臧廣智，徐 猛

(北京交通大學(xué) 軌道交通控制與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100044)

0 引 言

拼車(chē)優(yōu)先是政府緩解交通擁堵的重要管理政策之一.為響應(yīng)該政策，交通管理部門(mén)建立了鼓勵(lì)通勤者選擇拼車(chē)出行的交通設(shè)施，最典型的就是高占有率車(chē)道.高占有率車(chē)道是非常有效的鼓勵(lì)拼車(chē)優(yōu)先的交通管理方案，通過(guò)禁止低占有率車(chē)輛(車(chē)上人數(shù)少于一定準(zhǔn)入值的車(chē)輛)進(jìn)入，將有限的道路資源優(yōu)先供給高占有率車(chē)輛.因獲得更多的道路資源，高占有率車(chē)輛相應(yīng)的出行時(shí)間減少，部分通勤者改變單獨(dú)駕車(chē)習(xí)慣，從而達(dá)到鼓勵(lì)拼車(chē)出行的效果.為取得良好的實(shí)際運(yùn)行效果，交通管理部門(mén)需指定高占有率車(chē)輛車(chē)上人數(shù)的準(zhǔn)入值，哪些路段適合設(shè)立高占有率車(chē)道等管理細(xì)節(jié).因此，如何制定合理的高占有率車(chē)道管理方案，成為學(xué)者和管理者需要研究的問(wèn)題.

高占有率車(chē)道設(shè)立與管理的研究包括：降低車(chē)輛排放[1]，收費(fèi)效益最大化[2]，交通服務(wù)水平[3]等多領(lǐng)域內(nèi)容.本文關(guān)注高占有率車(chē)道靜態(tài)均衡分析的研究.Yang等[4]研究了如何利用擁擠收費(fèi)理論管理高占有率車(chē)道的問(wèn)題.Chu 等[5]研究了高占有率車(chē)道起點(diǎn)位置的設(shè)置問(wèn)題.Konishi等[6]研究了通勤者異質(zhì)性對(duì)高占有率車(chē)道和高占有率收費(fèi)車(chē)道的影響.Song等[7]建立優(yōu)化模型研究高占有率車(chē)道及相關(guān)車(chē)道在路網(wǎng)中的設(shè)置問(wèn)題.Wu 等[8]在一個(gè)包含高占有率車(chē)道的多模式網(wǎng)絡(luò)中設(shè)計(jì)了一個(gè)帕累托提升的收費(fèi)策略.

本文研究在設(shè)立高占有率車(chē)道的情境下，系統(tǒng)最優(yōu)和用戶均衡之間的差異，包括通勤平均成本變化和不同類型通勤者的平均通勤成本變化.建立了一個(gè)新的基于高占有率車(chē)道的交通系統(tǒng)，相比之前的研究[5]，加入了多類型拼車(chē)組織時(shí)間通勤者和軌道交通通勤方式的影響.通過(guò)引入通勤者拼車(chē)組織時(shí)間的差異，采用多類型用戶網(wǎng)絡(luò)均衡模型的描述，建立等價(jià)的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型；證明系統(tǒng)中，用戶均衡和系統(tǒng)最優(yōu)的存在性，討論了唯一性不能成立的原因；通過(guò)對(duì)數(shù)值算例的分析發(fā)現(xiàn)，交通管理部門(mén)可以通過(guò)制定合理的管理政策，使低拼車(chē)組織時(shí)間的通勤者獲得更大收益，從而對(duì)中長(zhǎng)期通勤者選擇拼車(chē)的意愿帶來(lái)積極的影響；通過(guò)對(duì)高占有率車(chē)道的長(zhǎng)度分析發(fā)現(xiàn)，高占有率車(chē)道長(zhǎng)度越長(zhǎng)，管理政策的效果越明顯.

