段 純，顧建華

（1.安徽新聞出版職業(yè)技術(shù)學(xué)院機電信息系，安徽合肥230601；2.鹽城工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機電工程學(xué)院，江蘇鹽城224005）

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進步與國民生活水平的不斷提高，人們對工業(yè)的要求也越來越高。機械臂的出現(xiàn)為工業(yè)智能化的發(fā)展提供了良好動力。機械臂通過對人類的手臂進行模仿，能夠通過編程使其完成指定的貨物抓取、搬運以及操作簡單的勞動工具等功能[1]。機械臂在工業(yè)上可完成繁重具有循環(huán)性的工作，同時機械臂還能夠在較為惡劣的環(huán)境下進行工作，從而減輕了人們的勞動量，降低了人們在惡劣環(huán)境下工作發(fā)生危險的系數(shù)[2]。由于機械臂的獨特優(yōu)勢，近些年來機械臂已被廣泛應(yīng)用于輕工冶金、煤炭及礦產(chǎn)開采、快遞物流等多個技術(shù)領(lǐng)域。機械臂在運動過程中的位置控制，決定著機械臂工作過程的準確以及穩(wěn)定性。若機械臂在位置控制過程中準確度較低，波動性較大，將會嚴重影響機械臂的性能[3]。因此，對機械臂的位置控制進行研究就變得意義非凡。

伴隨著研究人員對機械臂位置控制的不斷深入，當(dāng)下出現(xiàn)了多種多樣的機械臂位置控制方法。例如，Van等[4]通過對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法進行研究，提出了一種基于徑向基函數(shù)（RBF）的自適應(yīng)軌跡跟蹤神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法，對N連桿機器人的關(guān)節(jié)位置控制問題進行了RBF網(wǎng)絡(luò)控制，利用反向傳播算法和李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，推導(dǎo)了網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的自適應(yīng)轉(zhuǎn)向規(guī)律，保證了整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性和權(quán)值自適應(yīng)的收斂性。Lu等[5]提出了一種基于線性二次型調(diào)節(jié)器（LQR）的機械臂位置控制的方法，利用假設(shè)模態(tài)法和拉格朗日方程，建立了機械臂的動力學(xué)模型，利用動力學(xué)模型推導(dǎo)出狀態(tài)方程，基于Mamdani模型，在傳統(tǒng)的LQR控制中加入模糊算法，對LQR控制變量R進行自適應(yīng)調(diào)整，提高了控制系統(tǒng)的適應(yīng)性。Oliveira等[6]提出了一種基于混沌的機械臂高階滑模位置控制優(yōu)化算法，對機器人關(guān)節(jié)空間位置控制的高階魯棒滑?？刂破鞯膮?shù)進行優(yōu)化，進而實現(xiàn)位置的控制。Wang等[7]設(shè)計了一種基于混合控制的機械臂定位與振動控制方法，利用參考值的幅度約束構(gòu)建延時濾波器，利用延時濾波器建立混合閉環(huán)控制系統(tǒng)，對機械臂的位置進行控制。上述方法雖然都能夠?qū)C械臂的位置進行控制，但控制過程較為緩慢，而且準確性與魯棒性都不高。

對此，本文以反演控制方法與滑?？刂品椒榛A(chǔ)，提出了基于逆動力學(xué)的機械臂魯棒位置控制方法。通過對機械臂電機系統(tǒng)的動力學(xué)進行分析，獲取電機系統(tǒng)的動力學(xué)函數(shù)，明確了電機系統(tǒng)的動力學(xué)控制過程。利用轉(zhuǎn)矩到位置轉(zhuǎn)換方法和反演滑?？刂品椒ㄔO(shè)計了逆動力學(xué)控制器，通過反演滑?？刂品椒▽φ{(diào)節(jié)變量的李雅普諾夫函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)進行分析，獲取電機轉(zhuǎn)矩函控制函數(shù)。通過轉(zhuǎn)矩到位置轉(zhuǎn)換方法，將利用電機轉(zhuǎn)矩求取的位置控制量傳入伺服電機，實現(xiàn)對機械臂位置的快速準確、魯棒的控制。實驗結(jié)果顯示，所提方法能夠較好地對不同激勵信號產(chǎn)生的目標軌跡進行追蹤，說明所提方法不僅能夠?qū)C械臂的位置進行準確快速的控制，而且還具有較強的魯棒性。

