趙海心 姜孝謨 徐勝利 林 琳 宮云慶

（1.大連理工大學；2.沈陽鼓風機集團股份有限公司）

0 引言

旋轉機械廣泛應用于能源、化工、航空航天等諸多領域中。隨著工業(yè)技術的發(fā)展，旋轉機械日趨大型化、高速化和自動化，但同時帶來了系統(tǒng)復雜度的增加，也增加了對系統(tǒng)可靠性的要求。旋轉機械運行期間經(jīng)常發(fā)生各種故障，導致整個生產(chǎn)非正常停止運行，產(chǎn)生巨大經(jīng)濟損失，嚴重時甚至會造成安全事故和人員傷亡[1-3]。因此，對旋轉機械進行早期故障識別，對于避免重大事故，提高生產(chǎn)率和減少維修時間都具有重大現(xiàn)實意義[4-5]。

對傳統(tǒng)旋轉機械進行故障診斷的方法有解析模型方法[6]、專家系統(tǒng)方法[7]、人工智能方法[7-11]等。解析模型方法能夠從機理上直接解釋故障，但解析模型相對簡單，難以用于復雜工程系統(tǒng)。專家系統(tǒng)利用了現(xiàn)有的知識和經(jīng)驗進行故障識別，但專家系統(tǒng)構建十分困難，需要復雜艱深的知識和長期積累的經(jīng)驗，構建好的專家系統(tǒng)也缺乏靈活性和可移植性。人工智能方法通過提取數(shù)據(jù)中的特征信息實現(xiàn)故障檢測，更適用于目前工程系統(tǒng)中復雜的大量數(shù)據(jù)。在人工智能方法中，無故障模型方法是一種常用的技術[12-13]。通過健康數(shù)據(jù)訓練得到系統(tǒng)識別模型，用來預測健康狀況下系統(tǒng)的響應。通過比較實測數(shù)據(jù)與模型預測值，比如評估兩組數(shù)的殘差，來判斷系統(tǒng)的健康狀況。這種方法不需要系統(tǒng)的歷史故障信息，同時殘差代表系統(tǒng)實際性能相比正常性能的偏差，具有明確的物理意義，在故障識別中表現(xiàn)出了良好的效果[14]。

基于系統(tǒng)實際測量和預測響應之間殘差的故障識別方法，通常還需要一個損傷評估準則和量化指標來評價系統(tǒng)的健康狀態(tài)。傳統(tǒng)方法經(jīng)常使用相對均方根誤差進行評價[15]。通過反復試驗獲得預先設定的評估閾值，當相對均方根誤差超過預先設定的閾值時，系統(tǒng)被判斷已經(jīng)發(fā)生損傷。然而，反復試驗花費高，并且試驗存在隨機誤差和錯誤，造成數(shù)據(jù)的不完整性和不確定性，影響閾值的精度。Mahadevan等人[16]開發(fā)了基于貝葉斯假設檢驗的模型驗證方法，利用測量數(shù)據(jù)，驗證了貝葉斯方法能夠有效解決模型驗證中數(shù)據(jù)的不確定性。針對模型預測和傳感器數(shù)據(jù)的不確定性，Jiang[17]提出了一種基于貝葉斯假設檢驗的結構損傷定量評估方法。這種基于貝葉斯推斷的方法能夠處理數(shù)據(jù)不確定性問題。但這種方法依賴于殘差數(shù)據(jù)的正態(tài)分布假設，要求模型健康狀況殘差數(shù)據(jù)應符合0均值的正態(tài)分布，由于數(shù)據(jù)不確定性的存在，實際工程很難完全滿足這一點，使基于正態(tài)分布假設貝葉斯方法的故障識別產(chǎn)生誤報和錯報。

針對這一問題，本文提出了一種基于核密度估計的貝葉斯假設檢驗方法。通過核密度估計得到實際數(shù)據(jù)和預測輸出的殘差分布，根據(jù)得到的分布，導出了貝葉斯因子的顯式表達式。該方法不需要對數(shù)據(jù)進行任何分布假設，因此適用于不同的應用場景。

