楊學鳳 鄧秋芳 徐惇儒 李盈盈 趙艷輝

【摘要】本文結合定積分的性質、函數的連續(xù)性和可導性從兩個不同的方面對一類與定積分有關的數列極限問題進行了探討。通過對具體實例的分析研究得到了解決這類問題的一般方法，為此類極限的計算提供了理論依據。

【關鍵詞】數列極限 ?定積分 ?連續(xù)性 ?可導性

【基金項目】湖南科技學院2018年校級大學生研究性學習和創(chuàng)新性實驗計劃項目資助（序號56）;湖南科技學院應用特色學科建設項目資助。

【中圖分類號】O172.2 ? ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）08-0227-01

本文將結合定積分的性質、函數的連續(xù)性和可導性從兩個不同的方面將此類定積分化為某些數列，再利用數列極限的性質求出該數列極限。并通過具體實例分析研究出對于滿足不同條件的被積函數所采取的方式方法，為此類極限的計算提供理論依據。

1.已知函數f（x）在閉區(qū)間端點連續(xù)或在閉區(qū)間連續(xù)求極限

如果已知函數在一點x0連續(xù)，先寫出函數在一點x0連續(xù)的？著-？啄定義，[a，b]再將區(qū)間分成兩個不同的小區(qū)間進行討論。對于區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數，除了可利用一點連續(xù)的？著-？啄定義外，還可以利用一致連續(xù)的性質，再將區(qū)間[a，b]分成兩個不同的小區(qū)間進行討論。在不同的小區(qū)間上|f（x）-f（b）|的處理方式不同。請看下例。

例1 設f（x）是在[a，b]可積且在x=b連續(xù)的函數，求證：

小結 ?利用積分區(qū)間的可加性將積分區(qū)間分成[a，b]=[a，b-？啄]∪[b-？啄，b]上兩個小區(qū)間上的積分之和，注意在兩個小區(qū)間上對f（x）-f（b）處理方式的不同。將f（b）寫成定積分形式，這也是定積分中處理積分極限、證明積分等式或不等式常用的方法。

2.已知函數在閉區(qū)間可導或在其內某點可導求極限

如果已知函數在一點可導，可以利用函數在一點可導的定義及極限的性質來解決問題。而如果已知函數在一個區(qū)間內有二階或二階以上的導數，則可用Taylor公式將函數在某點展開，求得函數表達式，再代入積分表達式即可。

例2 ?設f（x）為區(qū)間[0，1]上的二階連續(xù)可導函數，求證：

如果函數在一點可導，則由可導的定義和極限的性質將函數表示出來。

小結 由例2可知，由可導性來處理此類問題時，如果已知函數只有一階可導，則利用導數的定義將函數表示出來，注意討論積分時區(qū)間的分割法，以及在不同的區(qū)間內積分的不同處理方式，最后求出相應的數列極限即可;當已知函數二階可導，可利用函數的帶Lagrange余項的Taylor展開式表示函數，由于導函數的介值性，所以也不需要函數有連續(xù)的導數，利用介值性處理中值點的導函數值，從而使得定積分能順利計算出來。

參考文獻：

[1]李金媛.求數列極限的幾種常用方法[J].數學學習與研究，2018（18）：6.