孫慧靜　王麗英　劉丹

【摘要】利用Matlab編程展示幾何圖，進而探討了數學美的特征——簡潔性，對稱性與奇異性。通過展示幾何圖，讓學員感受到數學之美，從而提高學員學習數學的積極性，激發(fā)學員學習數學的興趣。

【關鍵詞】Matlab軟件? Julia集? Sierpinski三角形? Koch曲線

【中圖分類號】O192 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）19-0252-02

一、引言

高等數學和工程數學（以下簡稱數學）是理工科軍事院校學員必修的公共基礎課。數學是學員學好理工專業(yè)課程的基礎，該課程除了能夠讓學員掌握基本的數學理論知識外，更重要的是數學對培養(yǎng)和加強學員的理性思維、思辨能力、分析和解決問題的能力有重要的作用，是開發(fā)學員潛在能動性和創(chuàng)造力的重要課程。但是，數學教員在進行授課時發(fā)現(xiàn)許多學員對數學不感興趣，更有甚者對學習數學有厭倦心理。經過調查發(fā)現(xiàn)這些不愛學習數學的學員總是將數學與“枯燥”、“抽象”、“晦澀”等一些詞聯(lián)系在一起，他們對學習數學有畏難心理，覺得“數學難，難于上青天”。怎樣使學員對學習數學產生興趣呢？這是廣大數學教育工作者亟需解決的問題。

Matlab是矩陣實驗室（Matrix Laboratory）的簡稱，是美國Math Works公司開發(fā)的一種數學軟件，可用于算法開發(fā)、數據分析以及數值計算的高級技術計算語言和交互式環(huán)境。

本文旨在通過Matlab軟件編程展現(xiàn)數學之美，從而達到提高學員學習數學的積極性，激發(fā)學員學習數學興趣的目的[1]。

二、利用Matlab編程展現(xiàn)數學美

德國大數學家Gauss說過“數學是科學中的皇后”。Gauss在這里談的是一種在形式上高度抽象的美。一種被數學家所認可卻對大多數人來說未曾體驗或難以想象的內在美。直到上個世紀80年代，由于電子計算機特別是圖象顯示系統(tǒng)的發(fā)展，這種邏輯形式、結構與證明所構成的美才通過在計算機屏幕上顯示出結果使得人們有目共睹。

利用Matlab軟件編程，畫出Julia集，Sierpinski三角形和Koch曲線的圖像，學員就不難發(fā)現(xiàn)數學具有如下的美學特征：簡潔美、對稱美和奇異美。

生成Julia集的Matlab程序如下：

clc，clear

a=-0.11; b=0.65; r=2; N=60;

hold on

for x0=-r：0.02：r

for y0=-r：0.02：r

x（1）=x0; y（1）=y0;

if x0^2+y0^2<=r^2

for n=1：N

x（n+1）=x（n）^2-y（n）^2+a;

y（n+1）=2*x（n）*y（n）+b;

end

if x（end）^2+y（end）^2

plot（x0，y0，'.'）

end

end

end

end

著名德國數學家和物理學家H. Weyl說：“美和對稱緊密相連。”Sierpinski三角形[2]是具有自相似對稱性的幾何對象，它指的是對一類具有無窮嵌套的幾何對象，適當地取出其一部分，并加以放大，觀察者看到的結果與整體對象完全相同。圖2由無窮次分割做成，若取出其中一部分，放大2n倍（n為整數），則獲得與整體對象完全相同的圖形。Sierpinski三角形的構成原理為：把一個三角形分成四等份，挖掉中間那一份，然后繼續(xù)對另外三個三角形進行這樣的操作，并且無限地遞歸下去。每一次迭代后整個圖形的面積會減小到原來的3/4。因此最終得到的圖形面積顯然為0。這就是說，Sierpinski三角形其實是一條曲線。由圖2不難發(fā)現(xiàn)Sierpinski三角形圖形上毫無保留地展現(xiàn)出數學的對稱美。

