何亞銀， 梁智鴻， 高衛(wèi)麗

(1.陜西理工大學 機械工程學院，陜西 漢中 723000；2.陜西省工業(yè)自動化重點實驗室，陜西 漢中 723000)

消隙蝸桿副具有傳動平穩(wěn)、振動沖擊和噪聲小、傳動比大和消除反向間隙等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于國防、冶金、造船和化工等行業(yè)。作為一種新型的消隙蝸桿副，分體式消隙蝸桿副采用兩段相同螺旋升角的蝸桿[1]，通過旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)兩段蝸桿之間的距離來消除蝸桿反向間隙，由于兩段蝸桿在軸截面上的齒形為瘦長齒，有較大的齒頂高系數(shù)和頂隙系數(shù)，工作壓力角比普通蝸桿的壓力角小，具有較小的導程角等特點。由于該蝸桿副的結(jié)構(gòu)特點，在使用和安裝時較普通的蝸輪蝸桿更容易出現(xiàn)安裝誤差，使得變形過大或應(yīng)力過大而影響蝸桿副結(jié)構(gòu)的傳動精度，所以對其安裝精度要求更高。因此，通過研究分體式消隙蝸桿副安裝誤差對接觸強度的影響，獲得許用的角度安裝誤差范圍具有非常重要的工程意義。

Gonzalez-Perez等在文獻[2]中提出了一種基于赫茲理論的局部軸承接觸齒輪傳動應(yīng)力分析方法，根據(jù)接觸面積、最大接觸壓力、壓力分布、最大特雷斯卡應(yīng)力和特雷斯卡應(yīng)力分布，建立并驗證了有限元模型，該模型的驗證適用于赫茲理論。Gonzalez-Perez等在文獻[3]中提出的有限元模型允許對整個網(wǎng)格周期進行分析，并且基于網(wǎng)格細化的多點約束的應(yīng)用和具有減少的積分點的元素的應(yīng)用，獲得關(guān)于接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力的精確結(jié)果。馬玉娟等[4]分析了不同類型的蝸桿之間承載能力以及變形間的關(guān)系，利用有限元法，建立蝸桿副的動力學分析模型，在嚙合瞬間進行瞬態(tài)動力學分析，研究結(jié)論為ZC1型蝸桿在減速器等領(lǐng)域中的應(yīng)用提供理論依據(jù)和工程應(yīng)用價值。Falah等[5-6]預測了嚙合周期內(nèi)裝配誤差對單包絡(luò)(圓柱)蝸桿傳動局部接觸應(yīng)力分布的影響，用切片法估算單包絡(luò)(圓柱)蝸輪傳動的載荷份額和計算瞬時齒嚙合剛度和應(yīng)力，得出了有裝配誤差的加載齒輪的控制因素是嚙合剛度和誤差量、誤差量與相鄰齒對之間的載荷分擔有關(guān)的結(jié)論。ZHU Xi-jun等[7]基于嚙合理論推導了變齒厚平面蝸桿傳動的齒面方程，建立了齒隙可調(diào)變齒厚面包絡(luò)蝸桿的有限元分析模型，并對齒隙可調(diào)變齒厚平面包絡(luò)蝸桿傳動進行了有限元分析，得出了蝸桿傳動的主應(yīng)力分布和齒間載荷分布的規(guī)律。上述文獻采用不同的理論和不同的有限元接觸方法分析了不同蝸桿副的強度和穩(wěn)定特性，考慮了傳動誤差和裝配誤差對齒輪局部齒面接觸的影響，也考慮了齒隙可調(diào)蝸桿的彎曲應(yīng)力，但沒有關(guān)于分體式蝸桿的強度特性的分析和關(guān)于角度安裝誤差對齒輪局部齒面的接觸應(yīng)力和變形的分析。