本文的其余結構如下：第1節(jié)簡要介紹了系統(tǒng)識別模型、正態(tài)假設的貝葉斯評估算法和核密度估計方法；第2節(jié)介紹了基于長短期記憶網(wǎng)絡（LSTM，Long Short-Term Memory）的系統(tǒng)識別模型；第3節(jié)詳細推導了基于核密度估計的貝葉斯因子評估表達式；第4節(jié)給出了整體算法流程；第5節(jié)使用實際壓縮機運行數(shù)據(jù)驗證了方法的有效性；最后給出了結論。

1 基本方法介紹

傳統(tǒng)的貝葉斯故障識別方法[17]包括三部分，1）使用無故障系統(tǒng)運行的健康數(shù)據(jù)，訓練得到系統(tǒng)識別模型，2）使用系統(tǒng)識別模型，預測系統(tǒng)在未知健康狀態(tài)下的響應，3）將實測數(shù)據(jù)與模型預測的殘差當作系統(tǒng)或構件故障的主要特征，使用基于正態(tài)分布假設的貝葉斯因子方法獲得系統(tǒng)或構件的健康置信度。代替正態(tài)分布假設，本文發(fā)展核密度估計方法來得到殘差數(shù)據(jù)的實際分布，使貝葉斯故障識別方法具有更好的普適性。本節(jié)將介紹LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡預測模型、基于正態(tài)假設的貝葉斯因子故障評價方法和核密度方法。

1.1 LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡預測模型

LSTM[18]是循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡（RNN，Recurrent Neural Network）[19]的一種變體結構。RNN是模擬時序數(shù)據(jù)的神經(jīng)網(wǎng)絡模型，由輸入層、循環(huán)層和輸出層組成。RNN最突出的特點是當前時刻的預測值不僅由本時刻輸入數(shù)據(jù)決定，同時受之前時刻輸入數(shù)據(jù)影響，展現(xiàn)出了動態(tài)時序行為，因此能夠有效應用于時間序列預測問題。但RNN方法存在梯度消失問題，當前時刻預測值主要由近期時刻數(shù)據(jù)決定，遠端數(shù)據(jù)影響很小。這樣，無法利用遠端時刻數(shù)據(jù)對模型參數(shù)進行修正，影響了預測的精度。為解決這一問題，研究者在RNN基礎上，發(fā)展了LSTM方法。

LSTM在RNN的基礎上增加了3個邏輯控制單元：輸入門、遺忘門和輸出門。通過門單元的邏輯控制，決定數(shù)據(jù)是否應該用來更新模型或被丟棄，克服了RNN梯度消失的缺點，體現(xiàn)出了更高的預測精度[20]。數(shù)學上，LSTM模型由以下幾部分組成：

遺忘門：

輸入門：

神經(jīng)單元：

輸出門：

最終輸出：其中，Wf，Wi，Wc，Wo和bf，bi，bc，bo分別是各個門待訓練的權函數(shù)和偏置；σ是sigmoid激活函數(shù)；ht是當前時刻的輸出；ct是LSTM中的內置單元狀態(tài)參數(shù)。從公式（3）中可以發(fā)現(xiàn)，LSTM將當前時刻的單元狀態(tài)~ct和上一時刻的長期的記憶ct-1組合在一起，形成了新的單元狀態(tài)ct，基于ct得到本時刻預測輸出ht。通過遺忘門（公式1）和輸入門（公式2），單元ct可以自由選擇保存或丟棄當前時刻和久遠時刻信息，而不是由時間距離長短決定影響程度大小，這樣，導致的LSTM方法具有更高的預測精度。

