熊志金，王春燕

（1.廣州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣工程學(xué)院，廣東廣州510430；2.南京鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇南京210031）

近幾年，隨著工業(yè)的迅速發(fā)展，智能化設(shè)備也成為世界各國(guó)關(guān)注的焦點(diǎn)，從而誕生了許多智能化機(jī)械臂。傳統(tǒng)機(jī)械臂由于受到自由度的限制，只能用于簡(jiǎn)單重復(fù)性工作，顯然滿足不了自由靈活、高精度加工的需求。冗余機(jī)械臂廣泛應(yīng)用于醫(yī)療、海洋、農(nóng)業(yè)及軍事等許多領(lǐng)域，為了加快先進(jìn)制造業(yè)的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外許多科研人員開(kāi)始研發(fā)冗余機(jī)械臂。與傳統(tǒng)機(jī)械臂相比，冗余機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)相對(duì)靈活，能夠克服關(guān)節(jié)限制，在執(zhí)行任務(wù)的過(guò)程中，巧妙地避開(kāi)障礙物[1-2]。但是，冗余機(jī)械臂在障礙物環(huán)境中工作，如何提高其軌跡追蹤精度一直是一個(gè)難題。因此，研究冗余機(jī)械臂動(dòng)態(tài)避障能力，對(duì)于促進(jìn)社會(huì)的發(fā)展具有重要的意義。

當(dāng)前，許多科研人員對(duì)冗余機(jī)械臂設(shè)計(jì)和控制方法展開(kāi)了研究。例如：文獻(xiàn)[3-4]研究了冗余機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃方法，采用非均勻有理B樣條曲線對(duì)冗余機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)路徑進(jìn)行規(guī)劃，避免了機(jī)械臂關(guān)節(jié)發(fā)生振蕩現(xiàn)象，滿足了工業(yè)生產(chǎn)的需求。文獻(xiàn)[5-6]研究了冗余機(jī)械臂混沌控制方法，采用雅克比矩陣推導(dǎo)出機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)延遲反饋法設(shè)計(jì)出混沌控制方法，使機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定在周期軌道上。文獻(xiàn)[7-8]研究了冗余機(jī)械臂自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制方法，給出了機(jī)械臂結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制方法，采用Matlab軟件對(duì)控制效果進(jìn)行仿真，提高了控制系統(tǒng)抗干擾能力。以往的研究冗余機(jī)械臂控制方法都能成功實(shí)現(xiàn)避障任務(wù)，但是冗余機(jī)械臂追蹤精度較低。對(duì)此，本文創(chuàng)建了三關(guān)節(jié)冗余機(jī)械臂模型簡(jiǎn)圖，給出了機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)機(jī)械臂關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角速度和角加速度方程式；引用滑?？刂破?，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)滑?？刂破鬟M(jìn)行改進(jìn)；根據(jù)李雅普諾夫定律，對(duì)機(jī)械臂控制的穩(wěn)定性進(jìn)行證明；在不同工作環(huán)境下，采用Matlab軟件對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡避障能力進(jìn)行仿真驗(yàn)證，為深入研究冗余機(jī)械臂控制方法提供參考價(jià)值。

1 機(jī)械臂模型

本文研究的是三關(guān)節(jié)機(jī)械臂，其簡(jiǎn)圖模型如圖1所示。

在圖1中：l1，l2和l3分別為機(jī)械臂連桿1、連桿2和連桿3的長(zhǎng)度，q1，q2和q3分別為機(jī)械臂連桿1、連桿2和連桿3的角位移，A為障礙物。

根據(jù)拉格朗日定理，具有n自由度的冗余機(jī)械臂，其動(dòng)力學(xué)模型[9]如下：

圖1 三關(guān)節(jié)冗余機(jī)械臂Fig.1 Redundant manipulator arm with three joint

式中：q為關(guān)節(jié)角位移向量；q'為關(guān)節(jié)角速度向量；q''為關(guān)節(jié)角加速度向量；M（q）為慣性矩陣；C（q，q'）為科里奧矩陣；H為重力和摩擦力組成向量；u為控制力矩矩陣。

