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        化歸思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用

        2020-07-01 09:31:20
        科學(xué)咨詢 2020年3期
        關(guān)鍵詞:未知量題型原則

        謝 川 張 贏

        (重慶市長(zhǎng)征學(xué)校 重慶 400080)

        一、數(shù)學(xué)思想概述

        (一)數(shù)學(xué)思想的涵義

        所謂數(shù)學(xué)思想,是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中,經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果,是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)、概念、理論與方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí),是體現(xiàn)于基礎(chǔ)科學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性的內(nèi)容。它含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本觀點(diǎn),并且將繼續(xù)發(fā)展完善。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂,是開啟數(shù)學(xué)知識(shí)寶庫(kù)的金鑰匙,是用之不竭的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉??梢哉f數(shù)學(xué)的發(fā)展史是一部生動(dòng)的數(shù)學(xué)思想的發(fā)展史,它深刻地告訴我們:數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),它為分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題提供了指導(dǎo)方針和解題策略。

        (二)基本數(shù)學(xué)思想及分類

        在數(shù)學(xué)思想中,有一類思想是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果,這些思想則稱之為基本數(shù)學(xué)思想?;緮?shù)學(xué)思想包括:符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷?、集合思想、?duì)應(yīng)思想、公理化與結(jié)構(gòu)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、對(duì)立統(tǒng)一的思想、整體思想、函數(shù)與方程思想、極限思想等?;緮?shù)學(xué)思想有兩大“基石”,即符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷牒图纤枷?,又有兩大“支柱”,即?duì)應(yīng)思想和公理化與結(jié)構(gòu)思想。下面我們就將結(jié)合各類題型分析研究三角函數(shù)中常見的基本數(shù)學(xué)思想。

        二、三角函數(shù)中常見的基本數(shù)學(xué)思想及題型分析

        (一)轉(zhuǎn)化與化歸思想

        數(shù)學(xué)解題以轉(zhuǎn)化為手段,以化歸為目的,所以“轉(zhuǎn)化與化歸思想”是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想。同時(shí),轉(zhuǎn)化與化歸思想方法是高中數(shù)學(xué)核心思想方法之一。當(dāng)我們解決數(shù)學(xué)問題時(shí),它無處不在。而“問題是數(shù)學(xué)的心臟”,“解題是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式,解題是數(shù)學(xué)活動(dòng)的主要內(nèi)容”那么如何解題就非常重要了。世界著名數(shù)學(xué)家C.A.雅潔卡婭在一次演講中提到:“解題就是把要接的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)接過的題”,也就是說解題的過程即為“轉(zhuǎn)化與化歸”的過程。解題的基本模式:由復(fù)雜到簡(jiǎn)單,由陌生到熟悉,由抽象到直觀,由特殊到一般?!稗D(zhuǎn)化與化歸思想”沒有一個(gè)統(tǒng)一和固定的模式,其過程還有“等價(jià)”和“不等價(jià)”之分,就使其具有靈活性和多樣性,并且我們?cè)诮鉀Q幾乎所有數(shù)學(xué)問題中都有應(yīng)用它,故它又具有廣泛性。通過新問題的解決,達(dá)到解決原問題的目的,這種方法在三角函數(shù)的解題中也是常見的。

        (二)轉(zhuǎn)化與化歸思想解題程序及基本原則

        轉(zhuǎn)化與化歸思想解題的基本程序?yàn)椋喊褑栴}A通過一定手段進(jìn)行轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為問題B,而問題B是相對(duì)容易解決的問題或已知固定的解題思維的問題,且通過問題B的解決,搭建橋梁,從而使得問題A得以解決。

        轉(zhuǎn)化與化歸思想的基本原則:熟悉化原則、簡(jiǎn)單化原則、直觀化原則、正難則反原則。

        (三)轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用

        三角函數(shù)中求非特殊角三角函數(shù)值問題一直以來是高考中的??键c(diǎn)之一,這類問題將特殊角三角函數(shù)與三角函數(shù)積化和差公式整合在一起,形成了眾多值求值的三角函數(shù)問題。遇到這樣的題型,我們常使用“轉(zhuǎn)化與化歸思想”將問題熟悉化、簡(jiǎn)單化,從而將其解決。在解三角形中,我們也常遇到“邊角”混合的題目,這時(shí)我們就需要使用“正余弦定理”將邊角統(tǒng)一化。下面我們將從以下兩個(gè)方面及相關(guān)題型探討轉(zhuǎn)換與化歸思想在高中三角函數(shù)中的應(yīng)用。

        ◆建立化歸橋梁,將已知量與未知量相結(jié)合。建立化歸橋梁就是要在問題的接入點(diǎn)之間建立關(guān)系橋梁,創(chuàng)造條件達(dá)到化歸的目的。

        【例1】求sin15°cos75°+sin75°cos15°的值。

        分析題中給出的15°和75°都不是特殊角,故不能直接計(jì)算。但不難發(fā)現(xiàn)題中所給的兩個(gè)角為互補(bǔ)角,故可通過三角恒等轉(zhuǎn)化為同角。

        解法一:sin15°cos75°+sin75°cos15°

        =sin15°cos(90°-15°)+sin(90°-15°)cos15°

        =sin215°+cos215°

        =1。

        評(píng)析本題將非特殊角的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算,滿足了“轉(zhuǎn)化與化歸思想”的熟悉性原則及簡(jiǎn)單性原則。

        小結(jié):通過建立化歸橋梁時(shí),突破口在于已知量和未知量的聯(lián)系,這個(gè)聯(lián)系往往是一個(gè)過渡元素,主要表現(xiàn)為一個(gè)字母、一個(gè)代數(shù)式、一個(gè)定理等,找到這個(gè)聯(lián)系后問題也就迎刃而解?!艮D(zhuǎn)化思維角度,將已知量與未知量相結(jié)合。有些問題按常規(guī)思維難以解決時(shí),我們常考慮從另一個(gè)角度來研究。思維角度轉(zhuǎn)化主要包括:代數(shù)到三角、幾何;數(shù)到形;正化反;特殊到一般;抽象到具體等。

        通過以上例子,我們知道化歸思想在三角函數(shù)中有著舉足輕重的作用,對(duì)我們解決問題有很大的幫助。但數(shù)學(xué)思想的形成需要長(zhǎng)期性的滲透與訓(xùn)練,這就使得我們教師必須在教學(xué)中作更深的探討和研究。如果將數(shù)學(xué)教學(xué)僅僅看成是一般數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授(照本宣科的傳授式教學(xué)),那么即使教授再多的公式和定理,可能仍然難免淪為一堆僵死的教條,難以發(fā)揮它們的作用;而掌握了數(shù)學(xué)的思想方法和精神實(shí)質(zhì),就可以由不多的公式演繹出千變?nèi)f化的生動(dòng)結(jié)論,顯現(xiàn)出無窮無盡的威力。這也正是我們新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)各位教師和學(xué)生提出的新要求。

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