生成Sierpinski三角形的Matlab程序如下：

function mysierpinski（x，y，L，n）

hold on

if n==1

x1=x-L/2; y1=y-L*tan（pi/6）/2;

x2=x+L/2; y2=y-L*tan（pi/6）/2;

x3=x; y3=y+L*tan（pi/6）/2;

plot（[x1;x2]，[y1;y2]）; plot（[x2;x3]，[y2;y3]）; plot（[x3;x1]，[y3;y1]）

else

x01=x-L/4; y01=y-L*tan（pi/6）/4;

x02=x+L/4; y02=y-L*tan（pi/6）/4;

x03=x; y03=y+L*tan（pi/6）/4;

mysierpinski（x01，y01，L/2，n-1）

mysierpinski（x02，y02，L/2，n-1）

mysierpinski（x03，y03，L/2，n-1）

end

奇異美總是體現(xiàn)在沖破傳統(tǒng)觀念和經驗的局限性，以新奇的方法或從新奇的前提（如公理）出發(fā)，得出新穎的數學結果中。1904年，瑞典數學家H. von Koch等方法構造了如今稱為Koch曲線[3]或雪花曲線（如圖3所示）的處處不可微的連續(xù)曲線，并且討論了該曲線的性質：一條封閉的曲線，它本身的長無限，然而它所圍的區(qū)域面積卻有限的怪異。其構造如下：設L0為單位直線段，將其三等分后，中間一段用與其組成等邊三角形的另兩邊代替，得到L1，L1包含四條線段。把同樣的過程應用到L1的每個直線段而構造L2。以此類推，對Ln的每條線段重復以上做法得到Ln+1。當n趨向于無窮時，所得的折線序列趨于極限曲線L，稱L就是Koch曲線。

生成Koch曲線的程序如下：

function koch（level）

xl=zeros（level， 1）;

xr=xl;

xr（level）=1;

yl=xl;

yr=yl;

r=sqrt（1/3^2-1/6^2）;

hold on，

subkoch（xl， xr， yl， yr， level， r）;

hold off;

axis equal;

axis tight;

axis off;

function subkoch（xl， xr， yl， yr， level， r）

% draws a line at the lowest iteration level

if level==1

plot（[xl（1） xr（1）]， [-yl（1） -yr（1）]， 'b-'） ，

return

end

% branch in the next level

level=level-1;

% left subbranch

xl（level）=xl（level+1）;

yl（level）=yl（level+1）;

xr（level）=1/3*xr（level+1）+2/3*xl（level+1）;

yr（level）=1/3*yr（level+1）+2/3*yl（level+1）;

subkoch（xl， xr， yl， yr， level， r）;

% middle left subbranch

xl（level）=xr（level）;

yl（level）=yr（level）;

xr（level）=5*xr（level+1）+5*xl（level+1）-r*（yl（level+1）-yr（level+1））;

yr（level）=5*yr（level+1）+5*yl（level+1）+r*（xl（level+1）-xr（level+1））;

subkoch（xl， xr， yl， yr， level， r）;

% middle right subbranch

xl（level）=xr（level）;

yl（level）=yr（level）;

xr（level）=2/3*xr（level+1）+1/3*xl（level+1）;

yr（level）=2/3*yr（level+1）+1/3*yl（level+1）;

subkoch（xl， xr， yl， yr， level， r）;

% right subbranch

xl（level）=xr（level）;

yl（level）=yr（level）;

xr（level）=xr（level+1）;

yr（level）=yr（level+1）;

subkoch（xl， xr， yl， yr， level， r）;

三、總結

本文應用Matlab軟件展現(xiàn)了一些美麗的分形圖。通過上面的幾個小例子，讓學員真實感受到數學是一門很美的學問，從而達到提高學員學習數學的積極性，培養(yǎng)學員學習數學興趣的目的。

參考文獻：

[1]李鐵木.數學與美學[M].北京：地震出版社，1999.8-10.

[2]汪小帆，李翔，陳關榮.復雜網絡理論及其應用[M].北京：清華大學出版社，2005，42-46.

[3]陳士化，陸軍安.混沌動力學初步[M].武漢：武漢水利出版社，1998，81-92.

作者簡介：

孫慧靜（1982-），女，博士，講師。