顧 凱 金 岳 劉新宇

北京航天微系統(tǒng)研究所，北京100094

0 引言

由于微電子技術(shù)的快速發(fā)展和反恐戰(zhàn)爭(zhēng)的深入，彈藥小型化已經(jīng)成為許多國(guó)家武器裝備發(fā)展的新趨勢(shì)[1]。小型導(dǎo)彈的典型特點(diǎn)是口徑及重量小、載荷輕、毀傷半徑小，因而約束了最大可用過(guò)載，同時(shí)要求更高的制導(dǎo)精度。

精確制導(dǎo)研究的重點(diǎn)是確保精確制導(dǎo)武器在復(fù)雜的戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境中精確命中目標(biāo)，乃至要害部位的尋的制導(dǎo)技術(shù)[2]。實(shí)際戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境中，目標(biāo)多做加速運(yùn)動(dòng)，針對(duì)目標(biāo)做加速運(yùn)動(dòng)的制導(dǎo)律有很多研究。比例導(dǎo)引法因形式簡(jiǎn)單，工程上易于實(shí)現(xiàn)，被廣泛應(yīng)用。但在打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)，彈道末段的需用過(guò)載會(huì)急劇增大[3]，導(dǎo)致制導(dǎo)精度不高。為降低對(duì)過(guò)載的需求，文獻(xiàn)[4]提出了一種基于目標(biāo)機(jī)動(dòng)補(bǔ)償?shù)脑鰪?qiáng)型比例導(dǎo)引法，在比例導(dǎo)引法的基礎(chǔ)上增加了目標(biāo)加速度補(bǔ)償項(xiàng)，降低了彈道末段的需用過(guò)載，但該方法需要高質(zhì)量的目標(biāo)加速度信息，當(dāng)目標(biāo)加速度估計(jì)誤差較大時(shí)，制導(dǎo)性能急劇下降。文獻(xiàn)[5]提出了一種滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外界干擾不敏感，目標(biāo)機(jī)動(dòng)對(duì)其影響不大，但存在抖振的問(wèn)題，影響制導(dǎo)性能。文獻(xiàn)[6]提出一種H∞制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律無(wú)需目標(biāo)加速度信息，但Hamilton-Jacobi微分不等式的求解比較困難，工程應(yīng)用尚難實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[7]提出了一種非線性最優(yōu)制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律能夠有效減少脫靶量，但是需要精確的剩余飛行時(shí)間。

本文設(shè)計(jì)的模型補(bǔ)償線性自抗擾制導(dǎo)律在打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)無(wú)需目標(biāo)加速度信息，而是將目標(biāo)機(jī)動(dòng)、系統(tǒng)不確定性、外界干擾、通道間耦合等信息都視為系統(tǒng)“總和擾動(dòng)”，通過(guò)觀測(cè)器實(shí)時(shí)估計(jì)并動(dòng)態(tài)補(bǔ)償，并通過(guò)PD控制完成制導(dǎo)律設(shè)計(jì)。比較設(shè)計(jì)結(jié)果和比例導(dǎo)引法發(fā)現(xiàn)，該方法需用過(guò)載小，制導(dǎo)精度高，算法形式簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，具有很高的工程實(shí)用價(jià)值。

1 彈目運(yùn)動(dòng)關(guān)系

二維平面的彈目相對(duì)關(guān)系雖然形式簡(jiǎn)單，但是這種方法忽略了俯仰與偏航之間的耦合，為了提高制導(dǎo)性能，必須考慮耦合現(xiàn)象。因此，需要建立三維空間的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型。

彈目相對(duì)關(guān)系及坐標(biāo)系如圖1所示：XYZ為慣性坐標(biāo)系，XmYmZm為彈的速度坐標(biāo)系，XtYtZt為目標(biāo)的速度坐標(biāo)系，XLYLZL為視線坐標(biāo)系。qyqz為彈目視線的高低角和方位角，θmφm是視線坐標(biāo)系到彈體坐標(biāo)系的歐拉角，θtφt為視線坐標(biāo)系到目標(biāo)坐標(biāo)系的歐拉角。VmVt為彈和目標(biāo)的速度矢量，R為彈目距離，AmAt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的加速度矢量。