在機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)空間內(nèi)，末端執(zhí)行器角速度x'和加速度x''為q'和q''雅克比矩陣函數(shù)：

式中：J為雅克比矩陣；x=Φ（q）為機(jī)械臂末端執(zhí)行器位置。

在冗余機(jī)械臂狀態(tài)下，雅克比矩陣是可逆的，因此，機(jī)械臂關(guān)節(jié)角速度和角加速度為

在冗余機(jī)械臂問(wèn)題中，若機(jī)械臂連桿和移動(dòng)障礙物保持的距離大于某個(gè)值，則機(jī)械臂就可以避開(kāi)障礙物。障礙物空間通常采用球體或圓柱體表示，通常情況下選擇球體，球體比較容易計(jì)算出機(jī)械臂連桿與障礙物之間的距離。如果機(jī)械臂連桿與障礙物之間最小距離大于設(shè)置的臨界值，機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)就可以躲避障礙物，否則，就會(huì)發(fā)生碰撞現(xiàn)象。

假設(shè)第j個(gè)障礙物的半徑為rj，在三維坐標(biāo)系中，中心坐標(biāo)為x0j=（x10j，x20j，x30j），j=1，2，…，n，如圖2所示。假設(shè)機(jī)械臂到障礙物中心最小距離為dj，為了避免機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)發(fā)生碰撞現(xiàn)象，其運(yùn)動(dòng)軌跡約束關(guān)系為

式中：x0=（x01，x02，…，x0n）。

機(jī)械臂與障礙物最小化判斷依據(jù)如下：

式中：αj為補(bǔ)償后的標(biāo)量。

對(duì)n維度的幾何模型進(jìn)行延伸，如下所示：

圖2 冗余機(jī)械臂與障礙物Fig.2 Redundant arms and obstacles

式中：dim（X）=n。

為了能夠滿足幾何約束條件下Φ（q）對(duì)Ω（q，x0）進(jìn)行最小化，采用的判斷依據(jù)如下：

式中：λ為m維度的向量。

對(duì)式（7）求導(dǎo)：

由式（8）變換后，可以得到

式中：N為零空間矩陣。

根據(jù)Ω（q，x0）在q上構(gòu)成的凸集，可以判斷式（9）為充分必要條件。因此，變量h的方程式為

式（10）對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

所需運(yùn)動(dòng)軌跡定義方程為

所需運(yùn)動(dòng)軌跡增廣空間定義為

采用延伸動(dòng)力模型表示為

若雅克比矩陣Jq為非奇異矩陣，則關(guān)節(jié)角速度和角加速度為

將式（15）中的q'和q''代入到式（1）中，可以得到

式中：

機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)公式（式（16））具有以下性質(zhì)：①矩陣M*為對(duì)稱正定矩陣；②矩陣是可逆的。因此，M*-2C*是反對(duì)稱矩陣。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 滑?？刂?/h3>

在有障礙物運(yùn)動(dòng)環(huán)境中，機(jī)械臂實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡與期望運(yùn)動(dòng)軌跡產(chǎn)生的誤差定義為

式中：qd為期望運(yùn)動(dòng)角位移；q為實(shí)際運(yùn)動(dòng)角位移。

滑模函數(shù)[10]定義為

因此，

式 中 ：q'=q′d-r+Λe；f=M(q″d+Λe')+C(q'd+Λe)+H。

2.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制

在機(jī)械臂實(shí)際應(yīng)用中，f通常為不確定項(xiàng)，需要對(duì)不確定項(xiàng)進(jìn)行逼近。本文采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)f進(jìn)行逼近，采用x=（eTeT'qdTqdT'qdT''）為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入，隸屬度函數(shù)采用高斯函數(shù)，則RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法[11]為

式中：xi=（eiTeiT'qdiTqdiT'qdiT''）為第i個(gè)連桿神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入；hi=（hi1hi2…h(huán)im）T為徑向基向量；ci為高斯函數(shù)中心位置；bi為基寬參數(shù)；εi為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差。

采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)f進(jìn)行逼近后，網(wǎng)絡(luò)輸出為