本文以分體式消隙蝸桿副為研究對象，采用數(shù)值分析法與有限元分析法相結(jié)合的方法，以獲得滿足分體式消隙蝸桿副裝置使用要求的許用角度安裝誤差范圍。

1 蝸輪蝸桿接觸強度的數(shù)學模型

幾何結(jié)構(gòu)、工況、齒面摩擦和材料等都會對蝸輪蝸桿的接觸強度產(chǎn)生影響，蝸輪蝸桿接觸并受壓力作用時，接觸面為一狹長矩形，在接觸面上產(chǎn)生接觸應(yīng)力，并且最大接觸應(yīng)力位于接觸區(qū)中線上，為了分析蝸輪的接觸強度，以德國物理學家海因里?！?shù)婪颉ず掌澯?882年提出的赫茲公式[8]為前提，并結(jié)合蝸輪蝸桿接觸線嚙合的條件得到：

(1)

式中σH為齒面接觸應(yīng)力(MPa)；ZE為材料彈性系數(shù)，鑄錫磷青銅蝸輪和鋼蝸桿相配為160 MPa1/2，與蝸輪和蝸桿材料的泊松比和彈性模量相關(guān)；K為載荷系數(shù)[9]；Fn為法向力(N)；L0為最小接觸線長度(mm)；ρ∑為綜合曲率半徑(mm)。

赫茲公式解析：

(2)

式中T2為蝸輪扭矩(N·mm)，d2為蝸輪分度圓直徑(mm)，α為蝸輪在分度圓上的壓力角(度)，γ為蝸桿在分度圓上的導程角(度)。

蝸輪齒沿齒寬方向成弧形包在蝸桿上的接觸線長度，如圖1所示。最小接觸線長度計算公式為

(3)

圖1 接觸線長度

由于漸開線圓柱蝸輪蝸桿的嚙合傳動過程與齒輪齒條的嚙合傳動過程相似，為了簡化計算，假設(shè)蝸輪齒面在計算點處的曲率半徑ρ1=+∞以及sinαn=sinαcosγ。通過幾何關(guān)系得到如下公式：

(4)

把式(2)—(4)代入式(1)并整理，得到蝸輪在接觸線處的接觸應(yīng)力為

(5)

2 分體式消隙蝸桿副建模

2.1 分體式消隙蝸桿副的結(jié)構(gòu)特點

圖2為分體式消隙蝸桿副傳動原理圖，蝸桿由蝸桿軸和蝸桿套組成。在接觸部位，蝸桿軸的右齒面與蝸輪的左齒面接觸，蝸桿套的左齒面與蝸輪的右齒面接觸。

圖2 分體式消隙蝸桿副傳動原理圖

蝸桿軸和蝸桿套在軸向截面上的齒廓曲線為直線，端面為阿基米德螺旋線。蝸桿兩側(cè)壓力角不相等，分體式蝸桿的蝸桿軸和蝸桿套只有壓力角較小的一側(cè)與蝸輪嚙合，故蝸桿兩側(cè)的壓力角相等且等于較小壓力角。

2.2 三維實體建模

表1列出了本文采用的分體式消隙蝸桿副的蝸輪蝸桿的基本參數(shù)[12]。

表1 蝸輪蝸桿基本參數(shù)

圖3 蝸桿副實體模型

基于嚙合理論得到蝸桿齒廓的數(shù)學模型，運用三維建模軟件UG參數(shù)化建模功能模塊，建立精確的齒槽形狀和蝸桿螺旋線，進行布爾減運算完成蝸輪蝸桿的實體建模，最后利用虛擬裝配得到蝸桿副實體模型，如圖3所示。

3 分體式消隙蝸桿副有限元分析

3.1 前處理與邊界條件

蝸桿副的材料主要從彈性模量、泊松比和密度3個方面定義，具體屬性見表2所示。

表2 蝸桿副材料屬性

利用ANSYS生成有限元接觸模型[13]，設(shè)置蝸桿軸、蝸桿套和蝸輪的elementsize(網(wǎng)格尺寸)為1 mm，局部齒接觸面做細化處理及對網(wǎng)格彎曲區(qū)域進行細化處理，最后得到699 658個單元，410 386個節(jié)點。接觸方式為面-面有摩擦接觸[14-15]，接觸類型選擇性剛性-柔性的接觸。

