鄧崇林

(獨立研究員)

一般在談論指南車構造與原理時，人們通常會說指南車是一種具有負回饋作用并能定向的自動化機械裝置[1]，也有自動控制專著指出指南車應用了反饋原理的控制裝置[2,3]，甚至指南車機構設計專家在其文獻中特別強調(diào)指南車是擁有負反饋機構的機械裝置[4]。早期英國專研中國科學技術史的李約瑟說過指南車有負反饋回路自動控制[5]，這或許是大家這么說的源頭吧。但是，也有控制專家萬百五持不同觀點，他認為指南車是一個按擾動補償原理工作的開環(huán)自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)[6]，該文從機械觀點推論，差動齒輪系指南車乃依差動齒輪機械原理運作，它會形成閉環(huán)自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)。萬百五又在他的另一篇文章里補充了指南車應用了不變性原理[7]。

指南車的控制理論到底為何，其實還有其他不同觀點，讓人莫衷一是，這里就不一一贅述?？傊⒄摵我匀绱硕鄻?，究其原因僅有一個，就是指南車欠缺一個數(shù)學模型的控制理論，在沒有可供推算的理論基礎之下，便造成了現(xiàn)今眾說紛紜的局面，因此，這就成了本文的研究動機。

1 研究對象與方法

談到指南車的機械裝置，這里先來界定一下本文討論有關指南車的組成構件。指南車在實體上是由兩側(cè)車輪、傳遞裝置、轉(zhuǎn)向機構、車架、指向器等五大構件所組建而成的雙輪無動力車輛。這里所涉及的傳遞裝置與轉(zhuǎn)向機構需要進一步詮釋，其中傳遞裝置乃由于車輪轉(zhuǎn)動與轉(zhuǎn)向機構之間有一段空間隔閡，為了填補此段距離以及進行運動傳遞和轉(zhuǎn)速校正，該裝置將會由齒輪、復合齒輪或齒輪對兩兩嚙合組成；至于轉(zhuǎn)向機構基本上是采用差動輪系機構，當然這是從機械機構的角度來看；倘若改用自動控制的角度，它將以機械構件做為基礎在角速度方面的兩個輸入一個輸出的控制器；如以功能作用的角度來看，當指南車行駛時，該裝置會時時左右著車上指向器的轉(zhuǎn)向，因此，特稱其為轉(zhuǎn)向機構，這是本文采用的術語，因為在推廣至諸如不用齒輪也能控制指向器的指南車[8,9]時，名稱的不變性，能保住控制理論的一貫陳述。

現(xiàn)在探討指南車控制情況。首先，輸入端利用適當?shù)母兄b置(同時運用左右兩側(cè)的車輪)不斷地測量車輛行進中兩輪滾動軋出不同軌道所反映的行程變化信號(ΔS)，如站在維持特定方向控制目標來看，這些行程變量會帶來方向維持上的干擾，因此稱其為擾動信息或簡稱擾動，此刻感知裝置一邊進行輸入擾動信息同時一邊進行信息轉(zhuǎn)換發(fā)出兩車輪角速度差速(Δω)之前饋(feed forward)信息并立刻反應給傳遞裝置與轉(zhuǎn)向機構，又在量測擾動當下，由于所有裝置混在輪車架里頭，當擾動被量測時，車輪也推駛著車架，從而車架即刻產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)角速度變量(Φ)，它會連帶使得受控對象指向器為之改變原方向，從控制原理來看，這就是干擾信息，但在方向剛要被影響的那一瞬間，指向器立馬收到來自轉(zhuǎn)向機構所發(fā)出的控制信息(Ω)，指向器自然受到雙方通道影響，當會調(diào)動控制信息以補償干擾信息，也就是調(diào)合(Φ+Ω)成為系統(tǒng)的控制要求，理論上最優(yōu)解當然是零，這也就成了最優(yōu)化控制條件，也稱作不變性原理[7]，持續(xù)不斷依此控制，指南車始終能夠克服擾動，從而使輸出方向變量保持穩(wěn)定不變。原理上，指南車如設計妥當，在理想運動狀態(tài)下，無論做任何方向行駛，其指向器仍永遠保守著既定的方向，這就是整體指南車進行自動控制的過程。以下就用一張藉指南車組成構件之間信息互動來說明指南車前饋控制的概要圖。

從圖1中可以辨別出這是雙通道開環(huán)控制，由于輸出方向變量并不發(fā)出反饋信息，因此指南車自動控制所起的作用是預先量測擾動，實時進行補償防止擾動的擾亂，實屬按擾動產(chǎn)生補償作用進行調(diào)節(jié)的前饋控制(Feed Forward Control, FFC)系統(tǒng)，這就成了本文要研究的對象。

圖1 初步建立差動式指南車前饋控制機械模型框圖

有了前述依實況分析建立差動式指南車機械控制模型這個基礎，就能運用古典控制理論方法建立指南車自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型。為了達成這個目標，首先，從圖1探出指南車控制系統(tǒng)是雙通道結構，然后根據(jù)系統(tǒng)雙通道結構及工作原理將系統(tǒng)分成若干個環(huán)節(jié)，接著推演出每個環(huán)節(jié)各自的數(shù)學模型，并求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，再從相加點切入，分進合擊之下，按信息流向依次連接成整體方框圖，既建立了控制系統(tǒng)方框圖，并依最優(yōu)化控制條件或不變性原理求出指南車設計規(guī)律。后續(xù)還會以實際指南車設計案例，進行控制和機械方面的相互驗證，并加以推廣，還要對常見誤區(qū)加以探討，進而厘清一些長久以來混淆不清的觀念，以上就是本研究的方法概要。

在落實研究方法之前，有些前提假設在這里預先提出來，本文推論都是基于這些假設。一般機械專家在設計指南車時，皆以運動學為基礎分析指南車在純滾動條件下，運用所設計的機械構件傳動比的線性特性，計算出構件之間角速度的傳遞關系，從而算得指南車上指向器角速度與兩側(cè)車輪角速度差的數(shù)學關系式，最后獲得指南車的設計要求。本研究沿用前述慣例，以自動控制的觀點創(chuàng)建指南車理想化模型在平面上運動的控制理論，即把指南車視為理想剛體同時不考慮指南車重量、施力、轉(zhuǎn)動慣量、力矩等力的作用，運用機械線性構件并排除諸如背隙(backlash)、不平滑、齒形誤差、組合誤差等非線性因素，且兩側(cè)等徑車輪在車輛運動時皆保持垂直立于平面上純滾動，同時兩輪之間的輪軸與轉(zhuǎn)向機構上的指向器也在平行于地平面的兩不同平面上運動，此時剛體的任意轉(zhuǎn)動，由原來歐拉角表征的章動、進動和自旋三部分運動，在這些理想約束條件下，簡化成為平面上單一自旋角速度運動，從而讓指南車形同剛體在平面上的運動，進而找出其控制規(guī)律。

2 指南車保守指向的運動分析

圖2 車架瞬時行駛軌跡在平面的幾何圖

本節(jié)首先是弄清楚指南車形同剛體在平面上的運動現(xiàn)象，即探討車輪行進軌道、車架轉(zhuǎn)角與指向器的變化情形，目標就是要建立起有關的數(shù)學模式，以利后續(xù)找出其控制規(guī)律?，F(xiàn)有一輛雙輪的輪軸間距長為L之指南車，以車頭前進方向為準，由于兩輪徑等高又車輪直立于平面且輪軸構件兩端垂直銜接車輪，于是輪軸構件可垂直投影到兩輪與平面接觸點的連接線段，以俯視平面角度來看它們是迭合相等的，因此該連接線段的距離也是長L，所以車架的平面運動也等于是該連接線段的平面運動，是等價的。今考慮當車架在某瞬時Δt，于地面某一處觀測點O產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)角速度Φ，形成角位移Δθ，因此依角速度定義知Φ=Δθ/Δt，又此瞬時觀測點之速度為零，以剛體平面運動來論，可將它視為瞬時零速度中心之基準點，其輪軸相當于一條兩端長L構件的剛體，而構件兩端點速度的垂直線就是輪軸的延伸線，速度瞬時中心出現(xiàn)于速度向量的垂在線，因此剛體上任意點的瞬時角速度全等于車架角速度Φ，在此瞬時其左輪2與右輪1行駛于平面上滾軋分別留下兩條軌道圓弧S2與S1，如圖2所示，則兩輪起點延伸線與兩輪終點延伸線必相交于瞬時中心O且夾角正是Δθ，其行程差為兩圓弧相減(ΔS=S2-S1)，且圓弧S1與O基準點始終保持著等距r的關系，又圓弧長度為瞬心切線速度乘以此瞬時時間，且瞬心切線速度的求得是以瞬時中心之距離半徑乘上角速度，因此，行程差就等于不同距離半徑乘上角位移的差額，其計算過程為：ΔS=S2-S1=(r+L)Δθ-rΔθ=LΔθ，再將兩邊同除以瞬時時間可得到下列數(shù)學關系式：

ΔS/Δt=L(Δθ/Δt)=LΦ(t)

(1)

式(1)是指南車行程差與車架旋轉(zhuǎn)之切線運動關系式。今改用幾何觀點來看，取S1終點處另畫一條輔助平行延伸線與兩輪起點延伸線相互平行的話，那么兩輪起點與此輔助平行延伸線之間，所分割出來的是平行的兩條圓弧線段，是等長的，所以，原來的行程差先對消該平行分割曲線之后，就只剩下是取S1終點為原點，并于輪2在S2曲線分割后所剩余的軌道上，用車輪軸間距(L)當半徑所畫的圓弧線，且夾角仍為Δθ，由于歐氏幾何上平行曲線的特性，證明了ΔS=LΔθ關系式，也驗證了式(1)數(shù)學關系式成立，如令指向器于指南車起點啟動時的方向，就是沿兩輪起點延伸線的車架方向，也就是圖2中人偶左手所指之方向，那么它在某瞬時驅(qū)駛車架拐彎Δθ夾角，就等于是車架輪距當半徑于這期間內(nèi)產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)角速度變量(Φ)，這兩者乘積就相當于是車架以右端點為原點于左端點沿切線方向運動之切線速度。其車架兩側(cè)雙輪單位時間之行程差僅僅與車架拐彎角速度成正比，且這比值恰等于車輪軸間距，這是第一個描述指南車兩輪行駛于平面上的切線運動方程式。此時指向器若沒有進行補償動作，則其方向會旋轉(zhuǎn)Δθ角而偏離原方向，倘若要指向器保持原來啟動時的方向，則必須同時間內(nèi)反方向補償旋轉(zhuǎn)角速度Ω(相對于車架)，于是要能滿足下列約束條件才行：

