林榮瑞 高云龍

（六盤水師范學院數(shù)學與計算機科學學院，貴州六盤水553001）

近年來，偏微分方程引起了許多數(shù)學工作者的興趣。橢圓型方程作為偏微分方程領(lǐng)域的一個重要分支，在許多實際應用諸如力學、氣候?qū)W、冰川學等問題中經(jīng)常遇到，其中對p-Laplacian 方程的研究，受到很多學者的廣泛關(guān)注，出現(xiàn)了很多這方面的文獻，如文獻［1-5]等。關(guān)于（p,q）-Laplacian型方程也受到了許多學者的研究，如文獻［6-9]等。但以上學者都是對帶有對數(shù)非線性項的偏微分方程進行研究，目前還沒有對帶有對數(shù)項的（p,q）-Laplacian 型方程的研究。本文將研究以下帶變號對數(shù)非線性項的（p,q）-Laplacian型方程

其中Ω 為RN中的光滑有界區(qū)域，

1 預備知識

下面將給出后文所需要的定義和引理，然后構(gòu)造問題（1）對應的變分結(jié)構(gòu)，將尋求問題（1）的非平凡解轉(zhuǎn)化為尋求其對應變分泛函的臨界點.

定義1.1在假設(shè)下，由

此外，φ的臨界點是問題（1）的經(jīng)典解.以下假設(shè)λ,μ滿足式（26）.

引理1.1（對 數(shù)Sobelev 不等式）［10]2076-2091設(shè)p,q>1,δ,ζ>0 且u∈W1,p(?N){0}，則

其中

如果u∈W1,p(?N){0}，令u(x)=0,x∈RNΩ，則

引理1.2設(shè)且滿足

∫Ωf則

證明由可以得到

式中:

直接計算可得

由對數(shù)Sobelev不等式（3）和式（8）可得

將式（7）～（9）代入（6）可得

即可得到式（5）.

2 解的多重性

這一節(jié)，將在Nehari流形上研究問題（1）的弱解.顯然，φ在上下方無界，但在Nehari流形?上是下方有界的 ，其中，顯然，φ的非平凡臨界點一定在? 上.由式（5）可以推得

引理2.1設(shè)且t>0，則tu∈? 當且僅當

證明根據(jù)式（10）和式（11）及t>0 ，可得tu∈? 當且僅當若u∈? ，則

因此，我們將? 分成三部分：?+,?-和?0,其中

引理2.2若u0是φ在? 上的一個局部極小元且u0??0,則φ′(u0)=0.

證明設(shè)u0是φ在? 上的一個局部極小元，則由拉格朗日乘數(shù)法知，存在ε∈? 滿足其中

因為u0∈? ，所以另外，由于u0??0，因此

故ε=0，進而

引理2.3?+,?-均非空，且?+是有界的.

證明由文獻［6]的引理5，令p=q即可得?+,?-均非空.下證?+是有界的，假設(shè)?+是無界的，則存在使 得當n→∞時，令則不失一般性，設(shè)存在一個使得在空間中滿 足υn?υ0，在 空 間Lp(Ω) 中υn→υ0成 立.由

所以

又由u∈? 和式（10）知

直接計算可得

類似式（7）～（9），再結(jié)合‖υn‖=1 可以得到

其中C與n無關(guān). 再有式（13）～（14）及可得

另一方面，由υn?υ0但υn→υ0，可推導存在的子列，仍記作使得

再結(jié)合式（13）和式（15）有

另一方面，由υn→υ0，存在{υn}的子列，仍記作使得式（16）和式（18）成立，且有

再結(jié)合式（13）和式（15）有

矛盾.因此，?+是有界的.

引理2.4(1)φ在?+上下方有界；(2)φ在?+上有極小元.

證明(1)因為u∈?+，所以由式（10）可得

理2.3可得，?+是有界的，故φ在?+上下方有界.

(2)設(shè){ }un是φ在?+上的一個極小化序列，即由引理2.3 知是有界的.不失一般性，設(shè)存在u0∈W1,p

成立,再結(jié)合式（12）有

因此，存在

使得t(u0)u0∈?+，則hu0在t(u0)處取得極小值，再結(jié)合式（20）～（22）有

引理2.5φ在?-上的一個極小化序列都是有界的.

證明設(shè)是φ在?-上的一個極小化序列，即

假設(shè)un是無界的，不妨設(shè)令有界.不失一般性，設(shè)存在一個使 得 在 空 間中 滿 足υn?υ0在空間Lp(Ω)中υn→υ0成立.由un∈? 知,式（12）成立.直接計算可得式（13）和

另一方面，由υn?υ0但υn→υ0可推導存在子列，仍記作使得式（16）～（18）成立，再結(jié)合式（15）和式（23）有

矛盾.

另一方面，由υn→υ0知,存在的子列，仍記作使得式（16）～（19）成立，再結(jié)合式（15）和式（23）有

矛盾.因此，φ在?-上的一個極小化序列都是有界的.

引理2.6在?-上存在極小元.

證明(1)假設(shè)設(shè)是φ在?-上的一個極小化序列，即

另一方面，由un?u0且un→u0可得存在的子列，仍記作使得（20）～（22）成立.再結(jié)合式（12）和（25）有

-λ矛盾.若在空間中有un→u0，則由式（5）和注解1得

再由（1）有

因此，存在t(u0)使得t(u0)u0∈?-，由于在中t(u0)un?t(u0)u0，但t(u0)un→t(u0)u0，則存在{t(u0)un}的子列，仍記作{t(u0)un}，使得

定理2.1設(shè)且在上是變號的，λ,μ>0 滿足

則問題（1）至少有兩個非平凡解，其中|Ω|N為Ω 在RN中的測度，Ψp,Ψq將由式（3）定義.

證明由引理2.4(2)，引理2.6(2)表明泛函φ有兩個極小元u+∈?+和u-∈?-.再由引理2.2知，u+和u-是問題（1）的兩個非平凡解.