李小龍

（隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅慶陽745000）

0 引言

分?jǐn)?shù)階微分方程在自然科學(xué)、工程技術(shù)和控制系統(tǒng)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，近年來許多學(xué)者應(yīng)用相關(guān)的不動(dòng)點(diǎn)定理與上下解的單調(diào)迭代技巧研究了分?jǐn)?shù)階邊值問題的正解及其多個(gè)正解的存在性[1-10]，但在一般的Banach空間中對(duì)該類問題的研究還比較少.

設(shè)E為有序Banach空間，其正元錐P為正規(guī)錐，正規(guī)常數(shù)為 N，記 I=[0，1].本文將在一般的有序Banach空間E中討論非線性分?jǐn)?shù)階邊值問題

Banach空間的微分方程與普通微分方程的最大差異是把微分方程轉(zhuǎn)換為與之等價(jià)的積分方程后，相應(yīng)的積分算子不再具有緊性.為了對(duì)該積分算子應(yīng)用凝聚映射的不動(dòng)點(diǎn)定理，通常需要給非線性項(xiàng)f附加一些非緊性測(cè)度條件.本文使用了如下非緊性測(cè)度條件：

（H0）對(duì)?R ＞0，f（I× PR）有界，且存在常數(shù)使得對(duì)?t∈I，D?PR，有α（f（t，D））≤Lα（D），其中，Γ（·）為 Gamma函數(shù)，

在研究Banach空間中微分方程正解的文獻(xiàn)中，文獻(xiàn)[7]要求f在有界集上一致連續(xù).文獻(xiàn)[11]利用新的非緊性測(cè)度估計(jì)技巧，只在f連續(xù)的情形下獲得了問題（1）的正解，并將文獻(xiàn)[8]的結(jié)果推廣到了無窮維空間.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]設(shè) α ＞0，函數(shù) f：（0，+∞）→R 的 α階Riemann-Liouville積分為

其中Γ（·）為Gamma函數(shù).

定義2[1]設(shè) α ＞0，函數(shù) f：（0，+∞）→R 的 α階Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)為

其中，Γ（·）為 Gamma函數(shù)，n=[α]+1.

由Riemann-Liouville型微分的定義，有以下討論.

引理1[1]設(shè) α ＞0，假設(shè) u∈C（0，1）∩L（0，1）是分?jǐn)?shù)階微分方程的解，則 u（t）具有如下形式，ci∈R，i=1，2，…，N，其中 N 是大于或等于 α 的最小正整數(shù).

引理2[1]假設(shè) u∈C（0，1）∩L（0，1）有 α ＞0階導(dǎo)數(shù)屬于 C（0，1）∩L（0，1），則

其中N是大于或等于α的最小正整數(shù).

引理3[2]設(shè) 3 ＜ α≤4，則對(duì)?h∈C（I，E），Banach空間E中的線性分?jǐn)?shù)階邊值問題

存在唯一解

其中

引理4由（3）式定義的算子 T：C（I，E）→C（I，E）滿足.

證明由（3）式知

故

從而

由文獻(xiàn)[7]中引理3.2 知，算子 T：C（I，E）→C（I，E）為正的線性連續(xù)算子，T有相應(yīng)第一特征值λ1的正特征函數(shù) u*，即 λ1Tu*=u*.文中 E與C（I，E）中有界集的 Kuratiwski非緊性測(cè)度均由α（·）表示.對(duì) B?C（I，E），記 B（t）=｛u（t）｜u∈B｝?E，t∈I.

引理5[12]設(shè) B?C（I，E）為等度連續(xù)的有界函數(shù)族，則α（B（t））在I上連續(xù)，且

引理6[13]設(shè) B=｛un｝?C（I，E）為可列集，若存在 ψ∈L1（I）使得‖un（t）‖≤ψ（t），a.e.，t∈I，n=1，2，…，則 α（B（t））在 I上可積，且

引理7[11]設(shè)D?E有界，則存在D的可列子集 D0，使得 α（D）≤2α（D0）.

定義算子 Q：C（I，P）→C（I，P）如下：

則 Q：C（I，P）→C（I，P）連續(xù)，且方程（1）的解等價(jià)于積分算子Q的不動(dòng)點(diǎn).

引理8設(shè) f：I×P→P 滿足（H0），則由（5）式定義的算子 Q：C（I，P）→C（I，P）為凝聚映射.

