包廣清，王 濤

(1.蘭州理工大學(xué) 電氣工程與信息工程學(xué)院，蘭州 730050；2.蘭州理工大學(xué) 甘肅省工業(yè)工程先進(jìn)控制重點(diǎn)實驗室，蘭州 730050)

0 引 言

近年來,永磁同步電機(jī)(以下簡稱PMSM)因體積小、噪聲低、質(zhì)量輕、運(yùn)行可靠等優(yōu)點(diǎn)[1]，在人們的日常生活及其國家的工農(nóng)業(yè)等方面都得到了廣泛的使用。為了更好地控制電機(jī)，需要知道電機(jī)轉(zhuǎn)子準(zhǔn)確的位置和轉(zhuǎn)速。最初獲取轉(zhuǎn)子位置的方法主要是通過安裝機(jī)械轉(zhuǎn)子位置傳感器[2]，如霍爾傳感器、磁阻傳感器、電渦流式傳感器等，但是這些設(shè)備的安裝增加了系統(tǒng)的成本，提高了對工作環(huán)境的要求，電機(jī)整體設(shè)備也變得非常復(fù)雜，最終導(dǎo)致電機(jī)的可靠性降低[3]。因此，無速度傳感器方法開始受到大量學(xué)者的關(guān)注與研究。

目前，PMSM無傳感器檢測法主要有兩種：一種是外加激勵信號的方法[4]，即根據(jù)電機(jī)的凸極效應(yīng)，給電機(jī)繞組中通入激勵信號，通過分析其響應(yīng)信號提取轉(zhuǎn)子位置，該方法比較適用于電機(jī)起動及低速運(yùn)轉(zhuǎn)時轉(zhuǎn)子及轉(zhuǎn)速的提取，如脈振高頻信號注入法[5]；另一種是不外加激勵信號的方法，即直接根據(jù)電機(jī)反電動勢提取包含轉(zhuǎn)子位置的信號，這種方法適用于電機(jī)高速工作情況。不外加激勵信號的方法一般有狀態(tài)觀測器法[6]、基于磁鏈的估計方法[7]、模型參考自適應(yīng)方法[8]、擴(kuò)展卡爾曼濾波器(Extended Kalman Filter, EKF)[9]、模糊控制[10]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[11]等。狀態(tài)觀測器法需要獲得系統(tǒng)的全部狀態(tài)信息，但是系統(tǒng)的狀態(tài)變量不一定都能直接測量到，即使有些變量可測,所需的傳感器價格也較高，增加了系統(tǒng)的成本與復(fù)雜性[12]。模型參考自適應(yīng)法對控制系統(tǒng)中電機(jī)的參數(shù)依賴性非常高。模糊控制是對檢測到的信息進(jìn)行模糊處理，這個過程會降低系統(tǒng)的控制精度，并且控制器的設(shè)計尚缺乏系統(tǒng)性[13]。滑模變結(jié)構(gòu)通過不停地改變控制器的結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)系統(tǒng)的不間斷控制，這種方法受到系統(tǒng)參數(shù)和外界干擾的影響較小，最后測量得到的結(jié)果誤差也比較小。但是傳統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)觀測法所使用的開關(guān)函數(shù)和低通濾波器會產(chǎn)生抖振大、電機(jī)中大量諧波無法消除等問題，系統(tǒng)測量得到的轉(zhuǎn)子位置準(zhǔn)確性大大降低。

針對以上提到的傳統(tǒng)滑模觀測器中的兩種問題，前人提出對系統(tǒng)的開關(guān)轉(zhuǎn)換函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使系統(tǒng)的開關(guān)函數(shù)趨近平滑，從而削弱抖振。本文在傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)觀測法檢測轉(zhuǎn)子位置信息的基礎(chǔ)上，引入卡爾曼濾波器，利用其濾波能力的同時去逼近未知模型參數(shù)，適當(dāng)擴(kuò)大解空間的搜索范圍，避免了不必要的系統(tǒng)誤差，可以濾除系統(tǒng)中的大量諧波。兩種方法都能相應(yīng)地減弱抖振，達(dá)到優(yōu)化傳統(tǒng)滑模觀測器的目的。最后通過仿真建模，來對比PMSM在優(yōu)化前后對電機(jī)轉(zhuǎn)子位置檢測的不同結(jié)果。