式中：ε=（ε1ε2…εn）T。

令Wη=W-Wt，則控制律設(shè)計(jì)為

式中：v為克服神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差的魯棒項(xiàng)。

因此，可以得到自適應(yīng)控制律為

2.3 穩(wěn)定性分析

根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)[12]可得

對(duì)式（26）求導(dǎo)后可得

由式（25）和式（27）可得

將魯棒項(xiàng)設(shè)計(jì)為v=-εNsgn（r），則

令ε≤εNsgn（r），則L'≤0。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性判斷定律可知，控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3 仿真及分析

為了驗(yàn)證RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂菩Ч?，采用Matlab軟件對(duì)機(jī)械臂避障效果進(jìn)行仿真驗(yàn)證。F仿真參數(shù)設(shè)置如下：機(jī)械臂連桿質(zhì)量為m1=m2=m3=1 kg，連桿長(zhǎng)度為l1=l2=l3=1.0 m，滑?？刂茀?shù)為Kv=diag｛40，40，40｝，Λ=diag｛5，5，5｝。障礙物外凸半徑為r=0.05 m，其中心在x0=（x1o，x2o）的圓內(nèi)。障礙物運(yùn)動(dòng)方程設(shè)置為

機(jī)械臂末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡方程式設(shè)置為

假設(shè)機(jī)械臂在無(wú)障礙物環(huán)境中移動(dòng)，采用滑?？刂啤BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂菩Ч謩e如圖3和圖4所示。

由圖3和圖4可知：機(jī)械臂在無(wú)障礙物干擾環(huán)境中，采用滑?？刂坪蚏BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂?，其末端執(zhí)行器都能較好地實(shí)現(xiàn)期望軌跡的跟蹤，跟蹤精度較高。

圖3 滑?？刂疲o(wú)障礙物）Fig.3 Sliding mode control（no obstacles）

圖4 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂疲o(wú)障礙物）Fig.4 RBF neural network sliding mode control（no obstacles）

假設(shè)機(jī)械臂在有障礙運(yùn)動(dòng)的環(huán)境中移動(dòng)，采用滑?？刂?、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂菩Ч謩e如圖5和圖6所示。

圖5 滑?？刂疲ㄓ幸苿?dòng)障礙物）Fig.5 Sliding mode control（with moving obstacles）

圖6 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂疲ㄓ幸苿?dòng)障礙物）Fig.6 RBF neural network sliding mode control（with moving obstacles）

由圖5可知：機(jī)械臂在移動(dòng)障礙物環(huán)境中運(yùn)動(dòng)時(shí)，采用滑模控制的末端執(zhí)行器，其軌跡跟蹤誤差較大。由圖6可知：機(jī)械臂在移動(dòng)障礙物環(huán)境中運(yùn)動(dòng)時(shí)，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂频哪┒藞?zhí)行器，其軌跡跟蹤誤差較小。

在有運(yùn)動(dòng)障礙物環(huán)境中，采用滑模控制、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制的機(jī)械臂與障礙物的距離變化仿真結(jié)果如圖7所示。

因此，采用滑模控制和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂疲瑱C(jī)械臂末端執(zhí)行都能躲避障礙物，成功地實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂避障任務(wù)。但是，采用滑模控制，機(jī)械臂末端執(zhí)行器追蹤誤差較大，而采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂疲瑱C(jī)械臂末端執(zhí)行器追蹤誤差較小，更適合精度要求較高的場(chǎng)合軌跡追蹤。

4 結(jié)論

針對(duì)機(jī)械臂避障過(guò)程中，追蹤軌跡誤差較大問(wèn)題，設(shè)計(jì)了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂破鳎?duì)控制效果進(jìn)行仿真，主要結(jié)論如下：①在沒(méi)有障礙物環(huán)境中，采用滑?？刂坪蚏BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制機(jī)械臂末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡，追蹤誤差相差不大；②在有移動(dòng)障礙物環(huán)境中，采用滑模控制機(jī)械臂末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡，追蹤誤差較大，而采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制機(jī)械臂末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡，追蹤誤差較??；③在有移動(dòng)障礙物環(huán)境中，采用滑?？刂坪蚏BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制機(jī)械臂末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡，都能實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂躲避障礙物功能。