常怡鵬，王小平，林秦穎，王曉光，董昕瑜

(空軍工程大學(xué)航空工程學(xué)院，西安 710038)

0 引言

導(dǎo)彈作為一個(gè)復(fù)雜的非線性被控對(duì)象，常用的控制方法是先對(duì)導(dǎo)彈的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行小擾動(dòng)線性化，再用常規(guī)的線性化控制方法對(duì)線性化的狀態(tài)方程進(jìn)行控制[1]。但是隨著導(dǎo)彈的超機(jī)動(dòng)以及非常規(guī)機(jī)動(dòng)性能的提高，這種方法已經(jīng)不能滿足需要。近年來，各種非線性控制方法成為研究的熱點(diǎn)，如魯棒控制[2],滑模自適應(yīng)控制[3]等。這些非線性動(dòng)態(tài)逆控制方法由于具有良好的控制性能已經(jīng)廣泛的被導(dǎo)彈的姿態(tài)控制系統(tǒng)所應(yīng)用[4-6]?；诜蔷€性動(dòng)態(tài)逆控制的設(shè)計(jì)方法，運(yùn)動(dòng)過程中所有的非線性信息[7]以及導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的耦合信息全都包含其中。既解決了回路之間的解耦，還解決了非線性系統(tǒng)的控制問題，使得導(dǎo)彈控制系統(tǒng)從傳統(tǒng)的三通道設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)變成整體的設(shè)計(jì)。但是這種方法過度依賴被控對(duì)象的精確模型，而控制系統(tǒng)由于非線性、外在干擾以及未建模動(dòng)態(tài)特性，無法獲得精確的模型[8-10]。從而導(dǎo)致控制器具有較差的魯棒性。近年來的研究表明，多層感知器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)參數(shù)是非線性的，并且具有以理想精度逼近平滑非線性函數(shù)的能力[11]，所以可以用于補(bǔ)償動(dòng)態(tài)逆誤差。

為了有效的降低控制系統(tǒng)的跟蹤誤差，提高系統(tǒng)的魯棒性，文中在考慮模型不確定性的基礎(chǔ)上采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)逆模型誤差進(jìn)行動(dòng)態(tài)在線補(bǔ)償。

1 導(dǎo)彈數(shù)學(xué)模型的建立

導(dǎo)彈在飛行過程中受到氣動(dòng)力、主推力以及重力作用[12]：

(1)

式中：Xa、Ya、Za為氣動(dòng)力在彈體坐標(biāo)系下的分量；Px、Py、Pz為主推力在彈體坐標(biāo)系下的分量；Gx、Gy、Gz為重力在彈體坐標(biāo)系下的分量。

由于重力在Oy垂直方向上的分量為零，因此Py=Pz=0。在彈體坐標(biāo)系下，將重力矢量進(jìn)行投影，可以得到：

(2)

最終合外力的表達(dá)式為：

(3)

由于導(dǎo)彈的飛行高度、速度、角速率以及姿態(tài)角均能夠影響導(dǎo)彈的氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩[13]，所以導(dǎo)彈的氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩由導(dǎo)彈的氣動(dòng)外形和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所決定，表達(dá)式近似如下：

(4)

(5)

由導(dǎo)彈繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可得：

(6)

(7)

2 動(dòng)態(tài)逆控制器的設(shè)計(jì)

狀態(tài)變量在動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程中具有時(shí)間尺度差異的特點(diǎn)，文中采用層疊結(jié)構(gòu)控制的思想來選取兩組變量[14-15]，一組慢變量：俯仰角?、偏航角ψ、滾轉(zhuǎn)角γ；一組快變量：ωx,ωy,ωz3個(gè)角速度。在求解快變量子系統(tǒng)時(shí)，可以認(rèn)為俯仰角?、偏航角ψ、滾轉(zhuǎn)角γ是常量。通過上述分析，將系統(tǒng)分為慢回路和快回路并設(shè)計(jì)相應(yīng)的姿態(tài)控制器。

為了使得快回路能夠快速精準(zhǔn)的跟蹤慢回路[16]，設(shè)計(jì)快回路的帶寬是慢回路帶寬的3～5倍。系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)的框圖如圖1所示。

