劉瓊,劉英迪

(邵陽學院 1.理學院；2.經濟管理學院,湖南 邵陽,422000)

(1)

成立,這里的常數因子π為最佳值。式(1)在偏微分方程理論和分析學中有重要作用[1-2]，經過1個多世紀的發(fā)展,式(1)有了非常豐富的推廣應用成果,見文獻[3-8]。

2011年,楊必成[9]得到1個具指數核的非齊次Hilbert型積分不等式:

(2)

本文引入多個參數,利用權函數方法和實分析技巧,對式(2)進行推廣研究，為此考慮了積分核為e-α(xy)β(α>0,β>0)的Hilbert型積分不等式、等價式及相應逆向式,證明了它們的常數因子是最佳值。

1 有關引理

引理1[15]設α>0,β>0,μ>-1,則有下列積分公式:

(3)

則有

(4)

證明作變換xy=t,由式(3)得到

同理可證得

則有

(5)

(6)

證明很容易證得:

(7)

2 主要結論

(8)

成立。

證明由H?lder不等式[18]和Fubini定理及引理2，有

(9)

定理2在與定理1相同的條件下,還有不等式

(10)

成立,且式(10)和式(8)等價。

由定理1有

(11)

由式(11)得到

上式兩邊取p次方即可得式(10)。由式(8)推得式(10)成立。

現在由式(10)推得式(8)成立。由H?lder不等式及式(10)有

上式即為式(8),因此，式(8)和式(10)等價,證畢。

定理4設0

(12)

和其等價式

(13)

成立,且它們的常數因子均是最佳值。

在式(8)和式(10)中選取合適參數值,可得到一些形式簡單的不等式。舉例如下。

(14)

例2取α=β=σ=1,p=q=2,則得到如下等價不等式:

(15)

(16)

文獻[9]也得到與式(15)同樣的結論。

(17)

(18)

其中不等式右邊常數因子2和4均為最佳值。

(19)

(20)

其中，不等式右邊的常數因子均為最佳值。