冉昕晨，陳紹寬*，陳 磊，賈文崢

(1.北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸部綜合交通運(yùn)輸大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)交通運(yùn)輸行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100044；2.交通運(yùn)輸部科學(xué)研究院城市交通研究中心，北京100029)

0 引 言

地鐵運(yùn)營(yíng)里程快速增長(zhǎng)，系統(tǒng)能耗大幅增加，節(jié)能減排是該系統(tǒng)可持續(xù)發(fā)展的根本保障和有效途徑.地鐵能耗構(gòu)成中，牽引能耗是主體部分，約占總能耗的40%～48%[1].在保證列車(chē)安全正點(diǎn)的前提下，降低牽引能耗，促進(jìn)再生制動(dòng)能利用，是實(shí)現(xiàn)列車(chē)節(jié)能運(yùn)行的關(guān)鍵.在實(shí)際運(yùn)營(yíng)中，斷面客流不均衡所決定的列車(chē)質(zhì)量空間分布變化，是影響能耗的重要因素之一.因此，考慮客流空間分布差異，研究地鐵列車(chē)節(jié)能方法具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

從運(yùn)營(yíng)組織層面分析，優(yōu)化列車(chē)速度曲線和時(shí)刻表是效果顯著、投資較低的節(jié)能措施.優(yōu)化速度曲線的關(guān)鍵是如何控制單列車(chē)按時(shí)刻表節(jié)能運(yùn)行，既有研究多利用解析法[2]或智能算法[3]求解.優(yōu)化時(shí)刻表的關(guān)鍵是如何分配時(shí)空資源實(shí)現(xiàn)多列車(chē)的節(jié)能運(yùn)行.不考慮再生制動(dòng)時(shí)側(cè)重富余時(shí)間的合理分配[4]，考慮再生制動(dòng)時(shí)多關(guān)注耗散型方式下多列車(chē)的協(xié)同，以降低列車(chē)凈能耗[5]或變電站能耗[6].在計(jì)劃時(shí)刻表的優(yōu)化過(guò)程中，各區(qū)間載荷常被簡(jiǎn)化為常數(shù)，如假設(shè)所有區(qū)間均滿載[5]，忽略了客流空間分布差異對(duì)速度曲線和能耗計(jì)算的影響.

針對(duì)上述問(wèn)題，本文在線路開(kāi)行方案確定后，考慮斷面客流空間分布差異，結(jié)合列車(chē)節(jié)能操縱策略和耗散型再生制動(dòng)能的利用，研究如何優(yōu)化地鐵列車(chē)計(jì)劃時(shí)刻表以實(shí)現(xiàn)節(jié)能.

1 模型構(gòu)建

考慮一條車(chē)站總數(shù)為N的地鐵線路的計(jì)劃時(shí)刻表節(jié)能優(yōu)化問(wèn)題，上行首發(fā)車(chē)站為車(chē)站1，下行首發(fā)車(chē)站為車(chē)站N+1，依次編號(hào)，如圖1 所示.定義車(chē)站索引為n，區(qū)間索引為n′，列車(chē)索引為k，總列車(chē)數(shù)為K.在給定研究時(shí)段[ts,te]內(nèi)，假設(shè)每列車(chē)均按照固定發(fā)車(chē)間隔h和周轉(zhuǎn)時(shí)間C沿線路站站停周期運(yùn)行，且每列車(chē)在同一車(chē)站的停站時(shí)間，同一區(qū)間的運(yùn)行時(shí)間和同一折返站的折返時(shí)間均相同.

