唐 悅

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130000)

1 模型建立

黑麥草是我國(guó)重要的牧草資源，在國(guó)內(nèi)畜牧飼料市場(chǎng)上有著無可替代的經(jīng)濟(jì)地位[1].基于之前的數(shù)學(xué)模型并沒有考慮在市場(chǎng)需求波動(dòng)這一要素，有一定的局限性,為更準(zhǔn)確的體現(xiàn)出黑麥草的刈割強(qiáng)度與經(jīng)營(yíng)者所得利潤(rùn)之間的關(guān)系，建立符合黑麥草資源經(jīng)濟(jì)分配管理的捕食者-食餌系統(tǒng)模型[2]：

(1)

E表示黑麥草的數(shù)量;F表示經(jīng)營(yíng)黑麥草草場(chǎng)的收益；b為市場(chǎng)需求指數(shù);K表示環(huán)境最大容納量;μ表示管理人員對(duì)黑麥草草場(chǎng)經(jīng)營(yíng)治理資金投放系數(shù);χ表示被刈割的黑麥草轉(zhuǎn)化成利潤(rùn)的轉(zhuǎn)化率；p為對(duì)黑麥草的刈割強(qiáng)度;v0是黑麥草最初生長(zhǎng)率．

2 系統(tǒng)分析

求解方程組：

(2)

得到兩個(gè)非零解(K,0),(E*,F*),其中E*>0,F*>0,(K,0)表示在收割者利潤(rùn)為0，(E*,F*)表示黑麥草生物量和經(jīng)營(yíng)者利潤(rùn)都存在的情況下,存在正平衡點(diǎn).

系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)(K,0)處的Jacobi矩陣為：

證明 由

由函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)F(E)為連續(xù)單調(diào)遞減函數(shù)，又因?yàn)樵诤瘮?shù)F(E)中已求出系統(tǒng)的一個(gè)奇點(diǎn)，所以在該函數(shù)一定存在唯一點(diǎn)E*使得F(E*)=0，由此可得系統(tǒng)(1)存在唯一正平衡點(diǎn)(E*,F*).

平衡點(diǎn)(E*,F*)處的Jacobi矩陣為：

得到

因此平衡點(diǎn)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的[3].

3 生物學(xué)意義

本文通過分析了解黑麥草所在生態(tài)系統(tǒng)，掌握了黑麥草資源刈割的實(shí)際問題，建立了相應(yīng)的生物數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其進(jìn)行生物動(dòng)力學(xué)分析，定性地描述了黑麥草資源和刈割強(qiáng)度的相對(duì)變化之間的關(guān)系.適當(dāng)?shù)呢赘顝?qiáng)度，可促進(jìn)黑麥草初級(jí)生產(chǎn)力提高，促進(jìn)黑麥草資源更新.系統(tǒng)最終會(huì)在正平衡點(diǎn)(E*,F*)達(dá)到生態(tài)系統(tǒng)平衡[5],經(jīng)營(yíng)者的刈割量和黑麥草可持續(xù)生長(zhǎng)就可以維持平衡穩(wěn)定狀態(tài)．還能保證黑麥草的經(jīng)濟(jì)效益最大化.