1 電機(jī)數(shù)學(xué)模型

圖1 各坐標(biāo)系關(guān)系

PMSM在兩相靜止坐標(biāo)系即α，β坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型：

(1)

反電動勢在兩相靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型：

(2)

式中：iα與iβ分別是定子電流在靜止坐標(biāo)系α，β軸中的分量；Uα與Uβ分別是定子電壓在靜止坐標(biāo)系α，β軸中的分量；eα與eβ分別是反電動勢在靜止坐標(biāo)系α，β軸中的分量；R為定子電阻；ψf為轉(zhuǎn)子磁鏈；ωr為轉(zhuǎn)子角速度；L為定子電感；θ為轉(zhuǎn)子位置角。

(3)

(4)

傳統(tǒng)的滑模觀測器機(jī)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 傳統(tǒng)滑模觀測器結(jié)構(gòu)圖

2 傳統(tǒng)滑模觀測器滑模面改進(jìn)措施

非線性的滑模變結(jié)構(gòu)控制在1950年左右被提出,其突出特點(diǎn)是對控制的不連續(xù)性，即對控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不固定。并且在系統(tǒng)的狀態(tài)改變時，非線性滑?？刂频倪\(yùn)動狀態(tài)可根據(jù)系統(tǒng)的變化做出相應(yīng)調(diào)整，不受系統(tǒng)狀態(tài)變化的影響，可以很好地解決非線性系統(tǒng)問題。

如圖3所示，設(shè)s(x)為一個切換面。

圖3 切換面上三種不同的點(diǎn)

(5)

(1) A類：系統(tǒng)從遠(yuǎn)離曲面開始出發(fā)，運(yùn)動到滑模面附近，然后穿過滑模面最后遠(yuǎn)離滑模面，稱為普通點(diǎn)；

(2) B類：系統(tǒng)運(yùn)動到滑模面附近，并且向兩邊遠(yuǎn)離滑模面，稱為起始點(diǎn)；

(3) C類：系統(tǒng)運(yùn)動到滑模面附近，并且從兩邊趨近于該點(diǎn)，稱為終止點(diǎn)。

如果在該曲面的某一片范圍內(nèi)存在的均為C類終止點(diǎn)，則將這片區(qū)域稱為滑模區(qū)，該點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)稱為滑模運(yùn)動。

若知道系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

(6)

式中：x為系統(tǒng)狀態(tài)；u為控制變量；t為時間。

有合適的切換函數(shù)s(x),x∈R,則有控制量u：

(7)

式中：u+(x)≠u-(x)。

結(jié)合以上PMSM數(shù)學(xué)模型以及滑模變結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)的滑模觀測器通常設(shè)計如下：

(8)

式中：

(9)

(10)

將式(8)與式(1)做差，得到系統(tǒng)的動態(tài)偏差：

(11)

(12)

將式(12)代入式(3)與式(4)，就可以估算出轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速信息。

傳統(tǒng)的滑模控制為了使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，必須要維持滑模態(tài)運(yùn)動并且要產(chǎn)生無限的切換控制。在實際的滑?？刂葡到y(tǒng)中，控制開關(guān)和測量方式存在客觀局限性，并且選取的是具有不連續(xù)性質(zhì)的控制開關(guān)函數(shù)，并不能實現(xiàn)理想中的無限快的切換控制條件，會導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生比較嚴(yán)重的抖振現(xiàn)象。因此，可以通過改進(jìn)開關(guān)切換函數(shù)來消除一部分抖振對系統(tǒng)的影響。

對于上述提到的抖振問題，在一個實際的現(xiàn)變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，一些理想狀態(tài)是不可能完全都成立的，抖振會使系統(tǒng)的耗能增加，還會使系統(tǒng)的控制精度降低，甚至更嚴(yán)重的情況下有可能使整個系統(tǒng)振蕩或者失穩(wěn)?？紤]到開關(guān)函數(shù)的快速切換引起的不連續(xù)控制是抖振發(fā)生的根本原因，提出采用sigmoid函數(shù)取代sign函數(shù)來削弱抖振現(xiàn)象。

