韓亞軍，劉家英

（1.重慶城市職業(yè)學院信息工程系，重慶永川402160；2.重慶城市職業(yè)學院基礎教學部，重慶永川402160）

隨著中國制造業(yè)的發(fā)展，中國已經(jīng)成為全球制造業(yè)中心，將由制造大國轉(zhuǎn)變成為制造強國。近些年，工業(yè)機器人產(chǎn)業(yè)得到了迅速發(fā)展，廣泛應用于汽車制造、金屬加工及塑料成型等許多領(lǐng)域，今后將應用于更多的領(lǐng)域。由此可見，機器人在社會發(fā)展中起到了很大的促進作用，對于人類開辟新的產(chǎn)業(yè)，在提高人們生活水平方面具有重要的意義。

工業(yè)機器人，又稱機械臂，包含機械系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、電氣系統(tǒng)、計算機系統(tǒng)、傳感器系統(tǒng)等多個學科領(lǐng)域[1-2]。為了使機器人能夠在復雜環(huán)境中完成任務，對機器人的綜合性能提出了更高的要求。只有從機器人的結(jié)構(gòu)、控制系統(tǒng)性能及傳感器性能等多方面進行改造，才能提高機器人運動精度。但是，機器人具有高度耦合和非線性特性，控制難度較大。因此，需要對工業(yè)機器人軌跡跟蹤控制進行深入研究和分析，優(yōu)化出最佳參數(shù)，從而提高機器人運動的穩(wěn)定性和跟蹤精度。

當前，為了提高工業(yè)機器人的運動軌跡精度，使工業(yè)機器人加工產(chǎn)品精度更高，國內(nèi)外許多科研人員從多角度對工業(yè)機器人運動軌跡展開了研究。例如：文獻[3-4]研究了工業(yè)機器人在電機外殼生產(chǎn)線中的應用，分析了電機外殼零件數(shù)控加工工藝，采用可編程控制系統(tǒng)，設計出機器人自動上下料的運動軌跡，實現(xiàn)數(shù)控機床與機器人的完美組合，提高了數(shù)控機床的安全性和加工精度。文獻[5-6]研究了機器人運動軌跡規(guī)劃方法，創(chuàng)建了機器人運動仿真界面，引用三次多項式對機器人關(guān)節(jié)運動角位移進行規(guī)劃，設計了數(shù)字運動控制的插補算法，通過實驗驗證機器人運動曲線的變化效果，從而達到了機器人設計精度的預期要求。文獻[7-8]研究了經(jīng)濟性工業(yè)機器人路徑規(guī)劃設計方法，根據(jù)D-H方法建立機器人動力學數(shù)學模型，推導出機器人末端執(zhí)行器運動方程式，使用Matlab軟件對機器人進行仿真驗證，得到機器人各個關(guān)節(jié)角位移變化曲線，提高了工業(yè)機器人運動軌跡精度。以往設計出的工業(yè)機器人控制系統(tǒng)，在一定程度上提高了工業(yè)機器人運動精度，但是隨著社會的發(fā)展，人們對工業(yè)機器人加工產(chǎn)品的精度要求越來越高，現(xiàn)有的加工精度很難滿足人們的需求。對此，本文建立了工業(yè)機器人三維模型，根據(jù)D-H方法推導出機器人運動角位移方程式，為了提高機器人運動精度，引用B樣條曲線設計機器人運動軌跡，采用混合算法對工業(yè)機器人運動軌跡進行優(yōu)化，通過Matlab軟件對工業(yè)機器人運動角位移跟蹤誤差進行仿真，與優(yōu)化前輸出誤差進行比較和分析，為提高工業(yè)機器人對產(chǎn)品加工精度提供理論依據(jù)。

1 機器人動力學

本文研究的工業(yè)機器人具有6個自由度，其機構(gòu)如圖1所示。根據(jù)D-H方法和坐標變換矩陣乘積，可以推導出機器人正運動學方程式[9-10]為

式中：nj，oj，aj為末端坐標系姿態(tài)；θi為相鄰連桿之間的夾角；pj為末端點在基坐標系中的空間位置；為相鄰坐標系之間的齊次變換矩陣，i=1，2，…，6，j=x，y，z。