圖1 地鐵線路示意圖Fig.1 Sketch of a metro line

1.1 列車(chē)運(yùn)動(dòng)模型

地鐵線路客流時(shí)空分布具有不均衡性，各區(qū)間載客量Ikn′通常存在差異，故列車(chē)質(zhì)量Mkn′隨Ikn′的變化而變化.對(duì)運(yùn)行于區(qū)間n′的列車(chē)k，假設(shè)各區(qū)間載客量Ikn′，乘客平均質(zhì)量m0和列車(chē)空載質(zhì)量M0已知，則列車(chē)質(zhì)量Mkn′為

列車(chē)區(qū)間運(yùn)行節(jié)能的速度曲線包含最大牽引、巡航、惰行和最大制動(dòng)4個(gè)階段[2]，如圖2所示.各階段受動(dòng)態(tài)變化的牽引力、阻力和制動(dòng)力作用，結(jié)合牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，速度曲線各階段的基本運(yùn)動(dòng)方程為

式中：ρ為回轉(zhuǎn)質(zhì)量系數(shù)；vkn′t和xkn′t分別為t時(shí)刻運(yùn)行于區(qū)間n′列車(chē)k的速度與位置；dkn為列車(chē)k離開(kāi)車(chē)站n的時(shí)刻；ak(n+1)為列車(chē)k到達(dá)車(chē)站n+1的時(shí)刻分別為列車(chē)k運(yùn)行于區(qū)間n′時(shí)牽引轉(zhuǎn)巡航、巡航轉(zhuǎn)惰行和惰行轉(zhuǎn)制動(dòng)的時(shí)刻；FT(vkn′t)、R(vkn′t,xkn′t)和FB(vkn′t)分別為牽引力、阻力和制動(dòng)力，規(guī)定與列車(chē)運(yùn)動(dòng)同向?yàn)檎?、反向?yàn)樨?fù)，R(vkn′t,xkn′t)包含列車(chē)基本阻力和因坡道、曲線和隧道等線路條件變化引起的附加阻力，可按經(jīng)驗(yàn)公式[7]計(jì)算.

圖2 列車(chē)k 運(yùn)行于區(qū)間n′的速度曲線示意Fig.2 Speed profile of train k running in section n′

考慮載客運(yùn)行時(shí)，實(shí)施最大牽引力或制動(dòng)力可能會(huì)降低乘客舒適度，列車(chē)操縱策略優(yōu)先使用最大牽引或制動(dòng)力，若超過(guò)最大加減速度限制，則列車(chē)按允許最大加減速度運(yùn)行.定義為最大牽引力，為最大制動(dòng)力，α、β分別為最大加、減速度，列車(chē)牽引力和制動(dòng)力分別為

定義Xn為車(chē)站n中心線位置，則列車(chē)運(yùn)行需滿足

式(5)和式(6)分別為速度和位置邊界約束；式(7)為階段轉(zhuǎn)換時(shí)刻順序約束，時(shí)，表示無(wú)巡航過(guò)程；式(8)確保列車(chē)速度不超限速vlim.

1.2 凈能耗計(jì)算模型

假設(shè)再生制動(dòng)能可在同一供電分區(qū)內(nèi)上下行方向多列車(chē)之間互相傳遞，電能機(jī)械能轉(zhuǎn)化效率ρme，機(jī)械能電能轉(zhuǎn)化效率ρem和線損ρl均為常數(shù).定義q為供電分區(qū)索引，Q為供電分區(qū)總數(shù).將研究時(shí)段[ts,te]以Δt等間隔劃分，則在[t,t+Δt]內(nèi)供電分區(qū)q的牽引能耗與再生制動(dòng)能為

式中：φn′q為0-1變量，若區(qū)間n′屬于供電分區(qū)q，φn′q=1，否則φn′q=0；vc為再生制動(dòng)與空氣制動(dòng)臨界速度，當(dāng)且僅當(dāng)vkn′t>vc時(shí)才產(chǎn)生再生制動(dòng)能.