圖4 蝸桿副有限元模型

圖5 蝸桿正轉(zhuǎn)有限元模型應(yīng)力圖

定義載荷與約束：(1)限制蝸輪內(nèi)圈的X、Y、Z方向上的移動自由度，不限制蝸輪內(nèi)圈繞自身軸線的轉(zhuǎn)動自由度；(2)限制蝸桿軸與蝸桿套內(nèi)圈的X、Y、Z方向上的移動自由度，不限制蝸桿軸與蝸桿套的切向自由度；(3)將蝸桿副傳遞的轉(zhuǎn)矩換算成扭矩載荷施加在蝸桿軸兩端，總載荷為T1。所生成的蝸桿副有限元模型如圖4所示。

3.2 有限元分析

設(shè)定邊界條件時，將蝸桿設(shè)置為主動件且主動力由蝸桿軸傳入蝸桿副，定義蝸輪的負載扭矩為T2=50 000 N·mm，蝸輪蝸桿的傳動效率為η=0.7，傳動比為i=45，則蝸桿的扭矩為T1=T2/(iη)=1587 N·mm。根據(jù)接觸應(yīng)力理論，將T2、表1和表2中的數(shù)據(jù)代入公式(5)得蝸輪的接觸應(yīng)力為σH2=192.71 MPa。

定義蝸桿螺旋方向為正方向，在不考慮安裝誤差的情況下，分別給蝸桿正向與反向施加載荷作有限元計算，當正向施加載荷，即扭矩為T1= 1587 N·mm時，所得的應(yīng)力圖和變形圖如圖5和圖6所示。從圖中可以看出蝸桿副的最大應(yīng)力在蝸輪上，這與理論分析情況相符，從有限元計算結(jié)果得到額定載荷為正向和反向時最大接觸應(yīng)力分別為181.57 MPa和184.13 MPa，比理論計算結(jié)果稍小且誤差分別為5.78%和4.45%，證明了該分體式消隙蝸桿副建模方法的正確性。

(a)蝸桿副及局部放大圖 (b)蝸桿軸與蝸桿套

3.3 安裝誤差對接觸強度的影響

對于主動件蝸桿正向旋轉(zhuǎn)和反向旋轉(zhuǎn)時，對蝸桿軸與蝸桿套存在0°、0.2°、0.4°、0.6°、0.8°、1°的安裝誤差的情況下進行有限元分析，計算得到蝸桿不同轉(zhuǎn)向不同安裝誤差下蝸桿副的最大接觸應(yīng)力和最大變形量如表3和表4所示。

表3 蝸桿正轉(zhuǎn)時蝸桿副的最大接觸應(yīng)力和最大變形量

表4 蝸桿反轉(zhuǎn)時蝸桿副的最大接觸應(yīng)力和最大變形量

根據(jù)已知數(shù)據(jù)基于MATLAB軟件用最小二乘函數(shù)擬合方法擬合數(shù)據(jù)曲線公式。

當蝸桿正向旋轉(zhuǎn)時，得最大接觸應(yīng)力(y1)與安裝誤差(x)關(guān)系的曲線公式為

y1=7.736 6x2+59.080 5x+181.509 6，

(6)

最大變形量(y2)與安裝誤差(x)關(guān)系的曲線公式為

y2=-0.006x3+0.011 1x2+0.011 4x+0.021 4；

(7)

當蝸桿反向旋轉(zhuǎn)時，得最大接觸應(yīng)力(y3)與安裝誤差(x)關(guān)系的曲線公式為

y3=7.754 5x2+57.965 5x+184.123 9，

(8)

