黃蓉蓉

在高中數(shù)學教學中，很多教師還采用過去單一的教學模式而忽略對學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)。在新課程改革背景下，對學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)是當代數(shù)學核心素養(yǎng)的基本內容。教師應當改善以往傳統(tǒng)單一的教學模式，不僅要讓學生掌握最基本的數(shù)學知識，還應該在教學中提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。我通過對三角換元法在高中數(shù)學解題中的巧用研究教學，從中滲透提升學生的數(shù)學思維能力。

一、三角換元法在教學中的意義

三角換元法是高中數(shù)學解題中常用的一種換元方法。換元法的實質是根據(jù)等量代換，通過構造元和設元來變換變量，最后將問題進行轉化，使得問題簡單化，易于處理。而三角換元法主要是將題目中的代數(shù)式與三角函數(shù)恒等式聯(lián)系起來進行換元，代數(shù)式和三角進行轉化后，題目就變得簡單多了，學生的解題思路也變得清晰了。我通過三角換元法巧用在高中數(shù)學中一些經(jīng)典題目進行分析，在教學中我特別重視學生的數(shù)學邏輯思維分析能力，使學生能在分析過程中形成數(shù)學解題能力和技巧。

二、三角換元法在高中數(shù)學解題中的巧用

1.三角換元法巧解函數(shù)值域與最值問題

例如，求函數(shù)y=x+1-x的值域。這一類題學生常規(guī)的解題思路是利用導數(shù)知識，求函數(shù)極值點和定義域兩個端點對應的函數(shù)值，比較大小，最后得出函數(shù)值域。但這道題目的函數(shù)表達式有兩個根號，學生會發(fā)現(xiàn)求導后形式比較復雜，解題比較繁瑣，而且也容易出錯，甚至有的學生直接放棄。所以我們可以引導學生考慮利用三角換元法去簡化題目，化繁為簡。通過觀察函數(shù)表達式，可知“”里的值之和：x+（1-x）=1，與x無關，引導學生可將三角恒等式sin2θ+cos2θ=1聯(lián)系起來。設x=sin2θ，θ∈0，π2，這樣換元的依據(jù)就是函數(shù)本身要去根號還有兩者值域的聯(lián)系，所以要注意換元后θ的取值范圍。最后將新元代入原函數(shù)容易求得。這樣問題就轉化為學生熟悉的求三角函數(shù)值域問題。

例1：求函數(shù)f（x）=3x+6+8-x的值域。

分析：函數(shù)定義域為x∈[-2，8]，觀察函數(shù)表達式可改寫為：f（x）=3·x+2+8-x， 發(fā)現(xiàn)“”里的值之和：（x+2）+（8-x）=10，與x無關，結合三角恒等式：sin2θ+cos2θ=1（ 10sin2θ+10cos2θ=10）進行三角換元?？稍Ox+2=10sin2θ8-x=10cos2θ，即x+2=10sinθ8-x=10cosθ，θ∈0，π2。因為原函數(shù)定義域為x∈-2，8，可知x+2，8-x∈0，10，所以這里等效變換時要令θ∈0，π2。此時將替換后的新元代入原函數(shù)可得f（x）=30sinθ+10cosθ=210sin（θ+π6）， 因為θ+π6∈π6，2π3，所以sin（θ+π6）∈12，32這樣也就能得到原函數(shù)值域為[10，30]。

2.三角換元法巧證不等式

對于高中學生來說，對于給定條件的不等式證明問題是比較難理解也不知道從何下手，我們可以引導學生學會挖掘題目中隱含的條件，然后與三角恒等式聯(lián)系起來。

例2：若x，y，z∈R+，z2=x2+y2，求證xn+ynz，n∈N）.

證明：設xz=sinα，yz=cosα，（0<α<π2）即x=zsinα，y=zcosα， （0<α<π2），則xn+yn=zn（sinnα+cosnα）.又因為0

∴xn+yn=zn（sinnα+cosnα）

四、結語

三角換元法在求函數(shù)值域與最值問題、解析幾何問題、證明不等式的巧妙運用可以歸納其對應形式：如變量x，y可化為x2+y2=r2（r>0）形式時，則可令x=rcosθ，y=rsinθ化為三角問題。其中，三角換元法的難點是如何作出正確的變量代換，這就需要教師引導學生學會分析題目條件，尤其是題目中隱蔽的條件。在使用三角換元法時，特別也要讓學生注意換元后θ的取值，要保證換元前后的等效性。

在高中數(shù)學中，換元法是解題中的一種經(jīng)典方法，而三角換元法作為換元法的靈魂，在數(shù)學解題中應用既靈活又廣泛。通過引導學生正確又靈活的運用三角換元法，可以不斷地激發(fā)學生的創(chuàng)新思維能力。巧妙的運用三角換元法能有效的轉化數(shù)學問題，使得數(shù)學難題變得簡單、直觀，對數(shù)學發(fā)展也有著重要的研究意義。

責任編輯 徐國堅