1.2 基于正態(tài)分布假設的貝葉斯因子評估方法

假設ya={y1,a,y2,a…yn,a}和yb={y1,b,y2,b…yn,b}代表n個從時間序列a（預測模型數(shù)據(jù)）和b（所研究的系統(tǒng)或構件實測反應數(shù)據(jù)）獲得的時序數(shù)據(jù)。令代表預測模型和實測數(shù)據(jù)的殘差序列，其中ei=yi,a-yi,b，i=(1,2…n)是序列的差值。假設H0:a=b代表所研究的系統(tǒng)或構件健康，H1:a≠b代表所研究的系統(tǒng)或構件有故障。健康狀況H0的置信度可以定義為Pr(H0|data)，即實際殘差序列data下的健康概率?；谪惾~斯公式[21]可得：

則：

其中Pr(H0)和Pr(H1)代表了H0和H1的先驗概率，一般從統(tǒng)計規(guī)律或工程經(jīng)驗中獲得。設Pr(H0)=π0,Pr(H1)=π1,注意到有π1=1-π0，Pr(H1|data)=1-Pr(H0|data)，將其帶入公式（7）中可得：

其中，B01被稱為貝葉斯因子似然比；λ就是待求的系統(tǒng)健康狀況置信度；可以用似然比B01的函數(shù)表示。因此，求解置信度λ可變?yōu)榍蠼馑迫槐菳01的問題。通常情況下，如果B01＞1,所研究的系統(tǒng)或構件被認為是健康的。否則被認為是有故障的。為了獲得B01，需要計算Pr(data|H0)和Pr(data|H1)，即在系統(tǒng)健康和有故障兩種情況下殘差數(shù)據(jù)data出現(xiàn)的概率。

為了對這兩個概率進行求解,貝葉斯推斷引入了正態(tài)分布假設[17]：在系統(tǒng)或構件健康狀態(tài)下，殘差數(shù)據(jù)應符合0均值正態(tài)分布，即data～N(0,σ2)。否則, 殘差數(shù)據(jù)會符合非零均值正態(tài)分布，即data～N(u,σ2)，其中u是一個非零數(shù)，σ2是殘差數(shù)據(jù)的方差。則Pr(data|H0)可以表示為：

其中，Pr(ei|0)代表N(0,σ2)分布中出現(xiàn)ei的概率，即N(0,σ2)概率密度函數(shù)中ei處的值。而Pr(data|H1)可以表示為：

其中：

f(u|H1)代表了故障情況下u的分布概率函數(shù)。傳

統(tǒng)方法認為u～N(0,σ2)。則B01可以表示為：

1.3 核密度估計方法

核密度估計（Kernel Density Estimation）[21]是一種非參數(shù)估計方法，用于擬合數(shù)據(jù)的分布密度函數(shù)，無需對分布類型進行任何假設。核密度估計表示如下：

其中，n是待估計點的個數(shù)；h是核密度函數(shù)的帶寬參數(shù)；K(·)是核函數(shù)。常用的核函數(shù)有均勻函數(shù)、三角函數(shù)和高斯函數(shù)。均勻核和三角核都是分段函數(shù)，而高斯核是連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)使得數(shù)據(jù)分布的擬合更加平滑。因此，在本文的核密度估計中，采用高斯函數(shù)作為核函數(shù)，表達式如下所示：

核密度估計將每個待測點的出現(xiàn)位置看成一個分布，局部核函數(shù)K(x)代表其概率密度分布，K(x)在點實際出現(xiàn)位置概率最高。全局分布密度函數(shù)可視為所有待測點局部核函數(shù)的疊加，如圖1所示。

圖1 核密度估計原理Fig.1 Principle of kernel density estimation

帶寬h也是影響分布擬合效果的重要參數(shù)。理論上，當h趨于零時，它接近于數(shù)據(jù)的真實分布。但是，h值太小會導致分布函數(shù)不夠光滑。本文通過最小化數(shù)據(jù)和擬合曲線之間的平均積分平方誤差（MISE）[22]來確定帶寬h的值。