1 系統(tǒng)描述

本文所采用的伺服電機為埃斯頓公司的EMJ-04APB22型電機，該電機的參數(shù)如表1所示。伺服電機系統(tǒng)通常依靠反饋增益從電機軸上獲取所需的輸出信息。比例(P)-積分(I)-微分(D)控制器由于其設(shè)計以及實現(xiàn)過程相對較為簡單，為伺服系統(tǒng)中最常用的一種用于獲取反饋增益的控制器。由于在EMJ-04APB22型電機內(nèi)部，比例(P)運算起主要作用，因此，可假設(shè)伺服電機系統(tǒng)的內(nèi)部控制器為P型控制器。通常利用該低電平控制器的輸出，作為電機轉(zhuǎn)矩控制的控制信號，以通過對電機轉(zhuǎn)矩的控制實現(xiàn)對機械臂的運動過程進行調(diào)節(jié)。

表1 EMJ-04APB22型電機參數(shù)表Tab.1 Motor parameters of EMJ-04APB22

在忽略電機的電氣動力因素下，令齒輪軸的速度和加速度分別為與，電機傳動比為kg，電機的阻尼系數(shù)為B，則電機系統(tǒng)動力學(xué)函數(shù)可以表示為[8]

電機動力學(xué)的簡化框圖如圖1所示。圖中：ωm，ω分別表示電機軸轉(zhuǎn)速與變速箱的速度輸出；kp表示控制器的p增益量；qd，q分別表示電機的目標位置與實際位置，追蹤誤差e=qd-q。因此，低電平P型控制器輸出Δq的求取過程為

圖1 電機動力學(xué)簡化框圖Fig.1 Simplified block diagram of motor dynamics

2 控制器設(shè)計

如圖2所示，本文利用轉(zhuǎn)矩到位置轉(zhuǎn)換方法和反演滑?？刂品椒ㄔO(shè)計了一種逆動力學(xué)控制器，用以實現(xiàn)機械臂對目標位置qd進行準確的追蹤。

圖2 逆動力學(xué)控制器設(shè)計框圖Fig.2 Design block diagram of inverse dynamics controller

2.1 反演滑?？刂品椒ㄔO(shè)計

為了克服機械臂系統(tǒng)中存在的外界噪聲干擾以及時變不定性、建模誤差等因素，在此將滑模控制方法與反演控制方法相結(jié)合，設(shè)計了一種反演滑?？刂品椒╗9]。

令調(diào)節(jié)變量z1為

則調(diào)節(jié)變量z1對應(yīng)的李雅普諾夫函數(shù)V1及其導(dǎo)數(shù)為

利用調(diào)節(jié)變量z1設(shè)計虛擬控制量a1為

式中：c1為大于零的常量系數(shù)。

通過虛擬控制量a1定義調(diào)節(jié)變量z2：

利用調(diào)節(jié)變量z2對進行變形可得

將調(diào)節(jié)變量z2視為滑動變量s：

則調(diào)節(jié)變量z2對應(yīng)的李雅普諾夫函數(shù)V2及其導(dǎo)數(shù)為

聯(lián)合式（6）、式（8）及式（9）可得出電機轉(zhuǎn)矩控制函數(shù)為

式中：c2＞0，k＞0為常量系數(shù)；sign(s)為符號函數(shù)，

式中：η為有界干擾量。當(dāng)，k＞ |η|時，可保證為負定，此時系統(tǒng)便處于穩(wěn)定狀態(tài)。

根據(jù)系統(tǒng)動力學(xué)函數(shù)式（1），可得t時刻與t-L時刻干擾轉(zhuǎn)矩τl的表達式[10]為

式中：L＞0是一個時間較短的采樣時間；由于參考軌跡具有光滑性，Jkg與Bkg為常量，機械臂關(guān)節(jié)具有有界速度和加速度，因此，可以假定為光滑函數(shù)。

則在一個短的采樣時間內(nèi)，

在較短的采樣時間內(nèi)，τl(t)-τ(t-L)引起的微小誤差可忽略不計。此時，關(guān)節(jié)加速度可使用關(guān)節(jié)位置測量數(shù)據(jù)的可靠精確微分器進行估算[11]。

2.2 轉(zhuǎn)矩到位置轉(zhuǎn)換方法設(shè)計

如圖2所示，轉(zhuǎn)矩到位置轉(zhuǎn)換方法將利用式（10）求得的電機轉(zhuǎn)矩τ來獲取一個位置控制量qcmd。由于式（10）求得的電機轉(zhuǎn)矩τ與伺服系統(tǒng)中低電平P型控制器產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩應(yīng)相等，因此，具有如下表述[12]：

令采樣時間為Ts，則第k+1次采樣時所得的位置控制量qcmd[k+1]為

由此可見，第k+1次采樣時所得的位置控制量qcmd[k+1]，需要通過第k次采樣時的電機轉(zhuǎn)矩以及電機實際位置來確定。將確定后的位置控制量qcmd[k+1]送入伺服電機，以獲取對機械臂的位置控制結(jié)果q，從而實現(xiàn)電機轉(zhuǎn)矩到機械臂位置的轉(zhuǎn)換控制。