Ω(t)=-Φ(t)

(2)

這是第二個指南車設計指向器運作所要求的完全補償公式，由于等量反向關系，使得指向器相對于地面的角位移永保為零的狀態(tài)，這樣指向器就能持續(xù)保持著單純平移運動而不隨車轉(zhuǎn)，使其守住指向維持不變。如把這個式(2)改成左右項相加為零，同時將差分符號改成微分符號，就成了指南車保守指向運動方程式，這在另一文獻[10]稱之為“自由平移方程”，由于在前一節(jié)的假設已給出指南車形同剛體在平面上的運動，根據(jù)運動的疊加原理，剛體平面運動可看成是剛體的平動與轉(zhuǎn)動的迭加，又前述文獻[10]已用微分幾何證得指南車在平面上的運動完全與選取路徑無關，這樣分析指南車在平面上的運動現(xiàn)象，就能化簡成剛體在平面上的轉(zhuǎn)動而已，因此，本節(jié)只需考慮車輛轉(zhuǎn)彎的運動學就足夠了。另，一般機械專家在設計指南車時，都直觀默認不考慮剛體在平面上的平動(不一定是直線運動)，而在車輛轉(zhuǎn)彎時只單方面考慮圓周運動[11,15]，這在理論建構上是不嚴謹?shù)?，因為有關剛體在平面上的平動之所以毋庸考慮，靠直觀或辯證(這也是如今指南車控制立論多言堂的情況)是不準確的，而是需要運用數(shù)理加以證明。為了增進對指南車運動學的廣泛認識，這里額外(不在本研究范圍)將指南車在平面上的運動加以推廣，當指南車行駛于曲面時，它的指向運動就會與路徑選取直接關聯(lián)，這部分也是由前述文獻[10]給出嚴格證明，這應該是一般指南車設計專家料想不到的應用。

3 建立雙通道的數(shù)學模型

從第1節(jié)分析知道，本文研究對象指南車控制系統(tǒng)是雙通道結構，接下來將接續(xù)第2節(jié)的階段分析成果，分別建立干擾通道與控制通道的數(shù)學模型。

3.1 建立干擾通道的數(shù)學模型

以控制觀點來看，干擾通道中的主要執(zhí)行者乃輪車架構件，其運作原理有一點兒復雜，須先厘清，才能求出此環(huán)節(jié)的數(shù)學模型。首先針對指南車運動現(xiàn)象進行觀察車輪軌道變化的各種有用物理量，我們把觀察目標放在兩個車輪滾動造成行程差ΔS′，這個部分是來自兩輪有著旋轉(zhuǎn)角速度差Δω所貢獻的，由于是來自于Δt期間內(nèi)兩輪以不同角速度在路面形成車輪切線速度Vt所經(jīng)過的長度差，因此如果兩輪同為R半徑時，由兩輪切線速度差可求得兩輪滾動行程差ΔS′的關系式如下所示：

ΔS′=(Vt2-Vt1)Δt=(ω2-ω1)RΔt=ΔωRΔt

(3)

假設指南車行進間車輪始終是以純滾動方式運動，也就是令車輪自旋與行進軌道之間起到了完全耦合作用，簡稱為車輪的“自旋-軌道耦合作用”，那么就保證了在單位時間內(nèi)車輪滾動行程差式(3)等于平面上式(1)中的兩輪平行軌道曲線長度差，也就是滿足了下列純滾動行程差恒等關系式：

ΔS′=ΔS

(4)

接著把前面式(1)轉(zhuǎn)換成Φ=ΔS/(LΔt)的關系式，將此結果再除以這個把式(3)借助式(4)所轉(zhuǎn)成Δω=ΔS/(RΔt)的轉(zhuǎn)換關系式，再將Φ與Δω相除結果經(jīng)分子項與分母項兩兩對消除掉重復變數(shù)，經(jīng)此整理后得到下列車輛幾何特征與車轉(zhuǎn)變量的數(shù)學關系式：

(5)

從式(5)數(shù)學關系式里已經(jīng)看不見行程差變量，也就是原先量測物理量是兩輪行駛平行軌道行程差對時間的變量ΔS/Δt在純滾動條件下，已經(jīng)自然地調(diào)整化為兩輪旋轉(zhuǎn)角速度差Δω，導致前面所建之圖1差動指南車前饋控制機械模型圖中，要把輸入控制系統(tǒng)的擾動改成Δω，在干擾通道中有一個環(huán)節(jié)是依式(5)的數(shù)學模型在進行信息轉(zhuǎn)換。將式(5)兩邊取拉普拉斯轉(zhuǎn)換，可發(fā)現(xiàn)輸入量F(s)與輸出量之間是比例關系，由此可求得干擾通道上之傳遞函數(shù)為GD(s)=R/L。

3.2 初建控制通道的數(shù)學模型

以控制觀點來看，控制通道只有左右側(cè)兩車輪的轉(zhuǎn)速差當輸入，除此之外，并無其他干擾因素或設定值介入執(zhí)行機構，至于輸出則只有一個指向器進行補償作用的角速度Ω，所以補償角速度可表成是兩輪轉(zhuǎn)速差的函數(shù)，也就是Ω=f(ω2-ω1)=f(Δω)，在分析時，前式函數(shù)f為執(zhí)行控制設備專有的特性機制，它不隨著過程控制的變化而有所改變，又由于齒輪機構傳動比之線性特征，這可進一步推算出整體轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的等效比值，用黑箱慨念當它是該系統(tǒng)的特性參數(shù)，并定義成一個β符號代表，把β比例因子界定為補償因子(compensating factor)，它是用來補償車子轉(zhuǎn)彎所生的方向偏差，因此函數(shù)f會是個線性函數(shù)，也就是下列兩輪角速度差額與指向器自轉(zhuǎn)變量的數(shù)學關系式：

Ω=f(Δω)=βΔω

(6)

同樣將式(6)兩邊取拉普拉斯轉(zhuǎn)換，可發(fā)現(xiàn)輸入量與輸出量之間是比例關系，進而求得控制通道之傳遞函數(shù)為β。又由于該通道中是由傳遞裝置與轉(zhuǎn)向機構所組成，而β與前述兩種設備都是具有傳動比特性，即同樣都是比例值。同理，可將控制通道拆分為傳遞裝置之傳遞函數(shù)為GT(s)=NT與轉(zhuǎn)向機構之傳遞函數(shù)為GC(s)=βC，其中NT是傳遞裝置轉(zhuǎn)速比，有著把擾動Δω轉(zhuǎn)成適當轉(zhuǎn)速的校正作用，以便匹配轉(zhuǎn)向機構的輸入特征，因此NT稱為此校正環(huán)節(jié)的校正因子，至于控制通道主要執(zhí)行控制者乃轉(zhuǎn)向機構，控制環(huán)節(jié)就是由它所構成，因此轉(zhuǎn)向機構正是掌管這個環(huán)節(jié)的控制器，它的補償因子就是βC，顯然有β=βCNT關系式，至于這些因子的內(nèi)涵將于第4節(jié)里討論。

4 建立指南車控制理論——前饋控制系統(tǒng)與計算法則

本節(jié)將回答如何設計指南車以求達到式(2)要求，也就是調(diào)合(Φ+Ω)輸出值始終是零。注意，在后續(xù)式(8)是依圖1里的信息流建立相關響應。由于第3節(jié)已求得干擾通道的傳遞函數(shù)GD(s)，以及控制通道中校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)GT(s)和控制通道中控制器的傳遞函數(shù)GC(s)，現(xiàn)整理如下：

(7)

現(xiàn)把擾動量F(s)輸入到圖1系統(tǒng)并經(jīng)雙通道進行控制，則總體輸出響應輸出量的Y(s)為下列關系式：

(8)

為實現(xiàn)前饋補償控制之完全補償條件，也就是令式(8)化為Y(s)/F(s)=0的情況，由于輸入項F(s)不為零，為了讓擾動對系統(tǒng)輸出的影響為零，則需滿足不變性原理[7]，使得式(8)中傳遞函數(shù)項為零，即

GD(s)+GC(s)×GT(s)=0

(9)

將上式重新整理得：GD(s)=-GC(s)×GT(s)，并還原成由式(7)各環(huán)節(jié)所組成的比例因子，可算得：

(10)

在設計要求時不用計負號。

上式“-”號乃表示補償作用。當控制做到式(10)時，會把式(5)車轉(zhuǎn)變量，用式(6)反向等值的控制變量加以抵銷，即滿足了式(2)，使指向器方位不變。以下將圖1轉(zhuǎn)成由各比例因子構成的控制方框圖

注意圖3里控制通道中控制環(huán)節(jié)乃由差動機構行“-”號補償因子的補償作用，該作用能自動調(diào)合來自干擾通道的車轉(zhuǎn)變量與指向器的角度變量始終為零，指南車也就達成了使命。此處終于推導出為達到完全補償作用這個控制目標的控制系統(tǒng)設計要件，使得擾動對系統(tǒng)輸出的影響為零，也就是讓指向器有著保守指向作用的設計要件，正是由毋庸考慮負值的式(10)所規(guī)范，這里就以最有名的設計案例進行說明。英國學者蘭開斯特 (G.Lanchester) 在1947年2月于倫敦中國學會中一篇名為“The Yellow Emperor’s South-Pointing Chariot”的演講中，用直立式差速齒輪裝置設計出具有指南功能的指南車，由文獻[10]得知其輸出入角速度特征為Ω=Δω/2且采等齒傳遞裝置，依據(jù)式(6)與式(10)，算得βC=1/2,NT=1,β=1/2，以及其幾何特征為L=2R，也就是指所設計的指南車其輪軸間距一定要等于車輪直徑。又為了能進行通盤計算，接下來要發(fā)展指南車控制理論的計算法則。

