廣東省汕頭市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 許銘婷

一、背景

高中數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂組給出了對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，教師應(yīng)該注重提升自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)，關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有機(jī)結(jié)合，在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、“概率與密碼”的教學(xué)案例

（一）教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課設(shè)計(jì)思路圍繞概率章節(jié)的核心內(nèi)容展開(kāi)。第一部分是介紹凱撒密碼，破譯者可通過(guò)列舉法破譯密碼；第二部分是凱撒密碼的進(jìn)化Ⅰ，用隨機(jī)順序的字母表替換正常順序的字母表，破譯者需用頻率分析法破譯；第三部分是學(xué)習(xí)凱撒密碼的進(jìn)化Ⅱ：用隨機(jī)數(shù)加成密碼，這種情況下的凱撒密碼難以被破譯。

（二）教學(xué)目標(biāo)解析

1.三維目標(biāo)

知識(shí)與技能：掌握概率與密碼的關(guān)系，了解頻率分析法在密碼破譯過(guò)程中的應(yīng)用。

過(guò)程與方法：了解凱撒密碼的發(fā)展歷程，在破譯密碼的過(guò)程中感受合作探究的學(xué)習(xí)方法以及古典概型在密碼中的運(yùn)用。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：以凱撒密碼的完善過(guò)程為主線，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并用數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的樂(lè)趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

2.核心素養(yǎng)

邏輯推理：在凱撒密碼及其完善歷程的情境中，通過(guò)對(duì)其條件與結(jié)論的分析，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)提出并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

數(shù)學(xué)建模：在概率的其他應(yīng)用過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

數(shù)學(xué)分析：引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的概率模型，解決問(wèn)題。

3.教學(xué)過(guò)程

【環(huán)節(jié)1】 情景引入

播放諜戰(zhàn)片的片段，學(xué)生角色代入，開(kāi)始了一段以概率知識(shí)為主線的密碼破譯與完善的對(duì)決。

1132 慢病毒介導(dǎo)的 shRNA 干擾大鼠施萬(wàn)細(xì)胞 RSC96 MYH14 基因的表達(dá) 胡 皓，孟 威，劉安堂，汪 匯，朱曉海，江 華，錢(qián)玉鑫

【設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)生喜歡的諜戰(zhàn)片片段引入數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)，能有效抓住學(xué)生學(xué)習(xí)的興奮點(diǎn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生愛(ài)國(guó)情懷】

【環(huán)節(jié)2】 探究新知

（1）凱撒密碼

問(wèn)題1：凱撒密碼是偏移后得到的，你有什么辦法破譯呢？凱撒密碼加密的過(guò)程中一共有多少種情況？

學(xué)生活動(dòng)：你截獲了一個(gè)信息為“zh zloo vwduw wkh iljkw dw hohyhq r’forfn rq zhgqhvgdb”的密文，已知偏移量是3，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)密碼所代表的信息是什么？

【設(shè)計(jì)意圖：凱撒密碼的加密過(guò)程可以看作是一個(gè)古典概型，它所包含的基本事件的總數(shù)即是密碼與密文對(duì)應(yīng)的種數(shù)。體會(huì)密碼破譯過(guò)程，體會(huì)一次破譯密碼的概率】

（2）凱撒密碼的進(jìn)化Ⅰ

凱撒密碼的擁護(hù)者對(duì)凱撒密碼進(jìn)行了一個(gè)簡(jiǎn)單的改進(jìn)：用一個(gè)隨機(jī)順序排列的字母表來(lái)代替正常順序的字母表。

問(wèn)題2 ：請(qǐng)問(wèn)通過(guò)這種簡(jiǎn)單的代換方法，共產(chǎn)生了多少種字母表？有什么意義？結(jié)合我們所學(xué)的概率知識(shí)，有什么辦法能破譯密碼的升級(jí)版呢？根據(jù)平常對(duì)英語(yǔ)字母的直觀感受，估計(jì)哪個(gè)字母出現(xiàn)得最多？

【設(shè)計(jì)意圖：改進(jìn)后的凱撒密碼所包含的基本事件的總數(shù)大大增加，一次破譯密碼的概率大大減小，因此無(wú)法用列舉法解決問(wèn)題，從而引入頻率分析法。同時(shí)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生感受如何將知識(shí)學(xué)以致用】

（3）凱撒密碼的進(jìn)化Ⅱ

凱撒密碼的擁護(hù)者們使用了概率武器（隨機(jī)數(shù)表法設(shè)計(jì)凱撒密碼）來(lái)反擊，它是這樣進(jìn)行的：要發(fā)送的密碼為：We will start the fight at eleven o’clock on Wednesday。我 們 獲 得 了 一 次密碼本，組成這個(gè)密碼本的偽隨機(jī)數(shù)為12，16，5，7，21，19，15，13，4，14，11，……。加 密 過(guò) 程 為：W+12=I，E+16=U，W+5=B，I+7=P，L+21=G， ……。 全 句 的 密 文 為：“Iu bpge hgefe dxc……”這種加密使得每個(gè)字母出現(xiàn)的頻率幾乎相等。

問(wèn)題3：請(qǐng)你思考，用分析頻率來(lái)破譯密碼可能嗎？為什么？

學(xué)生活動(dòng)：組成密碼本的隨機(jī)序列為：（隨機(jī)數(shù)表第19行第1列）：16，08，15，04，14，09，12，07，14，16，19，20，15，11，13，……，已知截取的密文是“Y TDZS VMAV”，請(qǐng)你來(lái)破譯。

【設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生思考凱撒密碼的進(jìn)化版Ⅱ中所含的基本事件的總數(shù)，體會(huì)隨機(jī)數(shù)表法設(shè)計(jì)后基本事件總數(shù)爆炸式增長(zhǎng)的過(guò)程】

4.歸納小結(jié)

凱撒密碼的發(fā)展歷程：（1）凱撒密碼；（2）凱撒密碼的進(jìn)化Ⅰ；（3）凱撒密碼的進(jìn)化Ⅱ。

5.拓展探究

請(qǐng)以小組為單位討論已查找到的資料，說(shuō)出概率在其他方面的應(yīng)用，分析其所用到的概率的相關(guān)知識(shí)。

三、新型課堂設(shè)計(jì)給我們的啟發(fā)

本節(jié)課是不用于日常教學(xué)的一節(jié)課，在新型課堂下，始終以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目的的一節(jié)課，它呈現(xiàn)出以下特點(diǎn)：

1.創(chuàng)新教學(xué)模式，轉(zhuǎn)變師生角色

課堂上既有師生互動(dòng)，也有小組合作，更為可貴的是，這種活動(dòng)一直延伸到課外，學(xué)生要自行查找資料并總結(jié)概率在其他方面的應(yīng)用，讓學(xué)生通過(guò)自主探索與合作交流來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，極大地增加了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，鍛煉了學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維。

2.數(shù)學(xué)融于生活，關(guān)注人文內(nèi)涵

其一，教學(xué)內(nèi)容極具感染力，如凱撒密碼，在破譯過(guò)程中能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。其二，關(guān)注數(shù)學(xué)文化，凱撒密碼向?qū)W生展示的并不是簡(jiǎn)單的史料材料，而是讓學(xué)生親身體驗(yàn)與探索，同時(shí)也體現(xiàn)了一種人文關(guān)懷，設(shè)計(jì)的作業(yè)與實(shí)際緊密聯(lián)系，在數(shù)學(xué)課堂中教會(huì)學(xué)生感恩。