圖1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

由圖1可以推導(dǎo)出在打擊動(dòng)目標(biāo)時(shí)的制導(dǎo)模型如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

對(duì)式(2)兩邊同乘R，并進(jìn)行求導(dǎo)，化簡(jiǎn)：

(8)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)：

(9)

(10)

(11)

f1由目標(biāo)的側(cè)向機(jī)動(dòng)信息及偏航對(duì)俯仰方向造成的干擾組成。

同理，在式(3)兩邊同時(shí)乘Rcosqy，并求導(dǎo)：

(12)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)：

(13)

(14)

tanθmcosφm-cosφmcosθmcosqy)]

(15)

f2由目標(biāo)的法向機(jī)動(dòng)信息及俯仰對(duì)偏航方向造成的干擾組成。

LADRC制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)以式(9)和式(13)為系統(tǒng)模型，通過(guò)設(shè)計(jì)控制量U1和U2，使彈目視線角qy和qz按要求跟蹤視線角指令。

系統(tǒng)控制的特性如下：

1)qy和qz是被控量，可由捷聯(lián)導(dǎo)引頭量測(cè)得到；

2)將f1和f2看作系統(tǒng)模型的未知總和擾動(dòng)；

3)U1和U2對(duì)qy和qz完全能控。

2 LADRC設(shè)計(jì)

LADRC能對(duì)系統(tǒng)模型的不確定性與未知擾動(dòng)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)并動(dòng)態(tài)補(bǔ)償[8]。其控制參數(shù)和觀測(cè)器的帶寬相關(guān)聯(lián)，整定簡(jiǎn)便且抗干擾能力強(qiáng)[9-10]。本文針對(duì)被控模型部分信息已知的情況，設(shè)計(jì)了一種模型補(bǔ)償?shù)木€性自抗擾控制器，可以減輕LESO對(duì)擾動(dòng)的估計(jì)負(fù)擔(dān)，提高估計(jì)能力。改進(jìn)后的LADRC基本結(jié)構(gòu)如圖2所示：

圖2 LADRC基本結(jié)構(gòu)

2.1 算法推導(dǎo)

設(shè)被控對(duì)象為[11]：

(16)

式中，y，u分別為輸出和輸入，ω為擾動(dòng)，a1，a0已知，b部分已知(已知部分記為b0)，則式(16)可以寫為

(17)

其中，f=ω+(b-b0)u包含了內(nèi)擾和外擾的總擾動(dòng)。

y=Cx

(18)

對(duì)應(yīng)的線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(LESO)為

(19)

對(duì)上述觀測(cè)器進(jìn)行整理：

yc=z

(20)

式中：uc=[uy]T是組合輸入，yc是輸出，L為需要設(shè)計(jì)的觀測(cè)器增益矩陣。

經(jīng)過(guò)參數(shù)變換，可把特征方程的極點(diǎn)配置在同一位置(-ω0，ω0為觀測(cè)器帶寬)上，即取觀測(cè)器的增益矩陣為

其中

l1=3ω0-a1

使得

λ(s)=|sI-(A-LC)|=(s+ω0)3

(21)

2.2 PD控制律設(shè)計(jì)

PD控制器采用如下形式：

u0=kp(r-z1)-kdz2

(22)

(23)

其中，ωc為控制器帶寬。

2.3 LADRC制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

針對(duì)式(9)，選取控制變量

(24)

b0是自抗擾的系統(tǒng)參數(shù)b的標(biāo)稱值，取為1，b/b0的取值范圍為[0.5,1.5][12]。u0是利用PD控制器設(shè)計(jì)的控制律，由式(22)給出

u0=kp(qy-z1)-kdz2

(25)

z1能夠快速跟蹤qy，z2是z1的微分。f是LESO對(duì)總和擾動(dòng)的估計(jì)值，將U1代入式(9)中，則式(9)變?yōu)?/p>

(26)