圖3 指南車開環(huán)前饋控制系統(tǒng)框圖

綜觀指南車的轉(zhuǎn)向機構乃兩個輸入、一個輸出的特定設備，一般在設計指南車時，由于轉(zhuǎn)向機構左右輸入轉(zhuǎn)速通常不對等，這將反過來要求兩側(cè)車輪輸入的傳遞裝置傳動比之設計也要有所不同，也就是左右側(cè)輸入端會有不同傳動的轉(zhuǎn)速比NTL與NTR，能對車輪轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)向機構之間的匹配起了不同校正轉(zhuǎn)速作用，這也就是為什么傳遞裝置的控制環(huán)節(jié)稱作校正因子的緣由，但如此一來，將會讓前述圖3控制系統(tǒng)方框圖里存在單一項校正因子的轉(zhuǎn)速比NT看起來好像不大對勁，這時前述控制理論是否還能適用，這成為本節(jié)要來解決的實際問題。

指南車控制理論的計算法則是這樣子的，在機械傳動系統(tǒng)中，傳動比乃輸入端主動輪與輸出端從動輪的角速度或轉(zhuǎn)速的比值，且傳動比反比于齒數(shù)比，即ωi/ωo=Ni/No=Zo/Zi。當指南車原地打轉(zhuǎn)一圈，這同時指向器剛好會自轉(zhuǎn)一圈或兼有公轉(zhuǎn)一圈，我們有興趣的焦點皆圍繞在“一圈”的問題上，如做不到或超過了“一圈”時，我們就要在設計階段加以校正，讓實際運作時使輪車架旋轉(zhuǎn)與指向器自轉(zhuǎn)都能同步且彼此反向轉(zhuǎn)一圈，又由于我們有興趣的是想搞清楚當輸入一圈，經(jīng)調(diào)控之后會輸出多少圈的比例控制特性，因此要將原機械慣用計算方式的轉(zhuǎn)速比之分子分母倒過來看成NT≡No/Ni=Zi/Zo，又分子分母里的單位時間可約分消去不計，使得這個轉(zhuǎn)速比變成了圈數(shù)比，換言之，原本從機械觀點計算輸入與輸出角速度比例過程，轉(zhuǎn)變成計算輸入一圈會輸出幾圈的控制響應，本文特稱此為“輸入轉(zhuǎn)一圈”的計算法則，其適用范圍涵蓋控制通道里各種環(huán)節(jié)的比例因子。注意，這個計算法則迥異于機械觀點，各種比值需倒過來看，有機械方面基礎者，特別需要觀念轉(zhuǎn)換。又為了符合左右輸入特性的差異，我們將分別固定單一側(cè)車輪，使得指南車整體由兩個自由度命題，變成一個自由度的一左一右兩個各別命題，這樣，左、右兩側(cè)各別輸入經(jīng)控制各環(huán)節(jié)的比例因子或許會有差異，然而整體控制通道的響應卻是一致的，包括方向一致、大小一致，因為都得要滿足不變性原理，也就是統(tǒng)一針對干擾通道的進行完全補償動作，于是有了下列關系式

(11)

這時，圖3系統(tǒng)方框圖還是沒變的，只有圖內(nèi)各比例因子的變量符號的腳注有些許變動而已。除了整體方框圖不變之外，也可以求得左右側(cè)不對稱傳遞裝置控制下的整體角速度輸出入關系式，只要將式(11)代入到式(6)中，接著拆分成個別輪子其自帶角速度的關系式，進而得到整體的角速度特征公式，得

(12)

上述公式乃線性組合的函數(shù)關系，這也額外驗證了線性系統(tǒng)的疊加原理(superposition principle)，即系統(tǒng)整體輸出的響應是對各個訊號響應的代數(shù)和。對于這樣有限的文字陳述，或許突然會看不明白，以下會用數(shù)學語言進行描述并自洽性證明了式(6)的線性系統(tǒng)假設，其推導過程如下：

有些機械書籍對輪系的自由度有所講究，例如輪系中至少有一個齒輪除繞自身軸線轉(zhuǎn)動(自轉(zhuǎn))外，其軸線還繞另一個固定軸線作公轉(zhuǎn)，這種輪系稱為周轉(zhuǎn)輪系。周轉(zhuǎn)輪系中自由度為1(兩輸入端其一固定)的稱為行星輪系；自由度為2的稱為差動輪系。這些名稱雖有所不同，然而只要是同一種類的差動輪系機構，不管其自由度為何，其傳動比都是同一個公式，如命題是自由度為1時，就是要找出該機構里哪個構件是固定不動的構件，然后在公式里將該構件對應的角速度設為零就行了。

圖4 基本行星齒輪機構立體圖與剖面圖[12]

5 用物理及機械觀點對行星齒輪機構進行運動分析

行星齒輪組(planetary gearset)是齒輪結構的一種，通?？煞譃楹唵涡行驱X輪系和復雜行星齒輪系。這里談的是簡單行星齒輪系中如圖4所示基本的行星齒輪系(basic planetary gear train)，分別有一個太陽齒輪(sun gear)，一個環(huán)形的齒圈(ring gear)，一個行星齒輪(planet pinion)和一個裝有行星齒輪的行星架(carrier) 等4個基本構件組成，其中，太陽輪、齒圈和行星架三個構件共同繞公共軸線回轉(zhuǎn)，而安裝于行星架上的行星輪其外沿與齒圈相齒合，至于其內(nèi)沿則與太陽輪相齒合，由于其繞行軌跡既可繞其本身軸線自轉(zhuǎn)，又可在齒圈內(nèi)繞公共軸線公轉(zhuǎn)，就像行星繞著太陽公轉(zhuǎn)一樣，因而得名。

圖5 在行星架的轉(zhuǎn)動坐標系上觀察到各構件相應的運動

在討論運用行星齒輪系設計各種指南車之前，先就此一基本行星齒輪系進行基本的運動分析。這里將太陽輪、行星輪、齒圈和行星架等4個構件依序分別標記為1、2、3和H如圖5所示，而各構件所相應的轉(zhuǎn)動角速度則為ω1、ω2、ω3、ωH，以及半徑各為R1、R2、R3，以下將進行物理運動學上的剖析。首先，吾人考慮觀察者是落在行星架H的轉(zhuǎn)動坐標系上，此時，可觀察到行星架是靜止不動的，這相當于在整個機構中的各個構件上同時加一個相同的(-ωH)相對運動角速度，則不影響各構件之間的相對運動關系，此刻各構件相對于行星架H的相對角速度(或轉(zhuǎn)速)分別為

(13)

(14)

這里所謂的齒輪半徑是指節(jié)徑(節(jié)圓直徑)的一半，而節(jié)圓(pitch circle)則是指兩相嚙合的齒輪在節(jié)點形成滾動接觸的圓，其中，兩相嚙合的齒輪，其節(jié)圓相切之點即為節(jié)點(pitch point)，又由機械設計齒輪的規(guī)范得知，模數(shù)(module)用于表示公制齒輪之大小，為節(jié)徑(以公厘為單位)與齒數(shù)之比值，因此，模數(shù)越大，齒形越大，如果兩齒輪之間要相互齒合的話，則兩齒合之齒輪必須有相同的模數(shù)，換言之，齒輪之齒數(shù)與其半徑成正比關系，從而由式(14)可推得

(15)

(16)

6 按機械原理探討指南車的特征公式與控制特性

由于指南車轉(zhuǎn)向機構需要二輸入一輸出的2自由度機構，在運用行星齒輪組設計時，行星齒輪組將被視為負號差動輪系機構，在其齒圈3、太陽輪1和行星架H等3個基本構件中，設計所選定的構件i和j都是活動構件且當作兩個輸入件，則第三個構件k將作為輸出件，(i,j,k)∈{1,3,H} 并且i≠j≠k，則此差動機構將受到轉(zhuǎn)化機構傳動比式(16)所管控，又所有齒輪的齒數(shù)都是已知，使得該傳動比為一常數(shù)比例項，再把式(16)經(jīng)過角速度分子項、分母項與常數(shù)比例項交叉相乘并移項整理之后，能將該式(16)轉(zhuǎn)換成ωi、ωj和ωk所構成的三元一次方程式，并令輸出件其角速度變量ωk的系數(shù)為1，于是簡化可得到

(17)

上述公式中的αi和αj皆是線性組合的正值常數(shù)系數(shù)，它們與“±”號都是由實際計算而定。接著考慮符合指南車指向要求而配套的傳遞裝置，這可用定軸輪系方式求出其傳動比大小為何，當然這也是個比例常數(shù)，進而可求出從左右兩輪輸入角速度ωL與ωR，分別經(jīng)過左右兩側(cè)傳遞裝置，一直傳動到差動齒輪機構的輸入件i和j的關系，如果這個設計是直接把指向器固連到輸出件k的話，那么就可求得該指向器輸出Ω角速度，以及相關輸出入角速度之間的關系式，此推算結果其實是與第4節(jié)之計算法則里進行左右輪單獨計算校正因子是一樣的，畢竟這些因子都是傳遞裝置的機械特性，最終可得出下列聯(lián)立方程組

①ωi=±NTLωL,②ωj=±NTRωR,③Ω=ωk

(18)

上述公式中的“±”號是由實際計算而定，至于比例因子NTL和NTR也會是個正值常數(shù)，接著再將式(18)代入式(17)，便能消掉ωi、ωj和ωk變量，轉(zhuǎn)而成為指向器輸出Ω角速度與左右兩輪角速度輸入ωL、ωR的關系式

Ω=αiNTLωL-αjNTRωR

(19)

以上是采左視指南車左車輪的順時旋轉(zhuǎn)方向為正向當基礎的結論，后續(xù)討論指南車相關角速度計算時都是以此為正負方向的依據(jù)，因此Δω≡ωL-ωR?，F(xiàn)考慮指南車在平面上進行直線運動，此時的指向器將是紋風不動的，表示指向器并不會跟隨指南車直行而發(fā)生轉(zhuǎn)動，也就是指向器Ω角速度輸出值必為零，而此刻處在直線運動的左右兩輪角速度兩者大小相等且轉(zhuǎn)向一致，再將這些直線運動條件代回到式(19)，導致該式中ωL、ωR的相關系數(shù)必須相等，并令此系數(shù)為γ，也就是

NTLαi=NTRαj≡γ?Ω=γ×Δω

(20)

由于是同一臺指南車，所觀察到的指向器輸出角速度與左右兩輪角速度差的關系式(6)必然是等同于式(20)，故γ=β，也就是此系數(shù)乃前述第4節(jié)控制理論的補償因子，進而能夠推得式(11)與式(20)是一樣的，故αi=βCL,αj=βCR，于是

(21)