圖1 導(dǎo)彈控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

基于上述導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，分別得到控制器的慢回路運(yùn)動(dòng)方程以及快回路運(yùn)動(dòng)方程：

(8)

(9)

2.1 慢回路姿態(tài)控制器的設(shè)計(jì)

根據(jù)慢回路運(yùn)動(dòng)方程設(shè)計(jì)慢回路的動(dòng)態(tài)逆控制器的控制律。

由式(7)可以得到導(dǎo)彈的慢回路運(yùn)動(dòng)模型：

(10)

式中：xf=(ωx,ωy,ωz)T,xs=(?,ψ,γ)T

(11)

(12)

當(dāng)t→，上式變?yōu)?

(13)

由于可逆，則令xsc=(?c,ψc,γc)T, 定義跟蹤誤差為:

(14)

取慢回路輸出為(?,ψ,γ)，由于gs(xs)可逆，對(duì)式(9)進(jìn)行反饋線性化，可得控制律如下：

(15)

式中：Ws=diag(W?,Wψ,Wγ)，W?、Wψ、Wγ均大于零。

將上式代入式(12)中可得到慢回路的閉環(huán)特征方程：

(16)

下面進(jìn)行控制器穩(wěn)定性的證明：

(17)

(18)

則有：

(19)

2.2 快回路姿態(tài)控制器的設(shè)計(jì)

根據(jù)快回路運(yùn)動(dòng)方程設(shè)計(jì)快回路的動(dòng)態(tài)逆控制器的控制律。

由方程(8)可得到導(dǎo)彈快回路的動(dòng)力學(xué)模型：

(20)

當(dāng)Δ1Δ2Δ3≠0時(shí)，gf(x)矩陣可逆，則令xfc=(ωxc,ωyc,ωzc)T,定義跟蹤誤差：

(21)

快回路的輸出為ωx、ωy、ωz,又因?yàn)間f(x)矩陣可逆，對(duì)式(19)進(jìn)行反饋線性化，可以得到控制律如下：

(22)

將上式代入式(19)中可以得到快回路的閉環(huán)特征方程：

(23)

快回路穩(wěn)定性證明在此不再贅述。

3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償逆誤差

3.1 逆誤差的產(chǎn)生以及跟蹤動(dòng)態(tài)特性

根據(jù)上述非線性動(dòng)態(tài)逆方法，設(shè)計(jì)的控制量為：

(24)

(25)

文中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型參考自適應(yīng)控制[17]，結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)控制結(jié)構(gòu)

指令濾波器作用是對(duì)指令信號(hào)進(jìn)行濾波以得到理想的指令響應(yīng)。設(shè)偽控制信號(hào)為：

ν=νpd+νf-νad

(26)

式中：νf為指令濾波器輸出的偽控制信號(hào)；νad為自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出；νpd為PD補(bǔ)償器的輸出。

PD補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)采用線性控制理論，輸出的偽控制量為：

νpd=[KdKP]e

將式(26)代入式(25)中可以得到舵偏指令的跟蹤誤差的動(dòng)態(tài)特性：

(27)

由式(26)可知用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出項(xiàng)νad能夠重構(gòu)動(dòng)態(tài)逆誤差的話，系統(tǒng)的指令跟蹤誤差將漸進(jìn)趨向零。

3.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

文中重構(gòu)動(dòng)態(tài)逆誤差[18]采用單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖3所示，輸入輸出關(guān)系式為：

式中:σ(·)為激勵(lì)函數(shù);N1、N2、N3代表神經(jīng)元的個(gè)數(shù)，它們分別屬于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層、中間隱含層和輸出層;vjk、wij代表層與層之間的權(quán)值，分別屬于輸入層到隱含層，隱含層到輸出層。

圖3 單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

由單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局近似定理,存在有限個(gè)神經(jīng)元數(shù)N2以及重構(gòu)逆誤差的理想權(quán)重矩陣W′和V′使得：

(28)

式中：Δ代表的是非線性動(dòng)態(tài)逆誤差函數(shù)，εN滿足εN>0，是任意給定的逆重構(gòu)誤差。

式(26)中的自適應(yīng)項(xiàng)為：

(29)