未安裝儲(chǔ)能裝置的地鐵線路中，再生制動(dòng)能具有即生即用的特點(diǎn).若再生制動(dòng)能未被及時(shí)利用，富余再生制動(dòng)能將由電阻以熱能形式耗散.故Δt內(nèi)被利用的再生制動(dòng)能應(yīng)取牽引能耗與再生制動(dòng)能的最小值.凈能耗則定義為總牽引能耗與被利用再生制動(dòng)能的差，即

1.3 時(shí)刻表優(yōu)化模型

列車(chē)運(yùn)動(dòng)模型和凈能耗計(jì)算模型表明，凈能耗主要由時(shí)刻表決定的多列車(chē)牽引、巡航、惰行和制動(dòng)的時(shí)空分布與牽引能耗和再生制動(dòng)能的大小決定，載客量是影響能量計(jì)算的重要因素之一.因此，結(jié)合各區(qū)間載客量差異，時(shí)刻表優(yōu)化模型以凈能耗最小為目標(biāo)，在均勻發(fā)車(chē)間隔h和固定周轉(zhuǎn)時(shí)間C下，優(yōu)化列車(chē)計(jì)劃區(qū)間運(yùn)行時(shí)間Tn′，停站時(shí)間Dn，車(chē)站N至N+1 與車(chē)站2N至1的折返作業(yè)時(shí)間TN(N+1)和T(2N)1，實(shí)現(xiàn)多列車(chē)再生制動(dòng)能利用的協(xié)同.

引入輔助變量列車(chē)到發(fā)時(shí)刻akn和dkn，為保證同一區(qū)間、同一車(chē)站、同一折返站，所有列車(chē)運(yùn)行時(shí)間、停站時(shí)間和折返時(shí)間是一致的，輔助變量與決策變量的關(guān)系為

時(shí)刻表優(yōu)化約束條件為

式(16)確保列車(chē)按固定發(fā)車(chē)間隔h均勻發(fā)車(chē)；式(17)確保列車(chē)周轉(zhuǎn)時(shí)間C不變；式(18)和式(19)確保區(qū)間運(yùn)行時(shí)間與停站時(shí)間不超過(guò)上下界式(20)和式(21)確保折返作業(yè)時(shí)間滿足最小折返作業(yè)時(shí)間要求；式(22)確保決策變量為正整數(shù).

2 求解算法

列車(chē)運(yùn)動(dòng)模型和凈能耗模型是高度非線性的，難以通過(guò)解析法獲得最優(yōu)解，選用操作簡(jiǎn)單、收斂較快的粒子群算法[8]求解.流程如圖3所示，包含粒子群算法基本流程，二分法求解列車(chē)速度曲線和多列車(chē)能耗計(jì)算，主要步驟如下.

圖3 求解算法流程Fig.3 Flow chart of solution algorithm

Step 1初始化.設(shè)定最大迭代次數(shù)I與粒子規(guī)模J，定義i、j分別為迭代次數(shù)與粒子編碼索引，χij為第i代粒子j的位置，Vij為第i代粒子j的速度.對(duì)決策變量進(jìn)行編碼，隨機(jī)生成J個(gè)可行粒子，并隨機(jī)賦予各粒子在[Vmin,Vmax] 內(nèi)的初速度.

Step 2計(jì)算粒子χij適應(yīng)度f(wàn)(χij).判定χij是否可行，若不可行，賦予f(χij)一個(gè)大數(shù)L；若可行，調(diào)用速度曲線計(jì)算和能耗計(jì)算模塊.利用二分法求解給定時(shí)刻表下的速度曲線.因地鐵線路站間距普遍較短，大部分區(qū)間節(jié)能速度曲線由“牽引—惰行—制動(dòng)”(簡(jiǎn)稱三階段)構(gòu)成，故優(yōu)先計(jì)算三階段曲線.以牽引階段持續(xù)時(shí)間為決策變量，初始化與上下界，按圖3 計(jì)算三階段速度曲線及運(yùn)行時(shí)間比較與時(shí)刻表計(jì)劃時(shí)間Tn′，更新上下界，直至′.

式中：[]為按四舍五入取整.

計(jì)算三階段曲線后，判定是否需要巡航.若三階段曲線的最高速度超過(guò)設(shè)定巡航速度或線路限速，則加算巡航過(guò)程，以巡航時(shí)間為決策變量，更新其上下界，直到.

當(dāng)所有區(qū)間速度曲線計(jì)算完畢后，執(zhí)行能耗計(jì)算模型，賦予凈能耗值.