即變成了一個(gè)雙重積分器串聯(lián)單位增益的控制問(wèn)題[13]。同理對(duì)于式(13)選取相應(yīng)的控制變量U2可將式(13)變?yōu)殡p重積分形式。雙重積分形式消除了總和擾動(dòng)，即消除了俯仰偏航之間的耦合和目標(biāo)的機(jī)動(dòng)對(duì)qy和qz的影響，實(shí)現(xiàn)了動(dòng)態(tài)解耦。對(duì)U1和U2進(jìn)行數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換得到彈過(guò)載指令A(yù)mzc和Amyc，從而完成設(shè)計(jì)。

LESO需要對(duì)系統(tǒng)總和擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，當(dāng)系統(tǒng)未知信息過(guò)多時(shí)，LESO的估計(jì)能力會(huì)下降。為了減小LESO對(duì)擾動(dòng)估計(jì)的壓力，加入模型補(bǔ)償模塊，將模型中已知的部分信息提取出來(lái)，使LESO僅需要對(duì)模型未知部分進(jìn)行估計(jì)，從而提高LADRC的性能[14-15]。制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的過(guò)程中，將俯仰、偏航2個(gè)回路都加入LADRC模塊，實(shí)現(xiàn)雙回路的動(dòng)態(tài)解耦，整個(gè)系統(tǒng)的方框圖如圖3所示，LADRC控制算法由LESO方程和PD方程組成，對(duì)于制導(dǎo)回路，并不需要精確知道被控對(duì)象的模型和外界的擾動(dòng)，只需要測(cè)量彈目視線角qy和qz，歐拉角θm和φm以及彈目距離R即可，這些參數(shù)很容易獲取。

圖3 基于LADRC制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)

2.4 比例導(dǎo)引法設(shè)計(jì)

比例導(dǎo)引法是指導(dǎo)彈在攻擊目標(biāo)的制導(dǎo)過(guò)程中，導(dǎo)彈的速度矢量的旋轉(zhuǎn)角速度與目標(biāo)視線角旋轉(zhuǎn)角速度成比例的一種導(dǎo)引方法[16]，其導(dǎo)引關(guān)系為

(27)

比例導(dǎo)引系數(shù)k的取值范圍為(2，6)[17]。如果k值太小，彈目視線角速率就會(huì)發(fā)散，限制了k值的下限；如果k值過(guò)大，導(dǎo)致需用過(guò)載過(guò)大，若需用過(guò)載大于可用過(guò)載，比例導(dǎo)引將會(huì)失效，所以可用過(guò)載值限制了k的上限。另外，k選的過(guò)大，外界的干擾對(duì)彈的飛行影響也明顯變大。綜上所述，合理的k值才能使制導(dǎo)性能達(dá)到最優(yōu)。

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證LADRC制導(dǎo)律的正確性和有效性，進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真，并與傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律進(jìn)行對(duì)比。彈和目標(biāo)的初始參數(shù)如表1所示。

目標(biāo)做蛇形機(jī)動(dòng)，加速度分別為Aty=40cos(t),Atz=0，速度30m/s,彈速度300m/s,目標(biāo)初始位置為(3000,4000,5000)，彈的初始位置(0,0,0)。

表1 彈目初始值

自抗擾參數(shù)設(shè)定：ω0=30，ωc=0.1

比例導(dǎo)引法參數(shù)設(shè)定：文獻(xiàn)[17]研究了比例系數(shù)k對(duì)彈道性能的影響，根據(jù)文獻(xiàn)[17],本次仿真k取為3.34，其彈道性能達(dá)到最優(yōu)。