最大變形量(y4)與安裝誤差(x)關(guān)系的曲線公式為

y4=0.000 5x3-0.001x2+0.017 9x+0.020 9。

(9)

數(shù)據(jù)擬合曲線如圖7和圖8所示。

圖7 最大接觸應(yīng)力與安裝誤差關(guān)系曲線 圖8 最大變形量與安裝誤差關(guān)系曲線

所研究的蝸輪材料的許用應(yīng)力為220 MPa，代入公式(6)和公式(8)分別得蝸桿正向旋轉(zhuǎn)時安裝誤差為x1=0.604°和蝸桿反向旋轉(zhuǎn)時安裝誤差為x2=0.575°。

由圖7和圖8可以看出蝸桿副的最大接觸應(yīng)力與安裝誤差成正相關(guān)，其中在同一角度安裝誤差，蝸桿反轉(zhuǎn)時的最大接觸應(yīng)力比蝸桿正轉(zhuǎn)時的接觸應(yīng)力大；蝸桿反轉(zhuǎn)時最大齒面接觸應(yīng)力隨角度安裝誤差變化幅度相對蝸桿正轉(zhuǎn)?。晃仐U副的最大變形量與安裝誤差也成正相關(guān)，區(qū)別點是在角度安裝誤差小于0.1°時，蝸桿反轉(zhuǎn)的蝸桿副最大變形量小于蝸桿正轉(zhuǎn)的最大變形量，角度安裝誤差大于0.1°時，則情況相反，并且蝸桿反轉(zhuǎn)時蝸桿副的最大變形量與角度安裝誤差的正相關(guān)關(guān)系更穩(wěn)定。

4 結(jié)論

對有限元分析結(jié)果數(shù)據(jù)進行處理，并且根據(jù)數(shù)據(jù)繪制表格和擬合曲線，可得到以下結(jié)論：

(1)將傳統(tǒng)蝸桿副強度計算的經(jīng)驗公式結(jié)果與有限元強度計算結(jié)果對比，得出經(jīng)驗公式計算結(jié)果大于有限元計算結(jié)果，可以看出解析法并不能準確的體現(xiàn)分體式消隙蝸桿副的強度性能，具有一定的誤差；接觸應(yīng)力結(jié)果誤差小于6%，說明了這種建模方法的正確性，為分體式消隙蝸桿副的建模和強度分析提供了理論依據(jù)。

(2)分體式消隙蝸桿副的最大接觸應(yīng)力與安裝誤差成正相關(guān)，在同一角度安裝誤差下，蝸桿反轉(zhuǎn)與蝸桿正轉(zhuǎn)相比較，蝸桿反轉(zhuǎn)的最大接觸應(yīng)力較大，蝸桿正轉(zhuǎn)的最大接觸應(yīng)力較小；在不同的角度安裝誤差下，蝸桿反轉(zhuǎn)時比蝸桿正轉(zhuǎn)時最大齒面接觸應(yīng)力隨角度安裝誤差變化幅度??；根據(jù)標準蝸輪材料的許用應(yīng)力，結(jié)合有限元法分析結(jié)果可知安裝應(yīng)小于0.55°，即對比于分體式消隙蝸桿副的蝸桿螺旋角，角度安裝誤差應(yīng)不超過16%。此結(jié)論為分體式消隙蝸桿副的工程安裝提供了相應(yīng)的理論依據(jù)。

(3)分體式消隙蝸桿副的最大變形量與安裝誤差成正相關(guān)，當角度安裝誤差小于0.1°時，蝸桿反轉(zhuǎn)時的蝸桿副的最大變形量小于蝸桿正轉(zhuǎn)時的最大變形量；當角度安裝誤差大于0.1°時，則情況相反，并且隨著角度安裝誤差的增大，蝸桿反轉(zhuǎn)時蝸桿副的最大變形量與角度安裝誤差的正相關(guān)關(guān)系更穩(wěn)定。