Step 3更新個(gè)體最優(yōu)與群體最優(yōu).比較χij與的適應(yīng)度：若，令；否則，第i代所有J個(gè)粒子個(gè)體最優(yōu)更新完畢后，比較與J個(gè)粒子中適應(yīng)度最小的粒子若令否則

Step 4按更新粒子速度和位置.

式中：w為慣性權(quán)重，取值[0.9,1.2]；r1、r2為[0,1]間的隨機(jī)數(shù)；c1、c2為學(xué)習(xí)因子，通常均取2[8].

Step 5終止判定.設(shè)兩個(gè)終止判定準(zhǔn)則：一是迭代次數(shù)i達(dá)到設(shè)定上限I，二是種群最優(yōu)粒子適應(yīng)度持續(xù)I′代保持不變.滿足其一則終止算法，輸出群體最優(yōu)值；否則，返回Step 2繼續(xù)迭代.

3 案例研究

選取北京地鐵某線路進(jìn)行實(shí)例研究，線路總長(zhǎng)約22.7 km，共14 個(gè)車(chē)站. 列車(chē)周轉(zhuǎn)時(shí)間C=4 572 s，發(fā)車(chē)間隔h=254 s.研究時(shí)段取所有列車(chē)均上線后的一個(gè)發(fā)車(chē)間隔，即[4 572 s,4 826 s] .根據(jù)案例線路2019年2月某日統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，研究時(shí)段內(nèi)每列車(chē)各區(qū)間載客量如圖4所示，上下行方向各區(qū)間載荷呈現(xiàn)顯著差異.時(shí)刻表優(yōu)化模型中計(jì)劃停站時(shí)間與區(qū)間運(yùn)行時(shí)間的上下界設(shè)為原時(shí)刻表±5 s.其余參數(shù)取值：vc=5 km/h ，M0=192 t ，m0=60 kg，ρ=0.06，ρem=0.9，ρme=0.6，ρl=0.1，α=0.83 m/s2[4]，β=-1 m/s2[4]，120 s ，，Δt=0.1 s，I=500，I′=50，J=50.

圖4 列車(chē)各區(qū)間載客量Fig.4 Train loads of each section

3.1 能耗隨列車(chē)質(zhì)量與運(yùn)行時(shí)間的變化規(guī)律

以區(qū)間15 為例，在其他條件保持不變的前提下，僅改變列車(chē)質(zhì)量與區(qū)間運(yùn)行時(shí)間，利用二分法計(jì)算節(jié)能速度曲線，獲得牽引能耗隨列車(chē)質(zhì)量與運(yùn)行時(shí)間變化規(guī)律，如圖5所示.

由圖5 可知，牽引能耗隨列車(chē)質(zhì)量增加而遞增，隨運(yùn)行時(shí)間增加而遞減.當(dāng)運(yùn)行時(shí)間由180 s增加至200 s 時(shí)，列車(chē)質(zhì)量為194 t 和304 t 的牽引能耗分別降低18.07%、20.03%.說(shuō)明列車(chē)質(zhì)量不同時(shí)，不同運(yùn)行時(shí)間下的節(jié)能潛力存在差異，故考慮線路客流空間分布差異對(duì)地鐵時(shí)刻表節(jié)能優(yōu)化是必要的.

圖5 區(qū)間15 不同列車(chē)質(zhì)量與區(qū)間運(yùn)行時(shí)間下的牽引能耗Fig.5 Traction energy consumption under different train mass and running time of section 15

3.2 時(shí)刻表優(yōu)化模型節(jié)能效果分析

設(shè)定5種場(chǎng)景：S1為原時(shí)刻表，S2、S3、S4分別為假設(shè)各區(qū)間列車(chē)質(zhì)量均為AW0(193 t)、AW2(282.08 t)和AW3(306.8 t)時(shí)應(yīng)用本文模型獲得的優(yōu)化時(shí)刻表，場(chǎng)景S5 為考慮圖4 載客量差異時(shí)獲得的優(yōu)化時(shí)刻表.

(1)優(yōu)化結(jié)果.