1 問(wèn)題描述與建模

假設(shè)一定數(shù)量的通勤者在一個(gè)共同的住宅區(qū)居住，且在同一個(gè)商業(yè)區(qū)工作，一條包含多車(chē)道的高速公路連接兩個(gè)區(qū)域.通勤者可以使用3種通勤方式，即單獨(dú)駕駛小汽車(chē)(獨(dú)駕通勤者)，與他人拼車(chē)(拼車(chē)通勤者)，乘坐軌道交通(軌道通勤者)，獨(dú)駕通勤者和拼車(chē)通勤者合稱為汽車(chē)通勤者.通勤成本分4 部分：主要出行時(shí)間成本，次要出行時(shí)間成本，拼車(chē)等待時(shí)間成本和車(chē)輛運(yùn)行成本.主要出行時(shí)間成本是指汽車(chē)通勤者在高速公路上行駛或軌道通勤者乘坐軌道交通的時(shí)間成本，該成本與高速公路和軌道交通的長(zhǎng)度正相關(guān).次要出行時(shí)間成本是指通勤者花費(fèi)在高速公路或者軌道交通以外的成本，其中，拼車(chē)通勤者不包括拼車(chē)等待時(shí)間成本.由于換乘公交和步行因素，假設(shè)汽車(chē)通勤者的次要出行成本小于軌道通勤者.拼車(chē)等待時(shí)間成本指拼車(chē)通勤者花費(fèi)的額外時(shí)間成本.通勤者的家庭結(jié)構(gòu)，工作性質(zhì)，個(gè)人習(xí)慣等不同，通勤者的平均拼車(chē)等待時(shí)間也不同.例如，夫妻在組織拼車(chē)時(shí)更容易協(xié)調(diào)從而減少拼車(chē)等待時(shí)間，單身人士則需要與家庭以外的成員組織拼車(chē)，會(huì)花費(fèi)更長(zhǎng)的拼車(chē)等待時(shí)間；工作時(shí)間固定的通勤者可以形成固定的拼車(chē)群體，減少拼車(chē)等待時(shí)間.本文假設(shè)通勤者根據(jù)拼車(chē)等待時(shí)間分為不同類型，不同通勤者類型會(huì)有不同的通勤方式選擇特征.車(chē)輛運(yùn)行成本是汽車(chē)通勤者花費(fèi)的車(chē)輛運(yùn)行成本.假設(shè)每輛車(chē)的運(yùn)行成本是固定的，如果通勤者選擇拼車(chē)通勤，那么車(chē)上的每位通勤者平分該車(chē)輛的車(chē)輛運(yùn)行成本.

參數(shù)定義如下：N為通勤者的需求數(shù)，C為高速公路的通行能力，R為需求通行能力比，則為一般車(chē)道通行能力占比，P·C為一般車(chē)道的通行能力.假設(shè)高占有率車(chē)輛的拼車(chē)率S是固定的，即所有高占有率車(chē)輛都有一個(gè)固定的拼車(chē)人數(shù).γ為通勤者的時(shí)間價(jià)值，U為高速公路的自由流時(shí)間，α為軌道交通行駛時(shí)間與高速公路自由流時(shí)間之比，即軌道通勤者的主要出行時(shí)間成本為αγU.V為汽車(chē)通勤者的次要出行時(shí)間，β為軌道通勤者的次要出行時(shí)間與汽車(chē)通勤者之比，即汽車(chē)通勤者的次要出行時(shí)間成本為γV，軌道通勤者的次要出行時(shí)間成本為βγV.W為汽車(chē)通勤者的車(chē)輛運(yùn)行成本，故獨(dú)駕通勤者的車(chē)輛運(yùn)行成本為W，拼車(chē)通勤者的車(chē)輛運(yùn)行成本為關(guān)于通勤成本的變量中，選擇汽車(chē)通勤的出行時(shí)間成本與流量相關(guān)，其他成本均為固定值.

K為通勤者類型集合，Ak，γAk分別為類型k的拼車(chē)等待時(shí)間、拼車(chē)等待時(shí)間成本，Qk為需求占比，k∈K.M為通勤者的通勤方式集合，M={L,H,T}，其中，L 表示單獨(dú)駕駛小汽車(chē)，H 表示與他人拼車(chē)，T 表示乘坐軌道交通.

μkm為類型k的通勤者選擇方式m的占比，m∈M，為全部通勤者選擇方式m的占比，類型k的通勤者選擇方式m的通勤成本ckm為

式中：fT(·)是關(guān)于流量能力比的通勤時(shí)間成本函數(shù).假設(shè)該函數(shù)是正的，嚴(yán)格單調(diào)遞增，二階連續(xù)可導(dǎo)且嚴(yán)格凸的，滿足

使用占比模式描述系統(tǒng)的基本狀態(tài).

定義1占比模式.占比模式是一個(gè)向量，滿足μ∈Ω.

