陳 躍,黃振坤,賓紅華,陳 娟

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

基于文獻(xiàn)[1]的工作,混沌系統(tǒng)的同步被廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域,如生態(tài)系統(tǒng)、信息處理、信息安全等領(lǐng)域[2-4]?；煦缦到y(tǒng)控制是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的課題,近幾年來(lái)學(xué)者們對(duì)其提出了很多富有成效的控制方法,比如最優(yōu)控制[5]、自適應(yīng)控制[6]、有限時(shí)間控制[7]、滑?？刂芠8]等。

目前大多數(shù)研究都是考慮兩個(gè)相同或者相似連續(xù)耦合混沌系統(tǒng)的同步現(xiàn)象[9]?；贚yapunov穩(wěn)定性理論,文獻(xiàn)[10]提出了一種新的滑模方案來(lái)控制受到不確定因素和外部干擾的非線性混沌系統(tǒng)。在實(shí)際應(yīng)用中,系統(tǒng)之間的耦合連接有時(shí)會(huì)斷開[11],系統(tǒng)之間的耦合可能是間歇性的,這在一定程度上可以描述為間歇性耦合。因此將研究范圍由連續(xù)耦合的混沌系統(tǒng)擴(kuò)展到不連續(xù)耦合的混沌系統(tǒng)是有必要的。對(duì)控制系統(tǒng)的量化研究一直受到人們的重視,并產(chǎn)生了很多有意義的成果[12]。一些學(xué)者發(fā)現(xiàn)量化作用對(duì)混沌控制系統(tǒng)的影響要比對(duì)傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)的影響大得多。然而到目前為止,這方面的研究還沒有引起足夠的重視。

從最近的研究來(lái)看,Lyapunov穩(wěn)定性理論是討論兩個(gè)不連續(xù)耦合的混沌系統(tǒng)最常用的工具[13]。根據(jù)這個(gè)理論給一些充分條件可以實(shí)現(xiàn)兩個(gè)耦合混沌系統(tǒng)的同步。但是那些條件對(duì)于不連續(xù)耦合的混沌系統(tǒng)卻是無(wú)效的。文獻(xiàn)[14]研究了兩個(gè)不連續(xù)耦合混沌系統(tǒng)的同步問題,具有量化效應(yīng)的兩個(gè)不連續(xù)耦合混沌系統(tǒng)的同步課題值得進(jìn)一步探索。基于常微分的穩(wěn)定性理論和比較定理,本文建立一些新的充分條件,揭示具有量化效應(yīng)控制器與系統(tǒng)同步及平均時(shí)間耦合強(qiáng)度的依賴性,表明在耦合強(qiáng)度較小的情況下也能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的完全同步。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)混沌系統(tǒng)為

(1)

其中：x(t)=(x1(t),…,xn(t))T是系統(tǒng)的狀態(tài)向量；f：Rn→Rn是連續(xù)可微的非線性向量函數(shù)。

要實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的同步,含開關(guān)周期性靜態(tài)對(duì)數(shù)量化控制器的響應(yīng)系統(tǒng)為:

(2)

其中y(t)=(y1(t),…,yn(t))T是響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)向量。

控制器u(t)設(shè)計(jì)為:

u(t)=q(v(t)),

(3)

v(t)=-k(t)e(t)。

(4)

其中：e(t)=y(t)-x(t)是驅(qū)動(dòng)混沌系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)之間的同步誤差；u(t)=(u1(t),…,un(t))T。量化函數(shù)[15]q(·)：Rn→D是分段常值向量函數(shù),D是Rn中的有限子集,即把Rn劃分成有限個(gè)形如{z∈Rn：q(z)=i,i∈D}的量化區(qū)域,這里采用靜態(tài)對(duì)數(shù)量化器:

(5)

其中：η=(1-ρ)/(1+ρ),wi構(gòu)成q量化水平集S={±wi,wi=ρiw0,i=0,±1,…}∪{±w0}∪{0},0<ρ<1,w0>0。

在文獻(xiàn)[15]中,定義ηq=lim sup(#g[])/(-ln)為量化器q(·)的量化密度，其中#g[]為上式中的量化級(jí)數(shù)在區(qū)間[,1/]內(nèi)的數(shù)量。量化密度ηq隨著區(qū)間[,1/]的增長(zhǎng)呈對(duì)數(shù)形式增長(zhǎng)。當(dāng)量化級(jí)數(shù)有限時(shí),從ηq的定義可以得到ηq=0。當(dāng)ηq比較小時(shí),量化級(jí)數(shù)也比較少,此時(shí)量化器也比較“粗糙”。因此在下面的討論中,稱ρ為量化器q(·)的量化密度。

對(duì)此類量化器,顯然有q(v)=(I+Δ)v,其中I∈Rn×n,量化同步誤差Δi∈[-η,η](i=1,2,…,n)且

(6)

選取一個(gè)開關(guān)周期性的耦合強(qiáng)度k(t)[16]：

(7)

其中：n=0,1,2,…；k是正常數(shù)；T是開關(guān)周期；θ(0<θ<1)是開關(guān)率。顯然,當(dāng)0<θ<1時(shí),式(3)是不連續(xù)耦合；當(dāng)θ=1時(shí),式(3)是連續(xù)耦合的。