2 LSTM預測模型構建

本研究發(fā)展一個雙層深度學習神經(jīng)網(wǎng)絡LSTM模型用于預測系統(tǒng)反應。如圖2所示，模型的隱藏層采用LSTM細胞和Dropout搭建雙層循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡。隱藏層的每個LSTM層后面增加一個Dropout層，這樣在前向傳播時，可以讓神經(jīng)元的激活值以指定的概率停止工作，從而增強模型的泛化性，防止過擬合。LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡模塊的層數(shù)越多，其學習能力越強，但是層數(shù)過多又會造成網(wǎng)絡訓練難以收斂，因此，本研究發(fā)展一個2層LSTM網(wǎng)絡模型進行系統(tǒng)反應預測。輸出層使用全連接層（Dense）對結果進行降維，并經(jīng)過激活函數(shù)層（Activation）得出預測結果。損失函數(shù)選用均方誤差，網(wǎng)絡訓練采用Adam優(yōu)化算法[23]。

圖2 預測模型結構Fig.2 The structure of prediction model

3 基于核密度估計的貝葉斯因子評估方法

由公式（9）可知，為了計算似然比B01，需要計算條件分布可能值Pr(data|H0)和Pr(data|H1)。本節(jié)介紹基于核密度估計的Pr(data|H0)和Pr(data|H1)計算方法，并給出最終似然比B01表達式。

3.1 健康狀態(tài)下殘差數(shù)據(jù)出現(xiàn)概率Pr(data|H0)

根據(jù)公式（10），Pr(data|H0)可以表示為：

其中Pr(ei|H0)代表系統(tǒng)或構件在健康狀態(tài)下差值ei的出現(xiàn)概率，可以表示為：

其中，fH0(ei)代表了系統(tǒng)或構件在健康狀況下殘差數(shù)據(jù)概率密度函數(shù)中ei處的值。概率密度函數(shù)可以通過核密度方法訓練健康數(shù)據(jù)的殘差獲得。假設健康數(shù)據(jù)殘差為ex=(ex1,ex2,...exn),根據(jù)公式（14）和（15），基于健康殘差數(shù)據(jù)獲得的分布概率密度函數(shù)為：

帶入式（16）中可得：

其中，h是通過最小化MISE方法[22]獲得的帶寬；ei是待測殘差數(shù)據(jù)；xj是用于訓練分布所用的健康殘差數(shù)據(jù)。

3.2 故障狀態(tài)下殘差數(shù)據(jù)出現(xiàn)概率Pr(data|H1)

與Pr(data|H0)類似，Pr(data|H1)可表示為：

其中，Pr(ei|H1)代表故障狀態(tài)下ei的出現(xiàn)概率:

其中，fH1(·)概率密度函數(shù)，表示故障狀態(tài)下數(shù)據(jù)出現(xiàn)位置的分布概率密度。在本研究中，我們參考傳統(tǒng)方法[17]的故障假設：故障狀態(tài)數(shù)據(jù)分布與健康狀態(tài)分布方差相同，故障只導致均值不一樣。下面我們推導核密度估計的均值和方差表達式，確定故障狀態(tài)數(shù)據(jù)分布的具體表示方法。

核密度估計分布的均值表達式如下：

其中，f(ex)是公式（13）中核密度估計得到的分布概率密度函數(shù)。經(jīng)過推導，可以得到：

核密度估計得到的分布均值和所有訓練點的均值相同。

同理可以給出核密度估計分布的方差表達式：

推導可得：

則新的均值和方差為：

其中f(?|H1)是偏離均值?在故障狀態(tài)下的分布概率密度。似然比B01可表示為：

4 算法流程圖

整個算法的流程如圖3所示，我們將健康數(shù)據(jù)分為兩部分，一部分數(shù)據(jù)用來訓練預測模型，然后使用預測模型對另一部分數(shù)據(jù)進行預測，得到健康狀態(tài)下的殘差數(shù)據(jù)。使用預測模型對系統(tǒng)狀態(tài)不知的實測數(shù)據(jù)進行預測，得到實測的殘差數(shù)據(jù)。使用核密度估計方法訓練健康狀態(tài)殘差數(shù)據(jù)得到健康殘差分布。使用健康殘差分布構建基于實際健康數(shù)據(jù)分布的貝葉斯估計方法。將實際殘差數(shù)據(jù)代入貝葉斯方法得到系統(tǒng)目前的健康概率。