需要強(qiáng)調(diào)的是，占比模式不是由所有占比直接構(gòu)成的.方式L 和方式T 的占比是以總和的形式構(gòu)成.這是因?yàn)閺某杀竞瘮?shù)性質(zhì)的角度考慮，方式L和方式T 在計(jì)算成本時(shí)不需要區(qū)分通勤者類型.

定義2用戶均衡.一個(gè)占比模式μ是用戶均衡，滿足

用戶均衡是一個(gè)由通勤者按照通勤成本最小選擇通勤方式而達(dá)到的狀態(tài).從通勤者的角度來(lái)講，在用戶均衡下，沒(méi)有通勤者可以通過(guò)改變通勤方式降低通勤成本.這一經(jīng)典狀態(tài)被描述為數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，即

命題1一個(gè)占比模式μ是用戶均衡，當(dāng)且僅當(dāng)該占比模式μ是數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題式(5)的最優(yōu)解.而且，用戶均衡占比模式是存在的.

證明 經(jīng)計(jì)算，數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題式(5)的Karush-Kuhn-Tucker 條件等價(jià)于用戶均衡占比模式的定義.因此，式(5)的最優(yōu)解與用戶均衡占比模式等價(jià).

式(5)的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)連續(xù)凸函數(shù)，且決策變量的可行集合是一個(gè)凸集，故式(5)存在最優(yōu)解.再根據(jù)用戶均衡占比模式的等價(jià)性，用戶均衡占比模式是存在的.

該證明詳細(xì)過(guò)程可參考文獻(xiàn)[9].

用戶均衡是通勤者按照最小成本原則自發(fā)達(dá)到的系統(tǒng)狀態(tài).但用戶均衡并不滿足全部通勤者通勤成本總和最小.因此，交通管理部門(mén)可以通過(guò)政策干預(yù)，改變通勤者的選擇，使交通系統(tǒng)達(dá)到系統(tǒng)最優(yōu)的狀態(tài).

定義3系統(tǒng)最優(yōu).一個(gè)占比模式μ是系統(tǒng)最優(yōu)，如果通勤者總成本是最小的，即數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題式(6)的最優(yōu)解.

命題2系統(tǒng)最優(yōu)占比模式是存在的.

證明該證明過(guò)程類似于用戶均衡占比模式存在性的證明.數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題式(6)的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)連續(xù)凸函數(shù)，且決策變量的可行集合是一個(gè)凸集，故式(6)存在最優(yōu)解，即系統(tǒng)最優(yōu)占比模式是存在的.

關(guān)于兩種系統(tǒng)狀態(tài)的唯一性，由于兩個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題的Hessian 矩陣不是正定的，所以本文建立的用戶均衡和系統(tǒng)最優(yōu)不能保證唯一性.但兩個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題都是凸規(guī)劃，可以保證所有的用戶均衡和系統(tǒng)最優(yōu)是集中在一個(gè)連續(xù)的區(qū)域內(nèi).這種集中分布的特性保證了算例分析具備合理性.

2 算 例

數(shù)值算例采用Python 編程語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)，優(yōu)化問(wèn)題使用工具箱scipy求解，參數(shù)取值如表1所示，需要說(shuō)明的是，研究高占有率車(chē)道長(zhǎng)度的影響時(shí)，U變化范圍為0.5～1.0 h.通勤者各類型的參數(shù)取值如表2所示.

表1 模型參數(shù)Table 1 Model parameters

表2 多類型通勤者的參數(shù)Table 2 Parameters for multi-class commuters

BPR函數(shù)被用作關(guān)于流量能力比的通勤成本函數(shù)，即fT(x)=1+0.15x4.用戶均衡和系統(tǒng)最優(yōu)占比模式都不唯一，在顯示數(shù)值算例結(jié)果時(shí)，需進(jìn)行處理.如果有超過(guò)兩個(gè)類型的通勤者選擇方式L和方式T，將其按比例分配到每一個(gè)可能被選的類型中.

用戶均衡下的通勤成本和占比模式如圖1 所示.在用戶均衡下，同一類型的通勤者將選擇通勤費(fèi)用最低的通勤方式.拼車(chē)組織時(shí)間較低的通勤者愿意選擇方式H，因?yàn)檩^低的拼車(chē)組織時(shí)間使該類型通勤者的成本更低；相反，拼車(chē)組織時(shí)間較高的通勤者愿意選擇方式L 和方式T.