(13)

式中:k為觀測器的增益系數(shù)；a為連續(xù)函數(shù)的斜率且a>0，其中a值越小，連續(xù)函數(shù)的曲線越光滑，系統(tǒng)的抖振也會越小，反之，a值越大，系統(tǒng)的抖振也越劇烈。sigmoid函數(shù)的曲線如圖4所示。

圖4 sigmoid函數(shù)

采用sigmoid函數(shù)表達(dá)式：

(14)

3 基于滑模觀測器的卡爾曼濾波器

傳統(tǒng)的滑模觀測器在得到zα，zβ后，其中有電機(jī)轉(zhuǎn)子位置信息和高頻諧波，傳統(tǒng)方法是通過低通濾波器來消除控制信號中存在的大量諧波，得到比較平滑的開關(guān)信號，也可以減弱系統(tǒng)抖振現(xiàn)象。但是低通濾波器在滑模觀測器中的使用會引起系統(tǒng)相位偏移，并且也不能有效濾除系統(tǒng)中的諧波和擾動，最后得到轉(zhuǎn)子位置的誤差也較大，對系統(tǒng)的估測精度有較大的影響。改進(jìn)方法是選擇在低通濾波器之后再引入擴(kuò)展卡爾曼濾波器，卡爾曼濾波器是一種實時的遞推算法，即使系統(tǒng)中有很大的噪聲和擾動，最后依然可以得到一個比較準(zhǔn)確的估計值。改進(jìn)方法的核心是利用觀測得到的反饋值來修正預(yù)測值，慢慢逼近真實值。本文要處理的噪聲也是系統(tǒng)噪聲，現(xiàn)實中的噪聲大都符合高斯噪聲的正態(tài)分布特性，如圖5所示。

圖5 高斯噪聲的正態(tài)分布特性

卡爾曼濾波器首先在某一隨機(jī)時刻進(jìn)行估計，然后再用測量得到反饋值進(jìn)行校正。如圖6所示，將卡爾曼濾波器分為兩個部分，即時間更新和狀態(tài)更新。

圖6 卡爾曼濾波器遞推原理圖

圖6中，時間更新是利用當(dāng)前所處時刻的狀態(tài)估計和其誒方程估計來更新下一時刻的初步估計值。狀態(tài)更新是利用系統(tǒng)中的反饋作用通過時間更新中的初步估計值計算出最終估計值。

在實際生活中我們所遇到的都是非線性系統(tǒng)，但是卡爾曼濾波器算法主要針對線性系統(tǒng)，所以必須要對非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，線性化之后再采用卡爾曼濾波器，得到擴(kuò)展卡爾曼濾波器。但是，我們遇到的非線性系統(tǒng)并不一定都可以進(jìn)行合理的線性化變換，需要假設(shè)在所處理的非線性系統(tǒng)中，經(jīng)過合理的線性變換后依舊可以如實反映系統(tǒng)的各種性質(zhì)，并且可以解出所建立的非線性微分方程。

在非線性系統(tǒng)中設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)變量為x(t)，系統(tǒng)輸出變量為y(t)，則有：

(15)

式中：u(t)為輸入矢量;σ(t)和μ(t)分別為相互獨(dú)立且具有零均值高斯白噪聲特性的系統(tǒng)噪聲和測量噪聲，其中σ(t)的協(xié)方差為Q(t)，μ(t)的協(xié)方差為R(t)。

定義Jacobian矩陣：

(16)

(17)

利用Jacobian矩陣對式(15)進(jìn)行線性化處理，離散化后可得：

Δx(k)=Φ[tk,tk-1,x(k-1)]Δx(tk-1)+σ(tk-1)

(18)

開始時間需要知道系統(tǒng)最初值，但在一個隨機(jī)的實際系統(tǒng)中這一點(diǎn)是無法辦到的，在最初估計中誤差會較大，隨著時間的推移，在一致隨機(jī)可控和可觀測系統(tǒng)中，會慢慢收斂直到系統(tǒng)變得穩(wěn)定。由上文提到的設(shè)計原理，設(shè)計的卡爾曼濾波器狀態(tài)方程：

(19)