圖3 算法流程Fig.3 Algorithm flow

5 算例驗證

5.1 數(shù)據(jù)介紹

使用一組從轉速5 556r/min的實際運行離心壓縮機收集的數(shù)據(jù)，通過比較研究，對所發(fā)展的新方法進行效果驗證。由于壓縮機一個葉片斷裂，導致該壓縮機非正常停運。這算例使用壓縮機失效前的數(shù)據(jù)來進行顯示新方法的有效性。壓縮機的傳感器測點位置如圖4所示，包含11個變量（兩個軸承溫度變量），測點之間間隔為1h。為比較算例驗證效果，分別選擇了早期健康運行時段1 600個點和故障開始發(fā)生時段400個點。其中50%的健康數(shù)據(jù)用于預測模型構建，25%的健康數(shù)據(jù)用于核密度估計訓練分布函數(shù)，25%健康數(shù)據(jù)和所有故障數(shù)據(jù)用于故障狀態(tài)識別。

圖4 傳感器位置與類型Fig.4 Position type of sensors

5.2 預測模型構建

預測模型的輸入數(shù)據(jù)為除軸振動外10個變量的時間序列數(shù)據(jù)，輸出為軸振動數(shù)據(jù)，即使用進口壓力、出口壓力等性能預測當前時刻軸振動。使用軸徑向振動偏差信息作為故障的主要描述特征。訓練前對10個變量數(shù)據(jù)分別進行歸一化，將數(shù)據(jù)線性映射至0-Pr(H1|data)Pr(data)=Pr(data|H1)Pr(H1)1范圍內。圖5顯示了算例的預測模型，以第一層LSTM的輸入為例，圖中（None，10，1）代表了輸入的維度，None表示網(wǎng)絡可輸入任意個數(shù)的樣本，（10,1）代表了每個輸入樣本是一個10×1的向量。

圖5 算例預測模型Fig.5 Prediction model of example

5.3 方法比較

5.3.1 健康狀態(tài)

使用健康數(shù)據(jù)，本節(jié)比較了提出的基于核密度估計分布和傳統(tǒng)基于正態(tài)假設的貝葉斯評估方法。貝葉斯方法需要指定壓縮機的先驗健康概率，本文將先驗概率設為π0=50%。采用試錯法，選擇固定寬度L=100的滑動窗口，根據(jù)窗口中的數(shù)據(jù)，使用公式（8）計算壓縮機的健康概率。寬度L需要保持一定長度，如果L太小，待評估的數(shù)據(jù)過少，評估過于敏感。經(jīng)過反復試驗，我們得到L=100是區(qū)分健康和故障狀態(tài)的合適值。滑動窗口每次移動一個測點來進行重復計算。圖6是健康數(shù)據(jù)下兩種方法的置信度比較，藍色實線是核密度估計健康概率，紅色虛線是傳統(tǒng)方法健康概率。

圖6 健康數(shù)據(jù)下兩種方法置信度比較Fig.6 Comparison of confidence between two methods in health data

可以看出，本文提出方法置信度曲線局部存在一些波動，但整體健康概率均大于50%，說明新方法判斷當時壓縮機處于健康狀態(tài)，波動是數(shù)據(jù)的不確定性導致的。傳統(tǒng)方法波動程度更高，特別是對部分波動比較大的點，健康概率小于50%，產(chǎn)生故障報警。實際上該數(shù)據(jù)下壓縮機處于健康狀態(tài)，新方法判斷更為準確。

圖7是預測模型的預測數(shù)據(jù)和實際數(shù)據(jù)的對比，實線代表預測模型，點劃線代表實測數(shù)據(jù)，圖像顯示模型預測結果跟實際數(shù)據(jù)的趨勢十分吻合。圖8是預測模型和實測數(shù)據(jù)殘差的分布直方圖?？梢钥闯觯词箤τ诮】禂?shù)據(jù)，其殘差同樣不符合0均值的正態(tài)分布，出現(xiàn)了均值偏離。偏離可能是由于預測模型和外界環(huán)境的不確定性導致的。