系統(tǒng)最優(yōu)下的通勤成本和占比模式如圖2 所示.在系統(tǒng)最優(yōu)下，通勤者不一定選擇對(duì)自己而言通勤成本最低的通勤方式，而是通勤者整體最優(yōu).拼車(chē)組織時(shí)間較低的通勤者選擇方式H.方式T的通勤成本總是大于方式L，但只有類型2～5的通勤者選擇方式L，顯然，部分通勤者沒(méi)有選擇通勤成本最低的方式.

用戶均衡和系統(tǒng)最優(yōu)平均通勤成本如圖3 所示.類型1(低拼車(chē)組織時(shí)間)的通勤者平均通勤成本約有28%的下降，類型2～5(高拼車(chē)組織時(shí)間)的通勤者對(duì)應(yīng)僅有2%的下降，系統(tǒng)總通勤成本下降6.2%.從用戶均衡到系統(tǒng)最優(yōu)，每種類型通勤者的通勤成本都有所下降，即這種改變是帕累托提升的；這一現(xiàn)象不僅有利于短期交通效率提升，更加有利于中長(zhǎng)期的效率提升.顯然，低拼車(chē)組織時(shí)間的通勤者獲得了更好的效率提升，故通勤者在中長(zhǎng)期規(guī)劃中，更傾向于選擇低拼車(chē)組織時(shí)間的生活方式，獲得更大的效益.

圖1 用戶均衡下的通勤成本和占比模式Fig.1 Commuting costs and proportion pattern in user equilibrium

圖2 系統(tǒng)最優(yōu)下的通勤成本和占比模式Fig.2 Commuting costs and proportion pattern in system optimum

圖3 用戶均衡和系統(tǒng)最優(yōu)下平均通勤成本的比較Fig.3 Comparison of average commuting costs under user equilibrium and system optimization

基于不同自由流時(shí)間的平均通勤成本如圖4所示.汽車(chē)通勤者的自由流時(shí)間越大，說(shuō)明高占有率車(chē)道的長(zhǎng)度越長(zhǎng).自由流時(shí)間從0.5 h 增加到1.0 h，通勤者的平均通勤成本隨之增大.系統(tǒng)由用戶均衡調(diào)整為系統(tǒng)最優(yōu)平均成本下降的百分比也隨自由流時(shí)間增加，從7%增加到12%.

圖4 基于不同自由流時(shí)間的平均通勤成本比較Fig.4 Comparison of average commuting costs according to free-flow travel time

基于不同自由流時(shí)間的占比模式如圖5所示.系統(tǒng)最優(yōu)和用戶均衡下，占比的變化模式相近.隨著自由流時(shí)間增加，方式L 的占比明顯上升，方式H 的占比略微上升，方式T 的占比明顯下降.這一現(xiàn)象說(shuō)明，隨著通勤長(zhǎng)度的增加，部分通勤者將由軌道交通轉(zhuǎn)換為汽車(chē)方式通勤.

圖5 基于不同自由流時(shí)間的占比模式比較Fig.5 Comparison of proportion patterns according to free-flow travel time

3 結(jié) 論

本文研究了拼車(chē)組織時(shí)間多類型通勤者對(duì)高占有率車(chē)道交通系統(tǒng)的影響.通過(guò)研究，得到以下結(jié)論：解析命題表明，建立的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型分別與用戶均衡和系統(tǒng)最優(yōu)等價(jià)，且最優(yōu)解是存在的；數(shù)值算例顯示，系統(tǒng)最優(yōu)下低拼車(chē)組織時(shí)間的通勤者平均成本下降比例高于用戶均衡；根據(jù)長(zhǎng)度分析，達(dá)到系統(tǒng)最優(yōu)時(shí)，隨著高占有率車(chē)道長(zhǎng)度增加，通勤總成本下降比例增大.結(jié)論說(shuō)明，交通管理部門(mén)發(fā)布的管理策略可在短期降低系統(tǒng)總通勤成本，并有助于在中長(zhǎng)期促進(jìn)通勤者選擇更利于拼車(chē)的生活方式；規(guī)劃高占有率車(chē)道時(shí)，延長(zhǎng)車(chē)道長(zhǎng)度有助于降低通勤總成本，提高交通效率.將均衡分析方法應(yīng)用于在城市交通網(wǎng)絡(luò)中高占有率車(chē)道的建模分析是未來(lái)的研究方向.