式(21)有著二進一出系統(tǒng)特征，由于只涉及角速度變量，因而特稱為指南車的角速度特征公式，這項由機械原理所推得結果，居然與控制理論推得的式(12)一模一樣，這說明了，此角速度特征公式乃讓指向器起到抵消車架偏轉(zhuǎn)量的補償作用；而此前不計負號的公式(10)，則掌管著車輪半徑與輪軸間距相關尺寸的幾何關系，因而特稱為指南車的幾何特征公式，而該比值會受到補償因子的約束。

接下來，我們回歸本文關切的控制議題。首先來談反饋控制，所謂反饋就是將輸出的結果回輸?shù)皆到y(tǒng)，但是在本節(jié)采機械原理推導過程中并沒有發(fā)現(xiàn)把輸出角速度重新導入的計算，而且這個反饋控制的重要特征也沒有出現(xiàn)于式(21)里頭，更何況該角速度特征公式本身會說話，它說明指南車的指向器角速度與兩輪角速度差只跟控制理論中的補償因子和校正因子相關，而這些比例因子皆屬于指南車開環(huán)前饋控制自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)中控制通道的各種環(huán)節(jié)。回顧本文在控制理論建立之初，是先假設了式(6)中有個補償因子β，爾后才陸續(xù)推導出各環(huán)節(jié)的比例因子；反觀本節(jié)則是先從探討差動機構的傳動比入手，再逐步探討之后才發(fā)掘指向器角速度與兩輪角速度差額的比例常數(shù)乃是補償因子β，換言之，前饋控制起到了按擾動進行補償作用，這也證實了先前式(6)的假設是成立的。無論是采機械原理觀點還是控制理論觀點，終究都一樣，其表征皆需符合物理運動學的規(guī)律，其補償作用則源自于前饋控制，因此，藉由行星齒輪系建構的指南車并不存在著反饋控制的機制。

綜觀本節(jié)所做理論推導，是建立在行星齒輪系組成構件任意組合情況下進行的，而行星輪系中做為輸出入件就是齒圈、行星架與太陽輪等三種構件，其不同組合情況有三，分別為：(1)以行星架為左側(cè)輸入、太陽輪為右側(cè)輸入而齒圈為輸出；(2)以齒圈為左側(cè)輸入、太陽輪為右側(cè)輸入而行星架為輸出；(3)以齒圈為左側(cè)輸入、行星架為右側(cè)輸入而太陽輪為輸出。由于本節(jié)推論必需透過實際設計案例進行檢驗，才能得到客觀認證，因此，后續(xù)將會就這三種不同組合構件進行案例驗算。

7 以實際案例進行控制和機械方面交叉驗證

本節(jié)將以謝龍昌等[14]學者以差動機構周轉(zhuǎn)輪系所設計之例3指南車做為設計案例討論對象，其輸出入件為第6節(jié)的①以行星架為左側(cè)輸入、太陽輪為右側(cè)輸入而齒圈為輸出的組合情況，此處分別進行控制以及機械方面的計算，以便交叉相互驗證。

7.1 以控制理論角度計算

圖6 謝龍昌等設計例3指南車機械結構剖面圖

圖6是以“謝龍昌例3指南車”為例，進行理論方面驗證?，F(xiàn)令左輪不動僅右輪順時旋轉(zhuǎn)，此時先把焦點放在指南車里頭的轉(zhuǎn)向機構，由于左輪不動，使得該轉(zhuǎn)向機構的4(80)行星支架齒輪被咬死，導致該行星支架也不會轉(zhuǎn)動，因此，當該轉(zhuǎn)向機構最底部的2(24)固連(32)太陽輪一起轉(zhuǎn)一圈時，會經(jīng)5(24)行星輪的惰輪作用將一圈24齒數(shù)傳遞給內(nèi)有72齒的3(72)齒圈，也就是固連在該齒圈中心軸上端的指向器會旋轉(zhuǎn)24/72=1/3圈，因此求得右輸入的βCR補償因子為1/3。接著來分析傳遞裝置在右輪會發(fā)生什么情況，當右輪順時旋轉(zhuǎn)輸入一圈時，由于會經(jīng)過相同齒數(shù)的齒輪傳動，也就是右輪傳遞給該轉(zhuǎn)向機構的圈數(shù)比為NTR=1，這樣從左輪不動僅右輪單側(cè)旋轉(zhuǎn)輸入一圈就可以求得控制通道之傳遞函數(shù)為

(22)

現(xiàn)依指南車控制理論可進行兩項推論，分別為：

(1) 當右輪順時旋轉(zhuǎn)輸入一圈，同時會使指向器順時旋轉(zhuǎn)1/3圈。

(2) 而且式(22)須符合式(10)指南車的尺寸要求，即得R/L=1/3，也就是該指南車兩輪之輪軸間距L必須設計成車輪半徑R的3倍，這與圖6設計紙上底部繪制長度水平線上頭為兩直立車輪之輪軸間距所標的注記：L=3r完全一致，而車輪半徑標注則是繪制在圖6右半邊右車輪外側(cè)的長度垂直線旁，其半徑標注正是r。

現(xiàn)在俯瞰指南車以車架左側(cè)輪不動當支點為圓心，做原地逆時針打轉(zhuǎn)動作，此時右輪是順針旋轉(zhuǎn)，又車輪轉(zhuǎn)一圈所走的長度就是車輪自轉(zhuǎn)一圈的圓周長為2πR，且由前面算得兩輪輪軸間距L=3R，當下若令左輪不動僅右車輪順轉(zhuǎn)3圈，這時右輪所走的軌跡長度，剛好是輪軸當公轉(zhuǎn)半徑繞滿左輪支點圓心一圈的圓周長(3×2πR=2×πL)，所以當右車輪以軸心順時自轉(zhuǎn)3圈，輪軸也繞左輪支點逆時公轉(zhuǎn)一圈，這同時指向器在車架上順時自轉(zhuǎn)一圈，車架逆時公轉(zhuǎn)與指向器順時自轉(zhuǎn)兩相抵銷，換言之，在地面可觀察到，車架轉(zhuǎn)彎當時，指向器的指向維持不變。

圖7 基本行星輪系機構剖面圖

接著考慮右輪不動僅左輪轉(zhuǎn)動的機構各部件相應轉(zhuǎn)速計算，由于此時多種構件相互嚙合傳動會比較復雜，為了化簡復雜性并突顯出做為控制指向器當主體的轉(zhuǎn)向機構，還是把焦點放在圖6指南車里頭的轉(zhuǎn)向機構，并將該轉(zhuǎn)向機構里重復出現(xiàn)且不影響計算的齒輪元部件拿掉，僅留下與問題計算相關的組件，如此去枝蔓留主干，就精簡成了如圖7所示的基本行星輪系機構，或稱之為等效控制器，注意，不要被該圖標準的基本行星輪系所誤導，該圖里的2(24)太陽輪固連一根中心軸朝上，這是基本行星輪系的一般標準制圖法，雖與圖6謝龍昌等設計的例3指南車機械結構看起來會有所不同，但兩者輸出入的傳動比是一樣的，并不影響接下來的計算。此時，由于右輪不動，會將圖6該轉(zhuǎn)向機構中心底部的(32)齒輪咬死，也就是圖7等效控制器中央2(24)太陽齒輪也不會轉(zhuǎn)動，其輸入從左側(cè)4(80)行星支架為主動輪，當它轉(zhuǎn)一圈時會帶動5(24)行星齒輪繞著中央固定的2(24)太陽輪公轉(zhuǎn)，這同時也誘發(fā)了行星齒輪自身的自轉(zhuǎn)運動，又因行星輪與太陽輪兩者齒數(shù)相等，使得行星輪會同向發(fā)生公轉(zhuǎn)與自轉(zhuǎn)各一圈，其中自轉(zhuǎn)運動會將其24齒數(shù)傳遞給外圍的3(72)齒圈，并導致其同向旋轉(zhuǎn)24/72圈，該行星齒輪同時也會公轉(zhuǎn)一圈，這將額外帶動外圍的齒圈同向轉(zhuǎn)一圈，因此求得左輸入的補償因子為βCL=24/72+1=4/3。又從圖6可看出左輪順時旋轉(zhuǎn)一圈時，由于會讓20齒的(20)正齒輪反向轉(zhuǎn)一圈傳動給80齒的4(80) 行星架順時旋轉(zhuǎn)，也就是左輪傳遞給該轉(zhuǎn)向機構的圈數(shù)為NTL=20/80=1/4，這樣從右輪不動僅左輪單側(cè)旋轉(zhuǎn)一圈就可求得控制通道之傳遞函數(shù)為

(23)

有了前述右輪不動僅左輪順時旋轉(zhuǎn)下算得控制通道其傳遞函數(shù)為式(23)之后，發(fā)現(xiàn)其值與左輪不動僅右輪轉(zhuǎn)動所得式(22)完全相同，這正如指南車控制理論所預測的式(11)一樣，現(xiàn)依該控制理論可進行以下兩項推論。

(1) 將它放入圖3指南車控制方框圖中，且必須符合不變性原理，即它要等于干擾通道的傳遞函數(shù)GD(s)=R/L，如不考慮負號的話，可算得同理論所預測的式(10)那樣

(24)

以上依指南車控制理論推導出如何設計該款指南車其輪車架的幾何條件，也就是該指南車左右兩輪之輪軸間距L必須設計成該車輪半徑R的3倍，這與圖6該款指南車機械結構剖面圖中為輪軸間距所做的尺寸注記：L=3r完全一致。

(2) 由于右輪不動當支點為旋轉(zhuǎn)中心，此時若左輪順時旋轉(zhuǎn)一圈的話，會使得指南車輪車架逆時公轉(zhuǎn)，同時指向器順時自1/3圈，又車輪轉(zhuǎn)一圈所走的長度為2πR，且兩輪輪軸間距L=3R，使得左車輪自轉(zhuǎn)3圈所走的長度剛好是輪軸繞滿左輪支點圓心一圈的圓周長(3×2πR=2×πL)，所以當左車輪以軸心順時自轉(zhuǎn)3圈，輪軸也繞右輪支點圓心逆時公轉(zhuǎn)一圈回到原出發(fā)點，這同時指向器也在車架上順時自轉(zhuǎn)一圈，指向器與車架這兩者是同步完成一周圈的，但兩者旋轉(zhuǎn)方向剛好相反，也就是這兩者控制效果疊加起來始終相互抵消，充分體現(xiàn)出不變性原理的真諦，使得平面上指南車其指向器保守著方向上的守恒律，完全符合指南車平面上運動方程的描述[10]。