圖1 工業(yè)機器人Tab.1 Industrial robot

采用逆矩陣01T-1乘以式（1）兩端，經(jīng)過變化后，可得

同理，可以求得其他連桿的角位移為

式中：si為 sinθi；ci為 cosθi；d2，d4分別為第 2 個、第4個連桿偏離距離；ai為連桿長度；

2 運動軌跡優(yōu)化

2.1 非均勻B樣條曲線

采用非均勻B樣條對機器人關(guān)節(jié)路徑點進行插值運算，第j關(guān)節(jié)第i段k次非均勻B樣條[11-12]運動軌跡方程式為

式中：Vj，r為j關(guān)節(jié)的控制點；Br，k（u）為k次規(guī)范 B樣條基函數(shù)。

對于每一個規(guī)范B樣條曲線，定義如下：

本文設置k=5，ui≤ui+1為非遞減參數(shù)，Bi，k（u）的區(qū)間為[ui，ui+k+1]，共有k+2個節(jié)點，對于m-1+k個控制點，相應有m-1+k個規(guī)范B樣條。對于節(jié)點矢量，可以寫成U=[u1，u2，…，um+2k]。規(guī)范定義域 為u1=u2=…=uk+1=0，um+k=um+k+1=…=um+2k=1，通過時間序列T=[t1，t2，…，tm]進行求解。通過對時間序列進行歸一化處理后，得到內(nèi)節(jié)點值為

通過對機器人角位移求導，可以推導出速度和加速度方程式為

為了得到角加速度的連續(xù)性，對非均勻五次B樣條曲線采用插值法，角位移運動路徑點方程式為

式中：u5+i[∈u5+1，…，u5+m]，i=1，2，…，m，j=1，2，…，6。

為了使起停角速度和角加速度值為零，根據(jù)邊界條件可以得

最終可以得出矩陣方程式為

式中：Dj=[Vj，1，Vj，2，…，Vj，m+6]T；Pj=[Q1j，Q2j，…，QmjωsjωejasjaejVj，m+6]T；Aj為上述m+6 個方程的矩陣系數(shù)。

2.2 軌跡優(yōu)化

2.2.1 差分進化算法

差分進化算法通過變異、交叉與選擇操作，從而搜索到全局最優(yōu)解，具體操作步驟如下：

步驟1變異操作。若種群中隨機產(chǎn)生的個體為xi，通過變異后得到新的個體為vi，變異表達式[13]為

式中：F1，F(xiàn)2為縮放因子；i∈[1，2，…，N]；r1，r2∈[1，2，…，N]，N為種群大小。

步驟2交叉操作。將新的個體vi與原來個體進行交叉操作再得到新的個體，交叉操作表達式[13]為

式中：q為區(qū)間[0，1]的隨機數(shù)；λ為交叉概率因子；jq為區(qū)間[0，D]的隨機整數(shù)，D為粒子維數(shù)。

步驟3選擇操作。對比ui和xi值，選擇較優(yōu)的進入下一輪進化中。

2.2.2 粒子群算法（PSO）

粒子群算法通過更新迭代粒子速度和位置來搜索空間內(nèi)的最優(yōu)解，其更新迭代公式[14]為

式中：i=1，2，…，N；j=1，2，…，D；N為種群數(shù)量；ω為區(qū)間[0，1]慣性權(quán)重；C1，C2為區(qū)間[0，2]學習因子；q1，q2為區(qū)間[0，1]隨機數(shù)。

為了更好地調(diào)整局部、全局搜索能力，對慣性權(quán)重系數(shù)ω進行如下修改：

式中：ω0為初始權(quán)重；ω1為最終權(quán)重；k為當前迭代次數(shù)；Tmax為最大迭代次數(shù)。

2.2.3 機器人軌跡混合算法優(yōu)化

混合算法優(yōu)化步驟如下：

步驟1對種群大小N進行初始化；

步驟2進行變異、交叉和選擇操作；

步驟3根據(jù)適應度值，比較最優(yōu)值，更新當前個體最優(yōu)值pi與全局最優(yōu)值gj；

步驟4若滿足優(yōu)化條件，則停止迭代，若不滿足優(yōu)化條件，則繼續(xù)迭代，直到達到最大迭代次數(shù)為止；

步驟5根據(jù)步驟4粒子的最終收斂位置向量，即為路徑點的時間間隔序列T=[t1，t2，…，tm]，進行5次非均勻B樣條插值，最終可以得到機器人運動的角位移、角速度和角加速度曲線。

采用混合優(yōu)化算法對工業(yè)機器人運動軌跡參數(shù)進行優(yōu)化，初始條件設置：種群數(shù)量設置為100，最大迭代次數(shù)設置為300，權(quán)重系數(shù)分別為ω0=0.90和ω1=0.4，學習因子取值為C1=C2=2，隨機數(shù)取值為q1=q2=1，交叉概率取值為0.02，變異概率取值為0.75，采用混合算法優(yōu)化迭代曲線如圖2所示。

