何 敏，江燕燕，祝祖送，吳義恒，尤建村，胡瑩瑩

（安慶師范大學，安徽 安慶 246133）

0 引言

在日常生活中，蹺蹺板是一種常見的兒童玩具。初中物理中研究蹺蹺板的靜力平衡問題，適用桿桿原理。本文專門探討和蹺蹺板相關的動力學問題。

經過大學力學課程學習，學生通常會將蹺蹺板默認為可繞定軸轉動的一維剛體。實際上，在振動力學中，可將蹺蹺板簡化為兩端自由的均勻對稱兩跨Euler 梁結構，也即我們構造了一種新的彈性體模型。本文主要從剛體模型和Euler 梁模型兩個層面對蹺蹺板進行動力學研究。

文獻［1］和文獻［2］分別研究了兩端自由的Euler 梁離散模型和連續(xù)模型微振動的定性性質，文獻［3］研究了兩端自由的Euler 梁離散模型的振動反問題。因此力學模型蹺蹺板不僅具有教學研究價值，也同樣具有科學研究價值，包括振動的定性性質領域和振動的反問題領域。

1 將蹺蹺板視為定軸轉動的剛體模型

在經典力學教材［4］中，將蹺蹺板視為繞過中點的軸線轉動的一維剛體，設剛體質量為m，長度為2l（為了和下文保持一致）。由定積分運算可知，此剛體的轉動慣量為

假設t1時刻剛體的角參量為θ1，角速度為ω1，而t2時刻剛體的角參量為θ2，角速度為ω2，則有剛體的角動量定理（1）式和剛體定軸轉動的動能定理（2）式成立：

特例：當兩個等體重的人分別關于中點對稱地坐在蹺蹺板的兩端，且兩個人的雙腳都已經離地，則作用于剛體的合外力矩為零。將M=0 無論帶入公式（2）還是公式（3），都可以得到ω1=ω2，即角速度ω是常數(shù)c，也即公式（1）中剛體的角速度β=0。

2 將蹺蹺板視為兩端自由的均勻對稱兩跨Euler梁

2.1 Euler梁力學模型的提出

設有一等截面的均勻Euler梁，長度為2l，邊界條件是兩端自由，梁的中點有一個鉸支座，從而構成一個兩跨梁。將坐標原點設在梁的中點處，則自變量-l≤x≤l，其橫向振動的模態(tài)方程是：

其中r(x)=E(x)I(x)是抗彎剛度，E(x)是楊氏模量，I(x)是截面的慣性矩，ρ(x)是密度函數(shù)。在本文中r(x) 和ρ(x) 均看成常數(shù)。W(x) 是位移振型，λ=ω2A為該問題的特征值，ω是圓頻率，橫截面積A是常數(shù)，x是軸向坐標。

對于兩端自由的均勻兩跨Euler 梁，有下列邊界條件：［5］

而抗彎剛度為零是沒有意義的，因此邊界條件簡化為

2.2 兩端自由的均勻對稱兩跨Euler梁頻率方程和位移函數(shù)計算

Euler 梁的無阻尼自由振動滿足方程（4），其解為［6］

由邊界條件可以計算出，兩端自由的均勻對稱兩跨Euler梁的頻率方程為

（8）式的結論與文獻［6］中鉸支-自由梁的頻率方程是完全相同的，這是一個超越方程，按照由小到大的順序，其前四個非平凡解的數(shù)值解見文獻［6］。前四個非平凡解的近似解為而兩端自由的均勻對稱兩跨Euler 梁的位移函數(shù)計算結果為

文獻［7］探討了兩端自由的功能梯度梁的一類振動反問題，文中計算得到了兩端自由的功能梯度梁的多項式型位移函數(shù)，其相對于過梁的中點且垂直于橫軸的直線是對稱的。結合文獻［7］和本文的討論，可以得出結論：兩端自由的對稱兩跨Euler 梁的位移函數(shù)W(x)具有對稱和反對稱兩種模態(tài)，且在相差一個常數(shù)因子的意義下是唯一的。以上結論與振動力學理論［5］是相符的。

另外，有一種常見的生活用具——扁擔，常用竹子或木頭制成，也可視為兩端自由的兩跨Euler梁，但是由于扁擔的特殊形狀，它不屬于均勻梁，因此不能像上文一樣得到無阻尼自由振動方程的解析解。順便指出，將扁擔視為懸臂梁是不合理的。

3 結語

對于生活中常見的蹺蹺板，本文建立Euler 梁模型，將研究對象從振動力學中常見的單跨梁拓展到多跨梁，其計算結果不同于通常的單跨梁結構。

通過本文的研究，學生可以消除思維定式，從彈性體的層面來重新認識蹺蹺板這一力學模型。從力學思想上來說，彈性體比剛體更加接近物理本源。本文的探討對于學生力學創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是大有裨益的。［8］