何 團, 唐 波, 張 玉, 楊彥偉

(1.國防科技大學電子對抗學院, 合肥, 230037; 2.63762部隊, 陜西渭南, 714000)

空時自適應處理(Space-Time Adaptive Processing, STAP)技術[1]是用于機載雷達系統(tǒng)在雜波背景下檢測運動目標的關鍵技術。STAP技術的關鍵是獲取待檢測距離單元精確的雜波協(xié)方差矩陣。根據(jù)RMB準則[2]，要使估計雜波協(xié)方差矩陣帶來的雜波抑制性能損失小于3 dB，所需獨立同分布訓練樣本數(shù)至少為2倍系統(tǒng)自由度。然而，實際環(huán)境中雜波分布往往是非均勻的，使得用于估計雜波協(xié)方差矩陣的訓練樣本數(shù)很難滿足要求。近年來，稀疏理論被應用到單輸入多輸出(Single-Input Multiple-Output, SIMO)雷達，只需少量訓練樣本即可實現(xiàn)雜波譜的精確恢復[3-4]。而現(xiàn)在該技術也慢慢擴展到多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)雷達[5]。MIMO-STAP與SIMO-STAP相比，可以實現(xiàn)更窄的雜波凹口，更優(yōu)的最小可探測速度性能[6-7]。

但當前基于稀疏恢復的MIMO-STAP方法在實際應用時，存在計算復雜度高的問題。文獻[8]指出：為提升稀疏算法的恢復精度，一種比較直接的方法就是使劃分的網(wǎng)格數(shù)足夠大，但這會使得稀疏字典維數(shù)過高，計算復雜度急劇增大。為降低計算復雜度，文獻[9]提出了基于陣列流形知識和空時功率譜的字典降維方法，該方法利用先驗知識確定雜波脊線，然后將雜波脊線附近矩形框內的原子取出組成降維字典，但準確的先驗知識往往難以獲得，且矩形框的大小難以把握。文獻[10]提出了一種基于譜輔助的字典降維方法，該方法使用訓練樣本估計出低分辨功率譜，設置了一個譜值門限將所有譜值超過門限的原子取出組成降維字典，但該方法使用的是低分辨功率譜，譜值門限難以確定，選出的原子分布雜亂，且無法克服多普勒模糊問題帶來的影響。

本文針對MIMO-STAP在使用稀疏恢復方法恢復雜波譜時所面臨的計算復雜度高的問題，提出了一種字典降維方法。該方法使用FOCUSS算法[11]的迭代式提高雜波空時譜的分辨率，并利用先驗知識剔除因多普勒模糊而入選的原子。提出的降維字典可以完全覆蓋雜波脊線所有強雜波點位置，且能有效解決多普勒模糊帶來的問題，在保證雜波譜恢復精度的同時，能夠有效提高運算效率。

1 雜波譜稀疏恢復問題建模

1.1 MIMO雷達雜波信號模型

圖1為機載MIMO雷達正側視條件下的幾何模型，其中φ為雜波塊的俯仰角，θ為雜波塊的方位角，Φ為線陣方向與雜波塊方向所成的空間錐角；V為載機速度，h為載機距離地面的高度。

圖1 機載MIMO雷達幾何模型

設均勻線陣體制下機載MIMO雷達天線發(fā)射的各波形滿足正交關系,通過匹配濾波,可以在接收端分離出各個發(fā)射陣元信號。發(fā)射陣元個數(shù)為M，接收陣元個數(shù)為N，1個相干處理間隔(CPI)內發(fā)射K個脈沖，脈沖重復頻率為fr，工作波長為λ，發(fā)射陣元間距和接收陣元間距分別為dt和dr(一般為避免柵瓣問題，假定dr=λ/2)。

各雜波塊的空時導向矢量可表示為：

v(fd,fs)=vd(fd)?vt(fs)?vr(fs)

(1)

式中：?表示 Kronecker 積；fs表示雜波塊的空間頻率；fd表示雜波塊的多普勒頻率；vt為發(fā)射導向矢量；vr為接收導向矢量；vd為時域導向矢量。發(fā)射和接收導向矢量分別為：

vt(fs)=[1 ej2πγfs… ej2π(M-1)γfs]T

(2)

vr(fs)=[1 ej2πfs… ej2π(N-1)fs]T

(3)

式中：γ為發(fā)射陣元間距與接收陣元間距之比。

時域導向矢量為 ：

vd(fd)=[1 ej2πfd… ej2π(K-1)fd]T

(4)

設φl為第l個距離環(huán)的俯仰角，θp為第p個雜波塊的方位角，則雜波塊的空間頻率fs與θp、φl關系式為：

fs(θp,φl)=drcosθpcosφl/λ

(5)

雜波塊的多普勒頻率fd與θp、φl的關系式為：

fd(θp,φl)=2Vcosθpcosφl/(λfr)

(6)

則第l個距離單元的雜波信號可表示為：

(7)

式中：Nc為均勻切分的雜波塊數(shù)；σp為第p個雜波塊的回波幅度；fs,p為第p個雜波塊的空間頻率；fd,p為第p個雜波塊的多普勒頻率；v(fd,p,fs,p)為第p個雜波塊的空時導向矢量。