以上是以“謝龍昌例3指南車”[14]為樣本，進行本文控制理論方面的驗證。觀察前述左輪不動僅右輪轉(zhuǎn)動所得到的式(22)比例因子，以及右輪不動僅左輪旋轉(zhuǎn)所算得的式(23)比例因子，這兩者雖然βCR≠βCL,NTR≠NTL，即個別的控制節(jié)點有著不同的比值，可由式(11)，將式(22)或式(23)補償因子代入式(6)后，可推算出其指向器角速度Ω與左右兩輪旋轉(zhuǎn)角速度差Δω的關系式

(25)

上述結論若是按照機械原理針對圖6該款指南車機械結構進行計算，其分析計算過程繁瑣且復雜又容易出錯，這需要機械專業(yè)功底才能算得式(25)關系式。由于式(24)的幾何特征與式(25)的角速度特征完全與該款指南車原設計文獻[14]要求完全一致。此處示范如何運用控制理論的推理路徑，以不同于機械觀點的邏輯檢驗了圖6該款指南車的機械機構設計是正確無誤的，同時也體現(xiàn)了指南車控制理論做為檢驗工具的簡易性，方便在指南車于早期機械機構設計時間檢視是否發(fā)生錯誤，避免在實際制作過程可能發(fā)生的設計錯誤或標注錯誤。

7.2 以機械原理角度重新計算

在前面我們將圖6謝龍昌例3指南車里的轉(zhuǎn)向機構簡化為圖7所示的基本行星輪系，這是有另一層用意的，因為這些機構都被研究透徹，其傳動特性是有資料可查的，但前提是要以通用標準機構形式來查閱，為避免誤判，此處就是以圖7標準的基本行星輪系查閱了機械設計手冊[13]，得其傳動比計算公式正如前面的式(16)所示，如采機械機構設計角度則要同時以兩個輸入一個輸出來計算傳遞相應的角速度或傳動比，如此就成了2自由度的機構命題，這樣則會比前述以自動控制角度實行的1自由度命題來得復雜且容易犯錯。首先在圖7基本行星輪系里額外把指向器固連在3(72)齒圈上并套在中央軸外，現(xiàn)假設左右兩輪分別輸入角速度ωL與ωR，這兩個角速度輸入經(jīng)左右定軸輪系再到行星輪系機構，之后會令該指向器輸出Ω角速度，這樣就有著Ω=ω3的關系式，接下來，我們就能運用傳動原理分析其數(shù)學關系，以下是其推導過程。

(1) 負號差動機構：從轉(zhuǎn)化機構傳動比公式(16)，及Z2=24,Z3=72，得如式(17)重整后的公式

(26)

(2) 針對左定軸輪系傳動關系：從圖6中已知ZL=20,Z4=80，可算得同于式(18)形式的公式

(27)

(3) 針對右輪傳動：從圖6中已知數(shù)齒為20T齒輪對與32T齒輪對，可算得同于式(18)形式的公式

(28)

將前面式(27)與式(28)二項代入到式(26)關系式，重新整理可以得到如同式(21)的數(shù)學關系式：

(29)

以機械機構角度進行計算該款指南車角速度特征求出的β補償因子如式(29)所示，其結果完全與以控制理論計算所得式(25)結論一致，這支持著式(6)所做的假設，真是殊途同歸。從機械設計方法的計算所得式(29)中，只要與式(21)逐項一一對應，很容易地就能反推得出控制通道中各項控制環(huán)節(jié)的比例因子：βCL=4/3,NTL=1/4,βCR=1/3,NTR=1,β=1/3，以及L=3R，這項由機械原理所推算的結果與本節(jié)前半段7.1以控制理論角度計算所得到的式(23)、式(22)與式(24)是一模一樣。

8 控制理論的推廣

回顧指南車的控制理論，由于各種環(huán)節(jié)都是比例因子，因而可推廣至所有線性構件組成的指南車，從這個推論知道，轉(zhuǎn)向機構做為指南車的核心部件并不限于本文分析所用的差動輪系機構，例如《宋史·輿服志》文獻記載的吳德仁離合器式指南車、顏志仁繩索傳動之差動式指南車[1]、楊衍宗等導螺桿式指南車[15]等，還有宋力斌斜面頂推式指南車[8,9]，該項發(fā)明的指南車特別精簡，完全不使用齒輪，而是使用了斜面、杠桿與曲軸等很原始的簡單機械，本節(jié)將以圖8所示的斜面頂推式指南車進行控制理論的計算，當然是沿前面第4節(jié)提出的“輸入轉(zhuǎn)一圈”的計算法則，并就所得結果加以推導出該指南車其幾何特征該如何設計，才能符合不變性原理。

圖8 宋力斌發(fā)明的斜面頂推式指南車原部件圖

首先來看圖8中左輪不動僅右輪轉(zhuǎn)動的運作情況，假設圖8中22扁平狀滾輪是處于右輪進行順時旋轉(zhuǎn)的初始位置，它正緊貼著左側(cè)的2302斜面，該斜面是在23套筒(把中央水平軸線穿孔的圓柱經(jīng)平面斜切并套入2左半輪軸)右側(cè)的斜切平面，所以當右輪順時轉(zhuǎn)動輸入一圈時，扁平狀滾輪會在斜面上滾動并繞輪軸轉(zhuǎn)一圈，因此求得右輪傳遞給該等效控制器的傳遞因子為NTR=1，接著也讓套筒在水平軸方向先向右后向左地往復移動，并通過3小滾輪搖動著5杠桿和6連桿進而帶動13曲軸旋轉(zhuǎn)一圈，正好驅(qū)動指向器轉(zhuǎn)動一圈，也就是右側(cè)輸入等效控制器其補償因子為βCR=1，這樣從左輪不動右輪單側(cè)旋轉(zhuǎn)輸入一圈就可以求得控制通道之傳遞函數(shù)的補償因子為β=βCR×NTR=1×1=1，再將此代入到式(6)得

Ω=βΔω=Δω

(30)

再依指南車控制理論可進行推論，即考慮該補償因子必須符合不變性原理，則它要等于干擾通道的傳遞函數(shù)GD(s)=R/L，如不考慮負號的話，可算得

(31)

以上依指南車控制理論推導出如何設計該款指南車其輪車架的幾何條件，也就是該指南車左右兩輪之輪軸間距L必須設計成等于車輪半徑R的尺寸；同理，另從右輪不動僅左輪轉(zhuǎn)動也能算出同樣結論，這個式(31)由指南車控制理論計算的結果，與該發(fā)明專利文件[8]里所陳述的輪軸間距與車輪半徑的設計規(guī)范是完全一致的。

另有一種構造更簡單由李琛發(fā)明的指南車[16]，它并不是依靠指向器辨別方向，而是經(jīng)判讀兩輪相對運動位置從而了解到車頭的指向方位。如將指南車分為無轉(zhuǎn)向機構與含轉(zhuǎn)向機構等兩類指南車的話，那么李琛的指南車就屬于無轉(zhuǎn)向機構指南車或簡稱無機構指南車，如果按嚴格指南車五構件要求的話，該指南車缺了指向器與轉(zhuǎn)向機構等重要構件。由于這類指南車沒有提供輸出指向器轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)向機構，等于是沒有了控制器，那么，本文創(chuàng)建的控制理論也就無從計算了。

9 理想與現(xiàn)實之間的誤差

雖然前饋調(diào)節(jié)控制在理論上可以實現(xiàn)無誤差調(diào)節(jié)，能充分體現(xiàn)不變性原理，可是指南車的實際行駛情況會碰到不可測的干擾，使得車輪自旋與行進軌道并不是完全耦合作用，旋即破壞了式(4)純滾動行程差恒等關系式，例如，當輪子發(fā)生打滑空轉(zhuǎn)現(xiàn)象，導致車輪自旋過快而多增加Δε角速度，使得ΔS′>ΔS，這項多出來的信號會經(jīng)由控制通道傳送出去，進而影響著指向器的轉(zhuǎn)向；又如，當輪子發(fā)生騰空跳動現(xiàn)象，導致車輪自旋過慢，使得ΔS′<ΔS，也就相當于車架多彎了Δσ角速度，這項干擾信號會經(jīng)由干擾通道傳送出去，進而影響著指向器的轉(zhuǎn)向，今將前述兩種指南車在實際路面行駛時通常會發(fā)生的因素納入指南車控制理論，簡單推理，就能夠列出車輪自旋與行進軌道不完全耦合作用下的控制系統(tǒng)輸出入之數(shù)學關系式如下：

(32)

上式中間的前一個互減項因前饋控制系統(tǒng)完全補償作用得以歸零，因此會殘留剩下后一個互減項，這就是車輪發(fā)生跳空或打滑現(xiàn)象對指向器的轉(zhuǎn)向輸出造成影響，又由于這兩種現(xiàn)象為獨立互斥事件，這些不可測干擾相互之間不生抵消，都會輸入到控制系統(tǒng)，進而讓指向器衍生累積偏差，而且由控制理論證實了指南車缺乏可以偵測鑒別車輪跳空或打滑擾動的機制，導致這些干擾不可能被量測出來。雖說人是可以判別這種累積偏差，然而機器卻是無從知曉，使得有偏差產(chǎn)生但無法被消除。

雖然有偏差產(chǎn)生就無法被消除，然而指南車控制有一種自動重設定特性，例如以指南車啟始指向器所指角度為極坐標零度角，且此處對指南車平移運動不做討論，所以只要一路追蹤其旋轉(zhuǎn)運動就行了。思想實驗追蹤情況如下：指南車剛開始行駛平順，然后于T1時碰到不可測干擾，此時指向器產(chǎn)生偏差E1角，然后繼續(xù)純滾動行駛，這時指向器依然是呈E1角樣貌行平移運動，又于T2時碰到不可測干擾，使得指向器產(chǎn)生偏差E2角，因而累積偏差變?yōu)?E1+E2)角，后來又恢復純滾動行駛。仔細檢視從T1與T2這一段期間的純滾動行駛過程，指南車控制系統(tǒng)就好像自動重設定一樣，它會遺忘先前的偏差，而是拿先發(fā)生的偏差E1角當成最優(yōu)控制條件的期望值，也就是重新設定了這個偏差角為零度角，因此控制系統(tǒng)在這一段純滾動期間里仍然實現(xiàn)完全補償控制，也就是任意行駛并沒有對指向器產(chǎn)生偏差，換句話說，指向器自動以新重設后的零度角保持平移運動，因此該控制除了會自動重設定并沒有記憶機制，由于這個作用稱指南車控制系統(tǒng)具無記憶性自動重設定特質(zhì)，因此，指南車是不存在有所謂的給定環(huán)節(jié)[7]，所以也就沒有設定值以及設定值偏差的問題。