下面給出混沌系統(tǒng)同步所用到的假設(shè)。

假設(shè)1對(duì)于函數(shù)f(x),存在一個(gè)正常數(shù)l，使得

|f(x)-f(y)|≤l|x-y|,?x,y∈Rn。

(8)

注1 條件(8)通常被稱為全局Lipschitz條件,l是Lipschitz常數(shù)。容易知道一些著名的混沌系統(tǒng)都能滿足假設(shè)1,例如Chua’s circuit[17]、Rossler-like system[18]、Genesio system[19]等。

定義1 對(duì)于混沌系統(tǒng)(1)和(2)的初始值x(0),y(0),如果下面的條件成立，

(9)

則這兩個(gè)系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)完全同步。

引理1(比較定理)[20]設(shè)E是R2上開集,g∈C[E,R],假設(shè)以下初值問題的解存在,且解的最大存在區(qū)間為[t0,t0+h]，

dx/dt=g(t,x),x(t0)=x0。

(10)

設(shè)u(t)∈C[(t0,t0+h),R],t∈[t0,t0+h)時(shí),有(t,u(t))∈E,u(t0)≤x0,且

Du(t)≤g(t,u(t)),t∈[t0,t0+h)。

(11)

其中Du(t)為固定的Dini導(dǎo)數(shù),則

u(t)≤x(t),t∈[t0,t0+h)。

(12)

2 主要結(jié)果

定理1 系統(tǒng)(1)和(2)在控制器(3)的作用下能夠?qū)崿F(xiàn)同步,如果假設(shè)1成立且設(shè)計(jì)控制器耦合強(qiáng)度k(·)和量化信號(hào)誤差范圍Δ滿足

(13)

證明對(duì)誤差系統(tǒng)求導(dǎo)

f(y(t))-f(x(t))-(I+Δ)k(t)e(t)。

(14)

滿足假設(shè)1的情況下,對(duì)于任意的初值e(0)=y(0)-x(0),方程(14)有唯一全局漸進(jìn)穩(wěn)定解e(t,e(0))，e(t,0)≡0是系統(tǒng)(14)的常數(shù)解。如果這個(gè)初始解是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的,那么對(duì)于每一個(gè)初始值,系統(tǒng)(1)和(2)能夠?qū)崿F(xiàn)完全同步.

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(t)=eT(t)e(t)/2。兩邊求導(dǎo),結(jié)合式(14)和假設(shè)1得

eT(t)l|y(t)-x(t)|-eT(t)(I+Δ)k(t)e(t)=leT(t)|e(t)|-eT(t)(I+Δ)k(t)e(t)≤

l|eT(t)e(t)|-λmin(I+Δ)k(t)|eT(t)e(t)|=-2[λmin(I+Δ)k(t)-l]V(t),

(15)

由于k(t)是間歇性的,按區(qū)間[nT,(n+θ)T)和[(n+θ)T,(n+1)T)依次分段應(yīng)用引理1,有

V(t)≤Γ(t),

(16)

其中n=0,1,2,…,Γ(t)是

dΓ(t)/dt=-2[λmin(I+Δ)k(t)-l]Γ(t)

(17)

由式(17)得

(18)

顯然,t在[0,∞)上存在正整數(shù)m,使得t∈[mT,(m+1)T)。設(shè)t=mT+t1(0≤t1

(19)

根據(jù)k(t)的定義,得

(20)

由式(20),有

Γ(0)exp{-2mT[(λmin(I+Δ)k-l)θ-l(1-θ)]+2lt1}=

Γ(0)exp[-2mT(λmin(I+Δ)kθ-l)+2lt1],

(21)

注意到mT=t-t1,那么

Γ(t)≤Γ(0)exp[-2(t-t1)(λmin(I+Δ)kθ-l)+2lt1]=

Γ(0)exp[-2t(λmin(I+Δ)kθ-l)]exp(2λmin(I+Δ)kθt1)，

(22)

故

(23)

(24)

3 仿真實(shí)例

考慮R?ssler-like系統(tǒng)作為例子,它是一個(gè)三維的常微分方程組:

(25)

它的響應(yīng)系統(tǒng)是:

(26)

由式(6)和方程(14)知

即u1(t)=-(1+Δ1)k(t)e1(t),u2(t)=-(1+Δ2)k(t)e2(t),u3(t)=-(1+Δ3)k(t)e3(t),

(27)

當(dāng)α=0.03,β=1.5,γ=0.2,μ=1.5,λ=0.75,ξ=21.43, ?=0.075時(shí),R?ssler-like系統(tǒng)(25)有混沌吸引子,如圖1。

顯然,當(dāng)l=0.492 6時(shí),R?ssler-like系統(tǒng)滿足Lipschiz條件。

4 結(jié)論

本文利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和比較定理,分析了基于量化控制的開關(guān)周期性耦合混沌系統(tǒng)的同步動(dòng)力學(xué),給出了不含時(shí)滯下混沌系統(tǒng)同步化準(zhǔn)則,揭示具有量化效應(yīng)控制器與系統(tǒng)同步、平均時(shí)間耦合強(qiáng)度的依賴性,表明在耦合強(qiáng)度較小的情況下也能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的完全同步,本文的結(jié)果是對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)[14]結(jié)果的拓展,仿真例子驗(yàn)證了結(jié)果的可行性。