(30)

網(wǎng)絡(luò)的逼近性能通過在線實(shí)時(shí)更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)各層之間權(quán)值以及各神經(jīng)元閾值來保證，從而體現(xiàn)出在線補(bǔ)償?shù)奶匦浴?/p>

4 仿真結(jié)果分析

4.1 無補(bǔ)償逆誤差的情況

用Matlab/Simulink搭建導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)模型以及導(dǎo)彈的控制模型，在這里Wωx=Wωy=Wωz=50 s-1，W?=Wψ=Wγ=10 s-1，在驗(yàn)證設(shè)計(jì)的控制器時(shí)，需要考慮到舵機(jī)的實(shí)際轉(zhuǎn)角限制，初始條件如下：V=500 m/s，導(dǎo)彈質(zhì)量M=1 840 kg，指令姿態(tài)角γc=0°，實(shí)際舵機(jī)轉(zhuǎn)角限制為±15°。

為了驗(yàn)證控制器的穩(wěn)定性和控制的精準(zhǔn)性，現(xiàn)在將指令信號(hào)設(shè)為正弦信號(hào)γc=0°，?c=ψc=sin(0.2π·t)/57.3，仿真結(jié)果如圖4～圖6所示。

圖4 俯仰角跟蹤曲線

圖5 偏航角跟蹤曲線

圖6 滾轉(zhuǎn)角跟蹤曲線

由圖4、圖5可知，控制器在跟蹤俯仰角和偏航角指令信號(hào)有較大的跟蹤誤差，在第5 s時(shí)的跟蹤誤差最大分別達(dá)到了0.25°和0.27°，跟蹤精度不理想。由圖6可知，在跟蹤滾轉(zhuǎn)指令信號(hào)時(shí)，超調(diào)量較大。

4.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償逆誤差的情況

對(duì)導(dǎo)彈飛行期間的主要控制量即3個(gè)姿態(tài)角分別設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器從而改善系統(tǒng)的性能。為了使權(quán)重矩陣包括隱含層和輸出層神經(jīng)元的閾值，在輸入層和隱含層之間增加一個(gè)神經(jīng)元，該神經(jīng)元輸出為常數(shù)并且與下一層神經(jīng)元之間的閾值實(shí)時(shí)調(diào)整，設(shè)置神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要調(diào)整的連接權(quán)重?cái)?shù)量為68個(gè)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層、隱含層和輸出層神經(jīng)元數(shù)目分別為5、10和1。同樣將指令信號(hào)設(shè)為正弦信號(hào)γc=0°，?c=ψc=sin(0.2π×t)/57.3。并且將氣動(dòng)參數(shù)攝動(dòng)20%，仿真結(jié)果如圖7～圖9所示。

圖7 俯仰角跟蹤曲線

圖8 偏航角跟蹤曲線

圖9 滾轉(zhuǎn)角跟蹤曲線

從圖7到圖9可以看出，在加入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償系統(tǒng)逆誤差之后，俯仰角和偏航角的跟蹤誤差明顯降低，最大誤差為0.05°，并逐漸趨向于0。對(duì)于滾轉(zhuǎn)角的跟蹤，超調(diào)量相比于誤差補(bǔ)償前也有明顯的減小。同時(shí)，系統(tǒng)在氣動(dòng)參數(shù)攝動(dòng)20%后，仍具有良好的性能，滿足工程實(shí)際需求。

5 結(jié)語

文中基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局近似的思想，重構(gòu)非線性動(dòng)態(tài)逆控制器的逆誤差，設(shè)計(jì)了一種具有動(dòng)態(tài)逆誤差補(bǔ)償?shù)目刂破?。與單一非線性動(dòng)態(tài)逆控制器相比，該方案充分利用動(dòng)態(tài)逆控制中的設(shè)計(jì)信息，實(shí)現(xiàn)了逆誤差的補(bǔ)償。使得非線性動(dòng)態(tài)逆控制方法能夠滿足工程的實(shí)際需求。從仿真結(jié)果可以看出，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)逆誤差進(jìn)行補(bǔ)償后，控制系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)性能和較強(qiáng)的魯棒性。