雖然控制系統(tǒng)不具記憶性，但以啟始方位角來看，每次所生偏差都會殘留而累計下來，又由于指向器圓周旋轉(zhuǎn)之周而復始特性，庇護了長時間行駛之下所累積的超大偏差不發(fā)生破表現(xiàn)象，絕對安全沒有危險可言，且控制系統(tǒng)仍然依照著轉(zhuǎn)向機構專有特性不斷持續(xù)控制著，又由于指南車控制系統(tǒng)有著無記憶性自動重設定特質(zhì)，前饋信息永遠是針對當下擾動量進行控制，而不受之前任何擾動包括累積誤差的影響，完全不針對被控對象的偏差量進行控制。

這里總結一下，由于指南車除了有制造上的系統(tǒng)誤差[17,18]之外，它還無法克服車輛行進間地面顛簸或光滑所產(chǎn)生的誤差，總之(1)輪打滑則輪多轉(zhuǎn)，從而導致指向精度更差；(2)車跳動則車多轉(zhuǎn)，從而導致轉(zhuǎn)彎精度更差；(3)現(xiàn)實工藝非線性，從而導致構件精度變差等無法消除的三差環(huán)節(jié)，導致不可能將近似理想化指南車化為現(xiàn)實，換言之，在現(xiàn)實環(huán)境下為指南車進行定量實驗是沒有實質(zhì)意義的，這也就是為什么一般指南車設計文獻只討論制造精度而不討論其定向能力精度的重要因素。

10 常見誤區(qū)厘清

在進行討論之前，先來厘清所謂的自動控制。這里舉個棒球賽例子，球要投得精準，是投手控球能力的控制問題，這顯然是人工控制；至于自動控制，則是相對人工控制概念而言的，指的是在無人直接參與情況下，利用控制裝置使被控對象或過程，能夠自動地按原先設計或預定規(guī)律運行。照這個講法，指南車的保守指向作用，并不是人工控制，它是靠人們設計在車里頭的機關或機構來控制方向的，因此，指南車的確是擁有自動控制系統(tǒng)的機械裝置，至于有很多學者認為指南車有定向作用，甚至認定由于差動結構具有負回饋作用，它是反饋控制，真的是這樣嗎？以下深入探討。

10.1 指南車其指向器有定向作用，真的是這樣嗎

指南車能夠執(zhí)行指向功能，并不能做到定向。要賦予定向功能，以控制的觀點，不外乎就是要知道自身與外界方位情況，然后設立預定方向，接著做好控制以穩(wěn)定方向。就此定向要求來探討，指南車的確是有三大盲點：其一如要達到設定方向目的，得為它先行設定方向以利后續(xù)執(zhí)行調(diào)節(jié)方向控制，但指南車沒有設計輸入系統(tǒng)設定值的操作構件或界面機構，它是以啟始方向為方向，因此要停車后，如指向器是固連著機構輸出件，則要抬高車架轉(zhuǎn)動輪子才能重新給定指向器方向，至于車子行進間是辦不到的；其二如要達到穩(wěn)定方向要求，需要提升追蹤精度和抗干擾性，然而在缺乏反饋通路情況下，無法對系統(tǒng)內(nèi)外干擾因素的總和做出實時估算和相應補償，指南車設計沒有負反饋控制回路，這些要求全做不到；其三如要達到固定方向作用，得知道方向預計設定在哪個方位，換句話說，得量測輸出端信息與外界坐標之間的聯(lián)系才行，可是在指南車里并沒有作這樣設計考慮。

就以上原因分析，明白看出指南車本身就是做不到定向要求，因為不管方向要怎么定，這所有的基準(固定)、判斷(設定)與調(diào)整(穩(wěn)定)都是在人的腦海里進行的。那指南車指向功能到底是什么呢？方向何來呢？由來又是什么？這得先來談談指南車所認定的方向。由于指南車始終是以車剛開始行駛的啟始方向為指向依歸，顯然方向成了時間為零的邊界條件，而且一直延續(xù)到任何時刻都絲毫不受車輛任何轉(zhuǎn)彎的干擾，指向器都得要在靜止坐標中始終保持平移運動而無任何旋轉(zhuǎn)運動，如此才能守住啟始方向，所示空間方位看起來像保持不變，這就是指南車指向功能的真諦。由此看來，指向作用并不是指南車所能提供的功能，而保守方向才是。當車剛開始行駛時，如果指向器所示啟始方向就是我們要指定控制的方向，那么就可以說，指南車擁有保守指向作用。

保守指向作用是我們探討指南車的主題，其最重要作用關鍵所在，就是指南車在平面上任意行駛，本身自有能力把指向器旋轉(zhuǎn)與車輛拐彎這兩個運動綜合起來的偏差始終調(diào)節(jié)為零，這正是經(jīng)驗公式(2)的物理圖像，而一般只知道該經(jīng)驗公式，進而猜想并推斷指南車擁有反饋控制機制，然而事實真相又是如何呢？這個空間運動答案將隨著選取系統(tǒng)范圍不同而有所差異，以下就個別觀點與整體觀點來探討相關命題。至于反饋控制機制方面的疑云，后續(xù)還會深入探索撥云見日。

首先以指向器做為受控對象來談，指南車的指向器與車架并不發(fā)生耦合作用，事實上指向器并不受車架節(jié)制其運動。證明很簡單，只要將指南車騰空架高讓輪不著地，然后單單旋轉(zhuǎn)車輪時，就只有指向器會隨之轉(zhuǎn)動，而車架則紋風不動。這個明顯事實指出指向器旋轉(zhuǎn)與車輛拐彎這兩個運動，只是單純以相對反方向運動而已，它們是獨立發(fā)生的事件，彼此一點關系都沒有，只是它們之間的等量反向相對運動，就那么巧，正是由于同時巧合發(fā)生，在靜止坐標空間上同時合將起來的效果，被認為是保持不變守住方向。因此，能控制指向器保守指向的，也只是個巧合。

如果將指向器與車架統(tǒng)合起來看，意義就不同了，這整體觀點會讓指向器本身與車架融合成一系統(tǒng)而分不開的，本研究也是居于這個整體觀點，雖然實際上，指南車并沒有加法構件或機構，能把車架拐彎角速度與指向器旋轉(zhuǎn)角速度這兩個加起來之和為零，然而相對于慣性坐標的觀察者而言，指南車相當于一個運動坐標系，而指向器則是在這運動坐標系上進行自旋運動，由于指南車如剛體平面運動般可看成是剛體的平動與轉(zhuǎn)動，因此，慣性坐標觀察者看到的指向變化是指南車剛體的轉(zhuǎn)動與指向器在此剛體上自旋的疊加狀態(tài)，整體觀點還是能將這兩股相對運動視同加法作用，就是一個偏差加上一個補償，整體系統(tǒng)邏輯上是可以這樣看待，宛如雙人跳舞般，你來我往、舞步同調(diào)、節(jié)奏一致、淋漓曼妙。保守指向就這樣發(fā)生作用，無時無刻無所不在。

10.2 差動結構有負回饋作用，真的是這樣嗎

圖9 楊衍宗等第二款指南車轉(zhuǎn)向機構圖

“反饋或負回饋”一詞在自動控制領域是個極其重要的概念，乃指將控制系統(tǒng)把信息輸送出去，又把其作用結果返送回到輸入端并以某種方式改變輸入，它們之間存在因果關系的回路，進而影響系統(tǒng)功能的過程。依本文為指南車創(chuàng)建的圖3控制方框圖來看，顯然反饋回路是不存在的；至于機械方面的觀點，有文獻指出當指南車轉(zhuǎn)彎時，兩輪差動將使得負差動的機械機構輸出的轉(zhuǎn)向與車子轉(zhuǎn)彎角的方向等量反向，這樣就可以實現(xiàn)負反饋[1]。這里將以一個負號差動機構來檢驗這個說法是否成立，此處選用楊衍宗等設計的第二款指南車[15]，它的轉(zhuǎn)向機構與圖6謝龍昌等設計例3指南車基本是一樣，其實際機構設計如圖9所示，都是如圖7所示屬負號差動機構的基本行星輪系，有著與前述說法所指的負差動特性，另從該文獻得知Z1=Z2=Z5=Z6=20，以及Z3=60等個別編號齒輪之齒數(shù)信息，那么，從圖9中可觀察到齒輪2為行星輪、齒輪1為太陽輪、齒輪3為齒圈，這樣的輸出入件正是第6節(jié)的②以齒圈為左側(cè)輸入、太陽輪為右側(cè)輸入而行星架為輸出的組合情況，其中，行星齒輪2是套在行星架4的系桿上?，F(xiàn)假設左右兩輪分別輸入角速度ωL與ωR，且這兩個角速度直接傳動到行星輪系機構，接下來就能運用傳動原理分析其數(shù)學關系，以下是其推導過程。

(1) 負號差動機構：從其轉(zhuǎn)化機構傳動比公式(16)與Z1=20,Z3=60，得如式(17)重整后的公式

(33)

(2) 左輪傳動關系：當左視圖9中左輪6順轉(zhuǎn)時，俯瞰齒輪3會反向逆轉(zhuǎn)，兩者反向則傳動比取負值，又齒數(shù)Z6=20,Z3=60，且ωL=ω6，由此可算得同于式(18)形式的公式

(34)

(3) 右輪傳動關系：從圖9中左視右輪5順轉(zhuǎn)時，俯瞰齒輪1會跟著順轉(zhuǎn)，兩者都是正向，因此

ω5=ω1=ωR

(35)

將前面式(34)與式(35)二項代入到式(33)式，重新整理可得到此二進一出差動機構角速度關系式：

(36)

(4) 針對輸出系桿：因轉(zhuǎn)向機構輸出件上齒輪嚙合著同齒數(shù)連住指向器的平齒輪，兩者等齒反向，得

Ω=-ω4

(37)

將前面式(37)代入到式(36)，并經(jīng)重新整理可以得到如同式(21)的數(shù)學關系式：

(38)