證明易見Q把C（I，P）中的有界集映為有界的等度連續(xù)集.任取非相對(duì)緊的有界集B?C（I，P），下證 α（Q（B））＜α（B）.令 R=sup｛‖u‖｜u∈B｝，則對(duì) ?t∈I，B （t）? PR，設(shè)為假設(shè)（H0）中的非緊性測(cè)度常數(shù).由引理7知，存在可列集 B1=｛un｝?B，使得α（Q（B））≤2α（Q（B1））.故對(duì)?t∈I，由引理6 及假設(shè)（H0），有

因?yàn)镼（B1）等度連續(xù)，由引理5知

于是有

因此 Q：C（I，P）→C（I，P）為凝聚映射.

取 C（I，P）的子錐：

易證 Q（C（I，P））?K.因此，當(dāng) f：I× P→P 時(shí)，Q：K→K為凝聚映射，方程（1）的正解等價(jià)于Q在K中的不動(dòng)點(diǎn).本文將用凝聚映射的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論尋找Q的不動(dòng)點(diǎn).

引理9[14]設(shè)E為Banach空間，K為E中的錐，Ω?E 為有界開集，θ∈Ω，Q：K∩→K 為凝聚映射，若 Q 滿足 u≠λQu，?u∈K∩?Ω，0 ＜ λ≤1，則不動(dòng)點(diǎn)指數(shù) i（Q，K∩Ω，K）=1.

引理10[15]設(shè)E為Banach空間，K為E中的錐，Ω?E為有界開集，Q：K∩→K為凝聚映射，若存在 υ0∈K，υ0≠θ，使得 Q 滿足 u-Qu≠μυ0，?u∈K∩?Ω，μ≥0，則不動(dòng)點(diǎn)指數(shù) i（Q，K∩Ω，K）=0.

2 主要結(jié)果及其證明

定理1設(shè)E為有序Banach空間，其正元錐P為正規(guī)錐，f：I×P→P 連續(xù)，滿足條件（H0）.若 f滿足下列條件之一：

（H1）1）存在及δ＞0，使得當(dāng) x∈Pδ時(shí)，f（t，x）≤εx；

2）存在 η ＞λ1及 h0∈C（I，P），使得當(dāng) x∈P時(shí)，f（t，x）≥ηx-h0（t）.

（H2）1）存在 ε ＞λ1及 δ＞0，使得當(dāng) x∈Pδ時(shí)，f（t，x）≥εx；

則邊值問題（1）至少存在一個(gè)正解.

證明下證由（5）式定義的凝聚映射Q：K→K存在非零的不動(dòng)點(diǎn).取0＜r＜R＜∞，記Ωr=｛u∈K｜‖u‖ ＜r｝，?Ωr=｛u∈K｜‖u‖ =r｝.分2 種情形證明當(dāng)r充分小R充分大時(shí)Q在上存在不動(dòng)點(diǎn).

情形1f滿足假設(shè)（H1）.取0＜r＜ δ，其中 δ為假設(shè)（H1）中的常數(shù)，證明Q滿足引理9中條件：

反設(shè)（6）式不成立，那么存在 u0∈K∩?Ωr及 0＜λ0≤1，使得 u0=λ0Qu0.按 Q 的定義及條件（H1）的1）得

累次使用上式，則有

由錐K的正規(guī)性和引理4有

故有‖u0‖ =0，這與 u0∈K∩?Ωr（‖u0‖ =r）矛盾.于是（6）式成立，故由引理9知

下證當(dāng)R充分大時(shí)有

反設(shè)存在 u0∈K∩?ΩR及 τ0≥0，使得 u0-Qu0=τ0u*，則按算子Q的定義及條件（H1）的2）得

從而有

又 η ＞λ1知（ηT-I）為正算子，故逆算子（ηTI）-1存在，由錐K的正規(guī)性得

情形2f滿足假設(shè)（H2）.取0 ＜r＜δ，證明

反設(shè)（10）式不成立，則存在 u0∈K∩?Ωr及 τ0≥0，使得u0-Qu0=τ0u*，則u0=Qu0+τ0u*≥τ0u*，令，即，且 u0≥ τ*u*.又由 T的正性知，λ1Tu0≥τ*λ1Tu*=τ*u*.

由條件（H2）的1）有

這與τ*的定義矛盾.故由引理10知

再證當(dāng)R充分大時(shí)有

假設(shè)存在u0∈K及0＜λ0≤1，使得u0=λ0Qu0.

從而由條件（H2）的2）得

即

又

則

由微擾定理知，I-ηT存在有界逆算子（I-ηT）-1，且

從而由錐K的正規(guī)性得

取 ε0＞0，使得

則有

則有

由引理9知 i（Q，K∩ΩR，K）=1，于是該式結(jié)合（11）式有