進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果如下。圖4是彈分別利用比例導(dǎo)引法和LADRC制導(dǎo)律對(duì)目標(biāo)攔截的曲線圖。自抗擾制導(dǎo)律脫靶量為0.38m，比例導(dǎo)引法脫靶量為2.4m，對(duì)于微小型導(dǎo)彈來(lái)說(shuō)，脫靶量要保證在0.5m指標(biāo)要求以內(nèi)，比例導(dǎo)引法明顯不滿足制導(dǎo)精度要求。由圖可知，相比于比例導(dǎo)引法，LADRC的彈道更為平直，脫靶量更小。

圖4 攔截曲線

由圖5看出，由于目標(biāo)法向作正弦機(jī)動(dòng)，比例導(dǎo)引和自抗擾的過(guò)載指令均呈現(xiàn)正弦變化。

采用比例導(dǎo)引法，彈的過(guò)載逐漸增大，在彈道的末端，過(guò)載迅速達(dá)到最大值，對(duì)于微小型導(dǎo)彈來(lái)說(shuō)，最大可用過(guò)載較小，比例導(dǎo)引法末端需用過(guò)載很容易超出最大可用過(guò)載，從而導(dǎo)致脫靶。

圖5 法向過(guò)載

LADRC制導(dǎo)律能夠充分的利用彈的最大可用過(guò)載，使彈的過(guò)載指令與目標(biāo)的正弦機(jī)動(dòng)(40cos(t))相接近，抑制了彈道末端所需過(guò)載迅速變大的情況，使彈道盡可能平直，這對(duì)減小脫靶量有著重要的作用。

由圖6可以看出，目標(biāo)側(cè)向加速度為0時(shí)，兩種制導(dǎo)律下，過(guò)載都是逐漸減小，在攔截末端幾乎為零，自抗擾相對(duì)于比例導(dǎo)引法收斂速度更快。

圖6 側(cè)向過(guò)載

由圖7～8可以看出，無(wú)論目標(biāo)有無(wú)機(jī)動(dòng)，LADRC制導(dǎo)律的視線角速度都能快速穩(wěn)定，并收斂到0，使彈道更為平直，所需過(guò)載更小。

圖7 高低角速率

圖8 方位角速率

采用比例導(dǎo)引法，當(dāng)目標(biāo)正弦機(jī)動(dòng)時(shí)，視線角速率成正弦波動(dòng)，且逐漸變大，在彈道末端迅速變大，成發(fā)散趨勢(shì)。當(dāng)目標(biāo)加速度為0時(shí)，視線角速率逐漸減小，收斂到0，其收斂速度遠(yuǎn)慢于自抗擾制導(dǎo)律。

對(duì)比圖9和10可以看出，干擾作用主要來(lái)源于目標(biāo)機(jī)動(dòng)信息。

圖9 LESO法向估計(jì)

圖10 LESO側(cè)向估計(jì)

擾動(dòng)值的大小會(huì)影響LESO對(duì)擾動(dòng)的逼近能力，影響控制器的魯棒性。而通過(guò)模型補(bǔ)償模塊，如圖11可見(jiàn)，加入模型補(bǔ)償后，可以降低LESO的觀測(cè)負(fù)擔(dān)。

由于目標(biāo)側(cè)向加速度為0，由圖10可以看出其干擾值很小，本文不對(duì)其進(jìn)行模塊補(bǔ)償分析。

圖11 模型補(bǔ)償

4 結(jié)論

針對(duì)比例導(dǎo)引法在打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)存在末端過(guò)載過(guò)大，容易脫靶的問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)了模型補(bǔ)償?shù)腖ADRC制導(dǎo)律，通過(guò)LESO實(shí)時(shí)估計(jì)出彈目運(yùn)動(dòng)中的總和擾動(dòng)，并進(jìn)行動(dòng)態(tài)補(bǔ)償，從而完成對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的精確打擊。模型補(bǔ)償模塊能夠減輕LESO對(duì)擾動(dòng)的估計(jì)負(fù)擔(dān)，提高了控制能力。與比例導(dǎo)引法相比，采用自抗擾制導(dǎo)律的彈道更為平直，攔截時(shí)間更短，脫靶量更小，需用過(guò)載小且分布更合理。