(20)

(21)

(22)

改進(jìn)后的結(jié)構(gòu)圖如圖7所示。

圖7 改進(jìn)后的滑模觀測器結(jié)構(gòu)圖

整體優(yōu)化后基于滑模觀測器的PMSM轉(zhuǎn)子位置檢測體統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖8所示。

圖8 含卡爾曼濾波環(huán)節(jié)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

4 改進(jìn)后的仿真結(jié)果分析

為了驗證上述的改進(jìn)方法，設(shè)計了仿真建模，其中電機(jī)動態(tài)參數(shù)如下：額定功率P=1.25 kW，額定電壓U=230 V，極對數(shù)p=4，d，q軸電感Ld=Lq=3.13 mH,轉(zhuǎn)動慣量J=0.008 kg·m2。

電機(jī)空載起動，初始速度給定為1 200 r/min，在0.2 s時給電機(jī)突加負(fù)載10 N·m，待轉(zhuǎn)速穩(wěn)定之后，在0.4 s給電機(jī)減負(fù)載5 N·m，如圖9～圖11所示，檢測對比傳統(tǒng)方法和優(yōu)化后的滑模觀測器對電機(jī)轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速的估測跟蹤性能。

圖9 加減負(fù)載電機(jī)定子電流圖

優(yōu)化前后滑模觀測器轉(zhuǎn)速和角度對比如圖10所示。傳統(tǒng)的滑模觀測器在0.05 s時系統(tǒng)才進(jìn)入了穩(wěn)定狀態(tài)，但是優(yōu)化后的滑模觀測器在0.03 s就很快跟蹤到了系統(tǒng)速度，在增加電機(jī)負(fù)載和減少電機(jī)負(fù)載的情況下，優(yōu)化后的滑模觀測器觀測曲線都要比傳統(tǒng)的滑模觀測器觀測曲線波動都要小，且率先進(jìn)入系統(tǒng)穩(wěn)定階段。優(yōu)化后的滑模觀測器電機(jī)轉(zhuǎn)子位置誤差始終保持在0.05 rad范圍以內(nèi)。優(yōu)化后的滑模觀測器系統(tǒng)在空載起動和加減負(fù)載情況下跟蹤情況波動小，超調(diào)量小，電機(jī)的響應(yīng)速度提高，性能明顯得到了提升。

(b) 轉(zhuǎn)子角度

給定電機(jī)初始轉(zhuǎn)速為1 200 r/min，在0.2 s之后轉(zhuǎn)速突變?yōu)?00 r/min，在此過程中傳統(tǒng)的滑模觀測器和改進(jìn)后的滑模觀測器對電機(jī)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子角度估測情況如圖11所示。

(a) 轉(zhuǎn)速

(b) 轉(zhuǎn)子角度

由圖11中可知，在電機(jī)起動和減速階段，優(yōu)化后的滑模觀測器曲線都要比傳統(tǒng)滑模觀測測器曲線波動小，并且角度誤差都在0.03 rad以內(nèi)，在減速過程中轉(zhuǎn)速曲線變化平緩，電機(jī)反應(yīng)速度快，運(yùn)行穩(wěn)定，超調(diào)量小，動態(tài)靜態(tài)性能都得到提升。

5 結(jié) 語

本文主要研究無位置傳感器PMSM轉(zhuǎn)子位置及速度檢測，基于傳統(tǒng)滑模觀測器，對傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)的開關(guān)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)；傳統(tǒng)滑模觀測器中的低通濾波器不能有效濾除諧波，影響電機(jī)運(yùn)行性能，因此引入了擴(kuò)展卡爾曼濾波器，高效濾除高頻紋波，提高系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)。最后在MATLAB/Simulink平臺進(jìn)行仿真建模研究，對仿真結(jié)果進(jìn)行分析后有如下結(jié)論：改進(jìn)后的方法對于硬件成本要求較低，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡單，超調(diào)量小，優(yōu)化后性能有所提升；在電機(jī)負(fù)載和轉(zhuǎn)速改變時，與傳統(tǒng)方法相比，該方法誤差變小，動態(tài)性能變好，對電機(jī)的轉(zhuǎn)速和位置有更好的估測效果。