圖2 混合算法優(yōu)化迭代曲線Tab.2 Optimizes iteration curve of hybrid algorithm

混合算法的迭代次數(shù)對機器人運動軌跡搜索到全局最優(yōu)值具有重要的影響。由圖2可知，采用混合算法優(yōu)化B樣條曲線，迭代次數(shù)達到66次后，就處于收斂情況，也就是搜索到最佳值；而采用粒子群算法優(yōu)化B樣條曲線，迭代次數(shù)達到140次后才處于收斂情況，也就是搜索到最佳值。因此，混合算法優(yōu)化效果較好。

3 結(jié)果與分析

為了比較優(yōu)化前與優(yōu)化后工業(yè)機器人關(guān)節(jié)運動軌跡變化情況，采用Matlab軟件對工業(yè)機器人關(guān)節(jié)運動軌跡變化曲線進行仿真驗證，假設工業(yè)機器人末端執(zhí)行器運動軌跡方程式為

式中：φ為運動軌跡任意一點位置矢量投影到X-Y平面后與X軸的夾角。

工業(yè)機器人運動關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3、關(guān)節(jié)4、關(guān)節(jié)5和關(guān)節(jié)6運動角位移跟蹤誤差分別如圖3～圖8所示。

圖3 關(guān)節(jié)1角位移誤差Fig.3 Error of joint 1 angular displacement

圖4 關(guān)節(jié)2角位移誤差Fig.4 Error of joint 2 angular displacement

圖5 關(guān)節(jié)3角位移誤差Fig.5 Error of joint 3 angular displacement

圖6 關(guān)節(jié)4角位移誤差Fig.6 Error of joint 4 angular displacement

圖7 關(guān)節(jié)5角位移誤差Fig.7 Error of joint 5 angular displacement

圖8 關(guān)節(jié)6角位移誤差Fig.8 Error of joint 6 angular displacement

根據(jù)圖3～圖8可知：關(guān)節(jié)1，優(yōu)化前角位移跟蹤最大誤差為0.027 rad，優(yōu)化后角位移跟蹤最大誤差為0.011 rad；關(guān)節(jié)2，優(yōu)化前角位移跟蹤最大誤差為0.039 rad，優(yōu)化后角位移跟蹤最大誤差為0.016 rad；關(guān)節(jié)3，優(yōu)化前角位移跟蹤最大誤差為0.046 rad，優(yōu)化后角位移跟蹤最大誤差為0.023 rad；關(guān)節(jié)4，優(yōu)化前角位移跟蹤最大誤差為0.059 rad，優(yōu)化后角位移跟蹤最大誤差為0.032 rad；關(guān)節(jié)5，優(yōu)化前角位移跟蹤最大誤差為0.075 rad，優(yōu)化后角位移跟蹤最大誤差為0.049 rad；關(guān)節(jié)6，優(yōu)化前角位移跟蹤最大誤差為0.164 rad，優(yōu)化后角位移跟蹤最大誤差為0.085 rad。因此，采用B樣條曲線設計工業(yè)機器人運動軌跡，角位移跟蹤誤差較大，而采用混合算法優(yōu)化B樣條曲線，工業(yè)機器人運動軌跡關(guān)節(jié)角位移跟蹤誤差較小。另外，優(yōu)化后角位移跟蹤誤差變化幅度明顯低于優(yōu)化前角位移跟蹤誤差變化幅度。采用混合算法優(yōu)化B樣條曲線，可以快速地搜索到全局最優(yōu)值，選擇出最佳設計參數(shù)，提高機器人運動軌跡精度。

4 結(jié)論

針對工業(yè)機器人角位移運動軌跡輸出誤差較大、運動不穩(wěn)定問題，采用混合算法優(yōu)化機器人運動軌跡，通過仿真驗證工業(yè)機器人角位移跟蹤結(jié)果，主要結(jié)論如下：

（1）根據(jù)D-H方法和三角函數(shù)推導了工業(yè)機器人運動軌跡角位移方程式，選擇B樣條曲線規(guī)劃機器人運動軌跡。

（2）采用混合算法，結(jié)合了差分進化算法和粒子群算法各自的優(yōu)點，迭代次數(shù)少，收斂速度快，能夠搜索到機器人運動軌跡最優(yōu)參數(shù)，使機器人運動更加平穩(wěn)。

（3）優(yōu)化前，機器人運動軌跡角位移跟蹤誤差較大，整體波動幅度較大；優(yōu)化后，機器人運動軌跡角位移跟蹤誤差較小，整體波動幅度較小，誤差峰值降低了48.2%，效果較好。