S2～S5 均采用粒子群算法計(jì)算10 次，取凈能耗最小的解為各場(chǎng)景的優(yōu)化時(shí)刻表，S1和S5的時(shí)刻表如表1所示.經(jīng)檢驗(yàn)，優(yōu)化時(shí)刻表S5符合時(shí)刻表優(yōu)化約束條件.將5個(gè)時(shí)刻表應(yīng)用于載客量為圖4 情景，對(duì)比各優(yōu)化時(shí)刻表的節(jié)能效果，計(jì)算場(chǎng)景S1～S5的節(jié)能效果，如表2所示.

表1 場(chǎng)景S1 和S5 的時(shí)刻表Table 1 Timetables of S1 and S5

表2 S1～S5 節(jié)能效果比較Table 2 Energy saving performance of S1 to S5

由表2可知，假定各區(qū)間載荷相同的3個(gè)場(chǎng)景S2～S4節(jié)能效果略有區(qū)別，S3節(jié)能效果較優(yōu)，主要表現(xiàn)在促進(jìn)了更多再生能的利用.相比之下，S5節(jié)能效果最顯著，凈能耗比原時(shí)刻表S1 降低了11.72%，比S3 進(jìn)一步降低了2.13%.由此說(shuō)明，考慮客流空間分布差異比假設(shè)載荷為常數(shù)時(shí)能進(jìn)一步提高節(jié)能效果.

(2)牽引能耗與再生制動(dòng)能利用分析.

進(jìn)一步分析S5 相比S1 的節(jié)能效果，圖6 給出S1與S5各區(qū)間速度曲線.由表1和圖6可知，相比S1，S5延長(zhǎng)了大部分區(qū)間的運(yùn)行時(shí)間，降低了列車(chē)區(qū)間運(yùn)行速度，有利于降低單列車(chē)總牽引能耗.

圖6 場(chǎng)景S1 與S5 各區(qū)間速度曲線Fig.6 Speed profiles of each section in S1 and S5

S1 和S5 牽引能耗與再生制動(dòng)能的時(shí)空分布如圖7 所示.優(yōu)化時(shí)刻表S5 比原時(shí)刻表S1 促進(jìn)了多個(gè)供電分區(qū)內(nèi)牽引與制動(dòng)列車(chē)的時(shí)間重疊，具體優(yōu)化位置如圖7(b)所示.此外，模型考慮了供電分區(qū)內(nèi)上下行方向所有列車(chē)的協(xié)同，不局限于相鄰列車(chē)，故場(chǎng)景S5車(chē)站9/20至12/17供電分區(qū)內(nèi)發(fā)生了3～4列列車(chē)互相利用再生制動(dòng)能的情形.

圖7 場(chǎng)景S1 與S5 牽引能耗與再生制動(dòng)能的時(shí)空分布Fig.7 Temporal and spatial distribution of traction energy and regenerative braking energy in S1 and S5

4 結(jié) 論

本文考慮地鐵實(shí)際運(yùn)營(yíng)過(guò)程中載客量變化對(duì)列車(chē)能耗的影響，研究地鐵客流空間分布存在差異時(shí)的地鐵計(jì)劃時(shí)刻表節(jié)能優(yōu)化方法，并以北京地鐵某線路為例，分析不同載荷下的節(jié)能潛力和時(shí)刻表的節(jié)能效果.結(jié)果表明，優(yōu)化時(shí)刻表能有效降低列車(chē)牽引能耗，提高再生制動(dòng)能利用率，且考慮斷面客流空間差異比假定斷面客流為常數(shù)的方法能夠進(jìn)一步提升2.13%的節(jié)能效果.然而，本文案例中列車(chē)載客量是模型已知的輸入?yún)?shù)，實(shí)際運(yùn)營(yíng)中客流是動(dòng)態(tài)變化的且具有一定的隨機(jī)性.結(jié)合不同時(shí)段動(dòng)態(tài)變化地鐵客流特征，深化研究列車(chē)時(shí)刻表優(yōu)化與動(dòng)態(tài)調(diào)整方法將是今后的重點(diǎn)工作.