù)f(x，y)不連續(xù)，則fn(x，y)不一致收斂。

定理3.4（多元極限函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)k元函數(shù)列fn(x1，x2，…，xk) 在 區(qū) 域E?Rk上 一 致 收 斂 于f(x1，x2，…，xk)，且每一項都在E上連續(xù)，則極限函數(shù)f(x，y)在E 上也連續(xù)。

證明 類似于定理3.3。

注：定理3.4 表明：若連續(xù)的k元函數(shù)列fn(x1，x2，…，xk)其極限函數(shù)f(x1，x2，…，xk)不連續(xù)，則fn(x1，x2，…，xk)不一致收斂。

定理3.5（二元極限函數(shù)的一致連續(xù)性）設(shè)fn(P)在平面區(qū)域D?R2上一致收斂，且fn(P)在D上一致連續(xù)，則f(P)在D上也一致連續(xù)。

證明：因為fn(P)在D上一致收斂，故對任意ε＞0，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N及任意p∈D，有|f(P)-fn(P)|＜ε

又因為fn(P)在D上一致連續(xù)，從而對上述的ε＞0，存在δ＞0 ，使得任意p1，p2∈D，只要|p1-p2|＜δ，就有|fn(P1)-fn(P2)|＜ε，從而對上述的ε＞0，存在δ'=δ，當(dāng)|p1-p2|＜δ'時，令n＞N，則|f(P1)-f(P2)|=|f(P1)-fn(P1)+fn(P1)-fn(P2)+fn(P2)-f(P2)|≤|f(P1)-fn(P1)|+|fn(P1)-fn(P2)|+|f(P2)-fn(P2)|＜3ε，故[f(P)]在D上一致連續(xù)。

定理3.6（多元極限函數(shù)的一致連續(xù)性）設(shè)fn(P)在平面區(qū)域E?Rk上一致收斂，且fn(P)在E上一致連續(xù)，則極限函數(shù)f(P)在E 上也一致連續(xù)。

證明類似于定理3.5。

定理3.7（二元極限函數(shù)的可積性）設(shè)二元函數(shù)列fn(x，y)在有界閉域D?R2上一致收斂，且每一項都在D上連續(xù)，則極限函數(shù)f(x，y)在D 上也可積。

證明 設(shè)f(x，y)為{fn(x，y)}的極限函數(shù)，則由定理3.3的結(jié)論知，f(x，y)在D上連續(xù)，故fn(x，y)(n=1，2，…)與f(x，y)在D 上均可積。

定理3.8（多元極限函數(shù)的可積性）設(shè)k元函數(shù)列fn(x1，x2，…，xk)在有界閉域E?Rk上一致收斂，且每一項都在E 上連續(xù)，則極限函數(shù)f(x1，x2，…，xk)在E 上也可積。

證明類似于定理3.7。