這個從機械原理計算所得的式(38)，其乃該款形同式(21)的指南車角速度特征公式，只要與式(21)逐項一對一進行各別比對，很容易地就能反推得出控制通道中各項控制環(huán)節(jié)的比例因子，結果發(fā)現(xiàn)有這些：βCL=3/4,NTL=1/3,βCR=1/4,NTR=1,β=1/4，以及L=4R，這些結果完全與本文控制理論所得推理是一致的，真是條條道路通羅馬。整體分析之后，接下來將探討指向器運動細節(jié)。

這里沿用第4節(jié)控制理論計算法則里采單輪不動僅轉(zhuǎn)動另一輪的作法，例如當右輪不動左輪順時旋轉(zhuǎn)輸入到圖9所示的轉(zhuǎn)向機構則車身會逆時旋轉(zhuǎn)運動，此時左輪6順轉(zhuǎn)為正向且ωR=0，這些代入到式(36)得到ω4為負值，即該轉(zhuǎn)向機構的輸出件會受式(36)調(diào)控而產(chǎn)生逆轉(zhuǎn)現(xiàn)象，其輸出會與車身轉(zhuǎn)彎方向相同，讓逆轉(zhuǎn)角度加大，這并不同于前述文獻[1]負反饋的說法，該款設計又為了要讓指向器能夠維持在原方位，只好在轉(zhuǎn)向機構的輸出件先不裝指向器改安裝一個平齒輪，再嚙合相同齒數(shù)的平齒輪并固連一個轉(zhuǎn)軸使其能安裝指向器，這樣就同式(37)那樣能使指向器與原輸出件發(fā)生等量反向的角速度，從而力保式(38)的轉(zhuǎn)向功能，顯然，負差動輸出負反饋[1]的說法完全站不住腳。

或許有人會認為前述例子只是個特例，并不能以偏蓋全證明什么！小心求證是對的，那么，這里還可以再舉另一種常見的設計，如由盧志明設計的第b款指南車[19]，并拿其角速度特征的數(shù)學模式來論事，由于版面受限，這里不詳列其設計圖，欲知詳情者敬請參閱該文獻。由于該b款的轉(zhuǎn)向機構是采汽車常用的差速器，它也是負差動機構，其輸出入角速度數(shù)學模式原為Ω=(ωL+ωR)/2，如把差速器當成指南車的轉(zhuǎn)向機構時，最簡單做法就是在差速器右側(cè)輸入之傳遞裝置中插入安裝一個反相器以便進行方向校正，使得輸出入角速度關系一下逆轉(zhuǎn)為Ω=(ωL-ωR)/2，這就與前面第4節(jié)提過蘭開斯特指南車有著相同的數(shù)學模式[10]，因而使得指向器有著正常作用。這個例子是在轉(zhuǎn)向機構輸入件之前進行了方向校正，不同于前一個楊衍宗第二款指南車是在轉(zhuǎn)向機構輸出件之后進行方向校正。綜觀以上這兩個例子，充分顯示出轉(zhuǎn)向機構并非是促成指向器有指向作用的絕對要素，如還要硬說轉(zhuǎn)向機構的負反饋作用起到了指向功能的話，那就不靠譜了，況且轉(zhuǎn)向機構到底有沒有負反饋作用，這還是個大疑問呢，也需要進一步深入探討才能確認，以下就來討論這件事。

或許有人會認為前面文獻推論負差動機構輸出具負反饋作用[1]的說法過于籠統(tǒng)，那么我們接著就來探討較明確的說法，譬如，也有指南車機械專家認為所謂的“負回饋機構是指南車的主體，指南車因為兩輪的速度差而造成車身旋轉(zhuǎn)，負回饋系統(tǒng)則使輸出件能夠反向消除車身的旋轉(zhuǎn)量，使其回到固定指向的目的”[20]，按照機械觀點來看，差動輪系是具有負回饋作用，這樣描述的確明確多了。如果差動輪系真的存在有負回饋作用，那么這個作用只能是差動輪系的專有特性，又差動輪系內(nèi)部各個構件的傳動比正是該裝置的專有特性，而該裝置的負回饋作用又是涉及到角速度的議題，那么負回饋作用的數(shù)學模式必然會反映在此裝置傳動比公式的數(shù)學模式里，現(xiàn)在就拿差動輪系實際設計案例進行深入探討有無此事，當然也是基于前面討論所共通的負號差動機構。

圖10 盧志明設計第c款指南車結構示意圖

接著就以新案例進行探討，這里就拿圖10盧志明設計的第c款指南車[19]為例，當然也是基于共通的負號差動機構，其輸出入件安排正好是第6節(jié)的③以齒圈為左側(cè)輸入、行星架為右側(cè)輸入而太陽輪為輸出的組合情況。現(xiàn)為了便于討論，從圖10中左下角左輪開始依嚙合次序給定齒輪編號為1至6號，各齒輪齒數(shù)詳情如圖10內(nèi)容所示，例如齒輪1(左輪)Z1=14T，齒輪2(內(nèi)齒圈內(nèi)外均齒)Z2=42T，齒輪4(中心輪)Z4=28T，齒輪5(行星架)Z5=40T，齒輪6(右輪)Z6=8T，每個齒輪組件皆采用ωi代表該i編號齒輪之角速度，其中由編號4之中心太陽輪固連轉(zhuǎn)軸直接輸出指向器，驅(qū)之產(chǎn)生指向器角速度Ω，因此有著Ω=ω4的關系式。剛剛跳過了最特別的齒輪3(行星輪齒)Z3=7T，其乃差動機構中的行星輪，它是空套在齒輪5行星架上系桿的惰輪，所以該輪既可以自轉(zhuǎn)也可以公轉(zhuǎn)，但不做計算考慮；至于左車輪角速度，顯然有著ωL=ω1關系式，同理，右車輪角速度也有著ωR=ω6關系式。接下來，我們就能運用傳動原理分析其數(shù)學關系，其相關推導過程如下：

(1) 針對負號機構之差動輪系：從行星齒輪轉(zhuǎn)化機構傳動比式(16)，以及已知Z2=42,Z4=28，Ω=ω4，算得如同式(17)并經(jīng)重整后的公式

(39)

(2) 針對左輪傳動定軸輪系：從圖中已知齒數(shù)Z1=14,Z2=42，且左視左輪1順轉(zhuǎn)時俯瞰齒輪2為逆轉(zhuǎn)，兩者反向則傳動比取負值，又ωL=ω1，可算得同于式(18)形式的公式

(40)

(3) 針對右輪傳動定軸輪系：從圖中已知齒數(shù)Z5=40,Z6=8，且左視右輪5順轉(zhuǎn)時俯瞰齒輪6為逆轉(zhuǎn)，兩者反向則傳動比取負值，又ωR=ω6，可算得同于式(18)形式的公式

(41)

將前面式(40)與式(41)二項代入到式(39)關系式，重新整理可以得到如下數(shù)學關系：

(42)

以機械機構角度進行該款指南車角速度特征的計算求出β補償因子如式(42)所示，其結果完全與以自動控制角度計算所得式(12)結論一致，這驗證了式(6)假設的正確性，這絲毫不意外。只要式(42)與從機械原理一般推導所得式(21)進行逐項一一對映，很容易地就能反推得出控制通道中各項控制環(huán)節(jié)的比例因子：βCL=3/2,NTL=1/3,βCR=5/2,NTR=1/5,β=1/2，以及L=2R。正是角速度特征公式(21)讓指向器具有補償作用，其源自于前饋控制，而不是差動輪系具有負回饋作用。

11 本研究為何不考慮指南車的動力學

指南車是只有機械機構而沒有動力的車輛，需要借助外力牽引才能運動，例如古時候是用牛馬等獸力以尋常步行速度加以牽引，并藉由車輪與地面的摩擦力使車輛與指向器相應運動。當指南車受力運動時，就成了一個動力學的物理系統(tǒng)，理應研究此動力學系統(tǒng)下的運動規(guī)律，那為何本研究不考慮指南車的動力學，而僅考慮其運動學呢？理由有下列幾點。

(1) 延續(xù)機械原理的分析基礎。隨便查閱任何一本機械手冊里有關差動機構的傳動比，都會與文獻[13]里的記載完全一致，任何一本機械原理專書所定義的傳動比，其分析基礎無一例外都是以運動學為切入點，而本研究也是居于這個基礎。

(2) 如考慮指南車的動力學，則難以找到統(tǒng)一的內(nèi)在運行規(guī)律。有文獻[21]指出早在中國古代的指南車中，就已經(jīng)出現(xiàn)了面齒輪副的雛形，此文獻指的正是第4節(jié)里的蘭開斯特型指南車，而面齒輪副是此款指南車里轉(zhuǎn)向機構的一部分構件。該文獻運用動力學分析了面齒輪副設計狀態(tài)時的動態(tài)特性，研究了嚙合剛度、嚙合間隙、靜態(tài)傳動誤差、扭矩波動等因素對面齒輪副動態(tài)特性的影響，以及面齒輪副蘊含的非線性動力學響應。舉這個面齒輪副動力學研究例子，就知道要為蘭開斯特型指南車建立其動力系統(tǒng)的數(shù)學模型是多么的龐雜，更何況尚有千百種運用不同機構所設計的指南車，若就動力模型而言，由于不同機構的差異性，只能針對個別款式設計的指南車進行個案研究，如此將難以找到指南車共通的內(nèi)在運行規(guī)律。

(3) 掌握研究對象的重點特征。對一個物理系統(tǒng)進行基礎研究時，需去枝蔓留主干地掌握相關物理量，有時還需加上線性化假設，才得以化繁為簡點出基本規(guī)律，進而以簡馭繁描述相同或近似的物理現(xiàn)象。指南車的方向保守作用是建立在純滾動的基礎上，也因此指南車必須慢速運動，否則一切免談。由于指南車處在慢速運動，里頭機械構件的材料是可以保持近似剛體，同時也使得構件傳動近似線性化，有了這些條件，使得考慮齒輪及機構傳動時，單以運動學觀點就足以描述其運動規(guī)律。在研究重點上，例如在汽車里的差速器，它是一進二出系統(tǒng)，是作為引擎動力輸出的扭力分配裝置，則扭力是其研究重點，顯然必須考慮動力學，否則失去研究意義；然而如果將差速器拿來當指南車的轉(zhuǎn)向機構，它變成是二進一出系統(tǒng)，而且指南車主要重點是要達到公式(2)車輛轉(zhuǎn)彎角速度與指向器補償角速度的約束條件。現(xiàn)考慮指南車是保持慢速的運動狀態(tài)，則可以想成外界提供的動力，剛好能讓指南車里頭所有機械構件都處于線性化條件下運作，進而完成式(2)的角速度關系式，也就是單單運用基本的機械原理進行指南車內(nèi)部運作的基礎分析是可接受的，換言之，就像第2、3節(jié)中針對指南車保守指向作用進行的運動分析與建模那樣，無須考慮力的作用，單以運動學觀點就足以找到滿足經(jīng)驗公式(2)的運動規(guī)律，而本研究也證實了這一觀點。