圖7 健康狀況下預測模型和實測數(shù)據(jù)對比Fig.7 Comparison between prediction model and measured data under health condition

圖8 待測健康殘差數(shù)據(jù)分布直方圖Fig.8 Distribution histogram of residual in health data

圖9是用作核密度估計訓練數(shù)據(jù)的分布直方圖，可以看出，訓練數(shù)據(jù)同樣出現(xiàn)均值偏離，且偏離方向與待測健康數(shù)據(jù)一致，數(shù)據(jù)分布十分相似。核密度估計通過訓練實際健康數(shù)據(jù)得到了這種偏離分布，并將其識別為健康狀態(tài)；傳統(tǒng)方法使用0均值正態(tài)假設，將這種均值偏離識別為故障狀態(tài)，在偏離較大的部分產(chǎn)生報警，這是兩種算法結果差別的主要原因。本文提出的基于核密度的貝葉斯故障評估算法誤報率更低，適合復雜實際工程問題。

圖9 核密度訓練用殘差數(shù)據(jù)分布直方圖Fig.9 Histogram of residual data distribution for kernel density training

5.3.2 故障數(shù)據(jù)

使用故障開始發(fā)生時的數(shù)據(jù)對比兩種方法對故障的識別效果。所有模型設置與5.3.1節(jié)中相同。圖10是比較結果，藍色實線是本文方法的置信度曲線，紅色虛線是傳統(tǒng)方法的置信度曲線。

圖10 健康數(shù)據(jù)下兩種方法置信度對比Fig.10 Comparison of confidence between two methods in fault data

可以看出，在故障開始階段，兩種方法置信度呈一直下降趨勢，最終下降到0%，說明兩種方法均判斷壓縮機處于故障狀態(tài)。

圖11是預測模型的預測數(shù)據(jù)和實際數(shù)據(jù)的對比，實線代表預測模型，點劃線代表實測數(shù)據(jù)。

圖11 故障狀態(tài)預測模型和實測數(shù)據(jù)對比Fig.11 Comparison between predicted model and measured data in fault state

圖12是殘差數(shù)據(jù)的分布直方圖?？梢钥闯觯收蠑?shù)據(jù)殘差均值出現(xiàn)明顯偏離，且其分布相對健康數(shù)據(jù)的偏離方向不同，分布具有較大差別。傳統(tǒng)方法將均值偏離識別為故障狀態(tài)，核密度方法將兩種殘差數(shù)據(jù)的分布差別識別為故障狀態(tài)，兩種方法使用不同的方法確定故障狀態(tài)，因此其置信度下降曲線存在區(qū)別。但兩者均可以很好的完成對故障狀態(tài)的識別。

圖12 待測故障殘差數(shù)據(jù)分布直方圖Fig.12 Distribution histogram of residual error of fault data

6 結論

本文發(fā)展了一個長短記憶神經(jīng)元深度學習模型，預測旋轉機械實際運行參數(shù)，并提出了一種基于核密度估計和假設檢驗的貝葉斯評估方法，可用于定量評估旋轉機械的健康狀況。傳統(tǒng)的貝葉斯似然比通常是從正態(tài)分布假設中顯式推導出來的，未能考慮到實際工程中不確定性帶來的影響。本文從貝葉斯假設檢驗和核密度估計方法出發(fā)，在不考慮數(shù)據(jù)分布的前提下，推導了似然比。使用實際的壓縮機運行數(shù)據(jù)，通過比較研究，對算法進行了定量評估。兩個結果如下：

1）對于健康狀態(tài)，該方法能夠有效識別出健康數(shù)據(jù)的分布，識別精度優(yōu)于傳統(tǒng)方法，可有效降低誤報率。

2）對于故障狀態(tài)，兩種方法均可以對故障進行有效識別。

目前所提出的方法僅限于單維數(shù)據(jù)的置信度估計，筆者將把提出的新方法擴展到多變量情況，并進一步討論算法中各個參數(shù)對旋轉機械損傷識別效果的影響。