3 實驗結(jié)果與分析

為了驗證所提方法的軌跡追蹤性能，通過Matlab/Simulink軟件進行了仿真實驗。實驗中分別采用了階躍信號以及梯形信號、正弦波信號來產(chǎn)生目標軌跡，并用所提方法及P型控制器方法對這兩種目標軌跡的追蹤軌跡進行了測試。實驗中設(shè)定常量系數(shù)c1=45，c2=280，k=12，低電平 P 型控制器的比例增益kp=35，干擾轉(zhuǎn)矩τl為

式中：mc=80.3×10-3N·m為靜摩擦系數(shù)；dc=15×10-3N·m為庫侖摩擦系數(shù)；hc=3.8×10-3N·m為黏性摩擦系數(shù)。

不同方法對階躍信號產(chǎn)生的目標軌跡的追蹤效果如圖3所示。由圖3可見：所提方法及P型控制器方法都能完成對目標軌跡的追蹤，但是將這兩種方法產(chǎn)生的追蹤軌跡進行對比發(fā)現(xiàn)，所提方法的追蹤軌跡比P型控制器方法的追蹤軌跡更為穩(wěn)定，且能夠更快地完成目標軌跡的追蹤。不同方法對梯形信號產(chǎn)生的目標軌跡的追蹤效果如圖4所示。通過對圖4中不同方法的追蹤軌跡進行對比可見，圖4（a）的追蹤軌跡波動性較大，而且波動的最大幅度也較大，對目標軌跡的追蹤速度較慢。圖4（b）的追蹤軌跡中波動性較小，而且波動的最大幅度也較小，能夠更快地完成目標軌跡的追蹤。圖5為不同方法對正弦波信號產(chǎn)生的目標軌跡的追蹤效果。將圖5中不同方法的追蹤軌跡進行對比可見，圖5（a）的追蹤軌跡過沖量較大，而且過沖次數(shù)較多，產(chǎn)生的追蹤軌跡波動次數(shù)較多，當(dāng)產(chǎn)生過沖時，對過沖量的調(diào)節(jié)時間較長。圖5（b）的追蹤軌跡中不僅過沖量較小，而且過沖次數(shù)較少，當(dāng)產(chǎn)生過沖時，能夠較快地對過沖量進行調(diào)節(jié)，使追蹤軌跡能夠更快地到達目標軌跡。由此可見，所提方法對目標軌跡的追蹤效果較好，追蹤過程更為快速、穩(wěn)定。說明了所提方法能夠較快、較穩(wěn)定地對機械臂的位置進行較準確的控制。

圖3 階躍信號產(chǎn)生的目標軌跡追蹤效果Fig.3 Effect of step signal on target trajectory tracking

圖4 梯形信號產(chǎn)生的目標軌跡追蹤效果Fig.4 Effect of target trajectory tracking by trapezoid signal produces

圖5 正弦波信號產(chǎn)生的目標軌跡追蹤效果Fig.5 Effect of target trajectory tracking by sine wave signal

4 結(jié)語

本文對機械臂的電機系統(tǒng)進行了分析，獲取了機械臂電機系統(tǒng)的動力學(xué)函數(shù)。在此基礎(chǔ)上設(shè)計了基于逆動力學(xué)的機械臂魯棒位置控制方法。通過聯(lián)合反演滑?？刂品椒ㄅc轉(zhuǎn)矩到位置轉(zhuǎn)換方法，設(shè)計了逆動力學(xué)控制器。該控制器通過將反演控制方法與滑?？刂品椒ㄏ嘟Y(jié)合，以抵御外界噪聲以及時變不定性、建模誤差等因素干擾，通過構(gòu)造電機轉(zhuǎn)矩函數(shù)，求取電機轉(zhuǎn)矩。利用轉(zhuǎn)矩到位置轉(zhuǎn)換方法，以電機的轉(zhuǎn)矩為依據(jù)，求取電機的位置控制量，并將該控制量送入伺服電機，用以完成對機械臂的準確、快速以及穩(wěn)定的控制。并在實驗中利用所設(shè)計方法對多種激勵信號產(chǎn)生的位置軌跡進行了追蹤，追蹤結(jié)果顯示，所設(shè)計方法不僅能夠快速、準確地對目標軌跡進行追蹤，而且追蹤過程較為平穩(wěn)。說明所設(shè)計方法能夠?qū)C械臂進行準確且魯棒的位置控制。