12 指南車為何而發(fā)明，又有何用

本文所論及的理論公式，以及結構圖都僅是古代指南車的實現(xiàn)，這些思維遠遠超出了古人的能力范圍，那它們是怎么辦到的呢？古人憑借著勤奮的雙手與不知亦能行的樸實智慧，創(chuàng)造出不可思議的指南車發(fā)明物，其背景是黃帝與蚩尤進行生死存亡之戰(zhàn)為破大霧迷陣的一項發(fā)明，是戰(zhàn)爭“需求”創(chuàng)造了“指南車”發(fā)明。人類的發(fā)明史其實有不少殘酷性，所幸，經(jīng)軍轉(zhuǎn)民用之后，這些發(fā)明都有利于社會民生，但現(xiàn)在有了衛(wèi)星導航，那么指南車還有用嗎？

其實需求是有了，例如文獻[22]用上指南車并進行機電整合創(chuàng)造出新的服務型機器人或三輪車，可用于沒有衛(wèi)星導航又沒能用上循線機器人的方向指引應用場景。其實，指南車最大用途是在教育領域，例如文獻[10]用來學習曲面與向量平行移動的概念，或如本研究由于牽涉到控制理論，此一研究成果可用來學習控制學上的一些基本概念，例如第4節(jié)所講的“輸入轉(zhuǎn)一圈”的計算法則，其實這應是在特定時間例如每一分鐘內(nèi)轉(zhuǎn)一圈，本質(zhì)上就是one r.p.m.之意，如站在控制學觀點來看，這就相當于“輸入一個step信號”，這在初學者來說就是個不小的挑戰(zhàn)。如果用指南車進行這方面的演練，經(jīng)由“做中學”就能大大減低其學習障礙。又比如，在機械理想化線性組件假設條件下，經(jīng)過齒輪傳動是立即響應的，因此指南車所有控制環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)移函數(shù)并沒有延遲時間，而且是也只能是比例因子，這其實是控制理論中最簡單計算的實務應用例子，真是易教好懂。此外，由于本研究牽涉到跨領域的難點，為了方便提供偏向機械觀的論述，筆者在第4節(jié)里拿掉了時間因素，給定“輸入轉(zhuǎn)一圈”的計算法則，從計算輸入與輸出角速度或轉(zhuǎn)速的過程，轉(zhuǎn)換成計算輸入一圈與輸出幾圈的控制響應。

13 結論

這里總結本文三款行星輪系建構的指南車設計案例，皆用圖4、圖7基本行星輪系做為共通的負差動機構，其傳動比公式同為式(16)，其主要差異在于輸出入件的設計選擇，分別說明如下：

(1) 謝龍昌設計例3指南車時，以左側(cè)輸入為行星架、右側(cè)輸入為太陽輪而輸出為齒圈。

(2) 楊衍宗設計第二款指南車時，以左側(cè)輸入為齒圈、右側(cè)輸入為太陽輪而輸出為行星架。

(3) 盧志明設計c款指南車時，是以左側(cè)輸入為齒圈、右側(cè)輸入為行星架而輸出為太陽輪。

由于基本行星輪系中做為輸出入件就是齒圈、行星支架與太陽輪等三種構件，除開因左右鏡射因素重復設計之外，就剩上述三種不同組合情況，而且本文實際設計案例①輸出入組合算得式(29)、②輸出入組合求得式(38)與③輸出入組合導出式(42)，皆與第4節(jié)控制理論之式(10)、式(12)和第6節(jié)機械原理之式(21)吻合，充分檢驗了機械原理與控制觀點所做的共同推論，據(jù)此，已經(jīng)系統(tǒng)性盤查所有關于該負號差動機構設計方案的機械傳動特征與控制特性，全面交叉核實了本文控制理論的正確性。

筆者遍查機械設計手冊[13]里所有差動機構的傳動比，無一例外都是比例系數(shù)，即線性特性，將同本文第6節(jié)如此這般，皆能按機械原理探討指南車的特征公式與控制特性那樣，推得行補償作用的指南車角速度特征式(21)，以及行尺寸規(guī)范的指南車幾何特征式(10)，因此，本文所創(chuàng)建的控制理論其數(shù)學模型都通用。有著比例特性的傳動比數(shù)學模式，這項機械特性注定了將差動機構當二輸入一輸出應用時，若以機械設計方法計算出其輸出角速度為兩輸入角速度的函數(shù)關系式，再加上符合指南車指向要求而配套的傳遞裝置，那么可以確定，該項一輸出二輸入函數(shù)關系式，必然是形如式(21)那樣由本文所創(chuàng)建的指南車控制理論中控制通道相關左右側(cè)校正因子與補償因子所組成，因此，任何差動機構乃充當了如圖3指南車開環(huán)前饋控制系統(tǒng)中控制通道的比例控制器。

本文為研究指南車控制理論建立的系統(tǒng)方框圖表明，其乃屬按擾動補償原理工作的開環(huán)前饋控制自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)，又由于指南車角速度特征公式(21)是線性組合的函數(shù)，而且指南車幾何特征公式(10)只涉及比值，這些線性特征顯然可以推廣至所有線性構件建成的指南車設計方案，因其轉(zhuǎn)向機構傳動特性之數(shù)學模式的角速度比例值會是個常數(shù)，而從車輪與轉(zhuǎn)向機構之間配套的傳遞裝置的角速度比例值也會是個常數(shù)，進而可藉由機械觀點推算出如同式(21)與式(10)的數(shù)學模式，當然數(shù)學模式本身會說話，說明了角速度特征公式正是能讓指向器具有補償作用的機制描述，而幾何特征公式則保證了該作用能起到完全補償，且這些公式里的比例因子皆屬于指南車控制理論中控制通道的各種環(huán)節(jié)，顯然控制通道也是同屬于指南車的專有特性，只是與機械觀點有著不同觀察側(cè)面罷了，這兩者雖有著一體兩面的面向之別，本身特性卻是不變的。又為了進一步檢驗此項推廣立論的正確性，本文已于第8節(jié)中針對一輛完全不使用齒輪設計的宋力斌斜面頂推式指南車進行推算，并依指南車控制理論推算出該款指南車的角速度特征式(30)與幾何特征式(31)。由于完全不使用齒輪，若改用機械原理計算會不容易看出全貌。

本文研究指南車內(nèi)在運作機理的規(guī)律，至于其外在的運動規(guī)律，是在文獻[10]中進行探討，并于該文獻關于指南車運動現(xiàn)象的研究中，已用數(shù)學嚴格證明了角速度特征公式直接掌控著指向器與兩側(cè)輪之間的運動規(guī)律，無論指南車行駛在曲面或平面都成立，反觀在設計上要求補償作用的經(jīng)驗式(2)，該文獻也證明了該公式只在平面上行得通，它是曲面廣義運動方程[10]跟隨作用面退化成平面之后自然衍生而導出的結果，顯然經(jīng)驗式(2)與指南車內(nèi)部運作機理完全無關，因為如果此式是指南車的內(nèi)部機制，應不受外在行駛于曲面的差別影響，然而該式一旦推廣行駛在曲面上就行不通了，這充分揭露了式(2)并不是指南車內(nèi)部運作機理所行的補償作用，也證實了正如10.1節(jié)里所分析的那樣，它只是車架轉(zhuǎn)彎角速度與指向器旋轉(zhuǎn)角速度兩股相對運動相疊加為零的平面空間巧合現(xiàn)象(曲面就不成立)，顯然在理論上并不能用該經(jīng)驗公式推論說指南車擁有反饋機制。

愛因斯坦曾說過：不論有多少實驗都無法證明我的理論，但只要有一項反例實驗就可以推翻它！。此前方方面面推導皆指明指南車并無反饋回路，但如果有人還不接受此立論的話，那么，這里先假設指南車擁有反饋控制作用，現(xiàn)在來檢驗這項立論是否成立。這里舉個反例實驗就行了，首先以左視指南車車頭之左側(cè)車輪的順時旋轉(zhuǎn)方向為正向基準，只需要在實際運作上，令輪子一側(cè)停住不轉(zhuǎn)動并且讓另一側(cè)車輪原地持續(xù)正轉(zhuǎn)打滑，由定性分析可發(fā)現(xiàn)，有一側(cè)輪會與指向器之間的傳動，猶如齒輪對般是反向旋轉(zhuǎn)的；在車子不動情況下，如兩側(cè)輪彼此交換操作情境，則另一側(cè)輪與指向器的傳動，就如同在齒輪對中間插入惰輪般成了同向旋轉(zhuǎn)。前者操作輪乃本文控制理論所描述的右輪，而后者操作輪則會是本文描述的左輪，其中，由于右輪與指向器雙方呈反向旋轉(zhuǎn)，所以右輪轉(zhuǎn)速在角速度特征式(21)中必須以“-”號呈現(xiàn)，這就是該公式中會有負號的由來，與反饋回路完全無關。上述兩種操作情境如采定量分析，那么，指向器會如第4節(jié)控制理論里面進行單輪獨立轉(zhuǎn)動的計算法則所描述的那樣。這里總結一下前述思想實驗，一方面，只能看到指向器會隨著車輪持續(xù)打滑而轉(zhuǎn)動，且車架絲毫不受影響，假如指南車擁有反饋控制回路的話，就應該會對該項系統(tǒng)外在干擾啟動反饋機制，顯然實驗沒能觀察到這項相應的反饋動作；另一方面，如以整體運作來看，指南車乃屬二進一出系統(tǒng)，由于第4節(jié)已證實其內(nèi)部運作具有疊加原理特性，這說明二個輸入干擾源在控制過程中并不會互相傳遞信息，而且系統(tǒng)響應也沒有反饋回路。這項實際操作的反例實驗，已充分證實指南車根本沒有反饋控制回路。至此，可以毫無懸念地說，指南車并不存在所謂的負回饋機構[19,20]、反饋回路閉循環(huán)控制[3,23]、homoeostatic machine[5]等諸多令人混淆的觀點。