1.2 雜波協(xié)方差矩陣的求解

一般情況下，為獲得稀疏恢復所需的常規(guī)字典，需將整個空時二維平面網(wǎng)格化，將所有網(wǎng)格節(jié)點對應的空時導向矢量取出組成字典。設Q=NM，將空間頻率fs和多普勒頻率fd分別離散化為Ns格和Nd格，其中Ns=ρsQ，Nd=ρdK，ρs和ρd分別為fs和fd的離散化系數(shù)，超完備字典ψ的大小取決于Ns和Nd。

雜波分布在空時二維平面上具有稀疏性，可由超完備字典近似表示為：

(8)

式中：v(fd,i,fs,j)表示空時二維平面上空間頻率為fs,j、多普勒頻率為fd,i時所對應的空時導向矢量；σi,j為其幅度值；ψ為稀疏恢復使用的字典矩陣；σ為待求的雜波空時譜。

一般情況下，稀疏恢復的目的就是確定σ，則雜波譜的稀疏恢復問題最終可表示為：

(9)

式中：y為不含目標信號的觀測信號矢量；ε為噪聲帶來的誤差閥值。

求解式(9)計算復雜度很大，其中一部分原因就是字典ψ的維數(shù)很大，因此可以考慮將ψ進行降維以減輕計算壓力。

在求得σ后，雜波協(xié)方差矩陣可估計為：

(10)

P=σ⊙σ*

(11)

式中：P為雜波空時功率譜。

2 字典降維

2.1 字典降維問題分析

圖2為正側視條件下雜波空時功率譜在空時二維平面上的分布，圖中深色區(qū)域表示強雜波點所占區(qū)域,其中心線即為雜波脊線。

圖2 正側視條件下的雜波功率譜分布

稀疏恢復方法計算復雜度高是因為需要對整個空時二維平面進行掃描以獲取強雜波點的位置。而實際上，即便考慮雜波內部起伏以及陣列誤差等非理想因素所造成的譜展寬問題，雜波空時功率譜也只占整個空時二維平面的一小部分。如果只考慮強雜波點所在區(qū)域的網(wǎng)格單元，直接在這個縮小的區(qū)域求解雜波空時功率譜，就能夠極大地降低計算復雜度。

因為實際雜波點所在區(qū)域的功率譜值要明顯高于其他位置，故可以將功率譜值作為字典降維依據(jù)。應用最廣泛的功率譜是由文獻[12]給出的傅里葉功率譜和Capon功率譜，具體表示如下：

(12)

(13)

因為Capon功率譜的精度更高，所以本文采用的是Capon功率譜。

目前譜值法降維還存在2個較大的問題：

一是由訓練樣本直接得到的功率譜分辨率太低，譜值門限難以確定，選出的原子分布散亂。

二是當折疊系數(shù)β大于1時會出現(xiàn)多普勒模糊問題，導致將其他區(qū)域內的原子也選入字典。比如圖3中折疊系數(shù)取2時，譜值法除了將實際強雜波點區(qū)域(a區(qū)域)內的原子挑出外，還會將因多普勒模糊產生的區(qū)域(b、c區(qū)域)內的原子挑出，使得最后的降維字典涵蓋區(qū)域過廣，因此必須去除多普勒模糊帶來的影響。

圖3 存在多普勒模糊時的功率譜分布

2.2 字典降維方法

為解決以上分析所提出的問題，本小節(jié)提出了具體的字典降維方法。思路為：使用FOCUSS算法的迭代式獲得較高分辨率的雜波空時譜，進而得到高分辨率的Capon譜；使用先驗知識解決多普勒模糊問題。具體方法如下：

FOCUSS算法是一種通過迭代逐步逼近稀疏解的算法。每次迭代中，F(xiàn)OCUSS會通過加權矩陣不斷強化待求矢量σ中的顯著分量，且同時抑制其中的不顯著分量，隨著迭代的進行，σ內各元素的差距會越來越大。因此，可以利用此思想將譜值差距快速拉大以凸顯出強雜波點所在區(qū)域。

FOCUSS算法最核心的操作為：

W(k)=diag(σ(k-1))

(14)

σ(k)=W(k)(ψW(k))+y

(15)

式中：W(k)為第k次迭代的加權矩陣;σ(k)為第k次迭代后的稀疏解;D+表示矩陣D的Moore-Penrose廣義逆。

迭代起始的低分辨雜波空時譜可估計為σ(0)=ψHy，通過式(14)、(15)極少次的迭代就足以使雜波空時譜的分辨率得到較大的提升。當然，迭代本身會引入計算量的增加，但因為迭代次數(shù)非常少(2次左右即可達到效果)，所以增加的計算量較小，另外此處增加的計算量相較于后續(xù)減少的計算量而言是非常小的，因此這是完全值得的。

為了將Capon功率譜譜值較大的原子挑出，需要設置一個譜值門限，一般門限值設置如下[13]：

(16)

式中：Pi,j為v(fd,i,fs,j)對應的Capon功率譜值；Pm是平均功率譜值；α是一個可調節(jié)的標量,可以靈活控制門限值。

Capon功率譜分辨率提高以后，各譜值差距很大，譜值門限很好確定，一般可直接取為Pm。

如果不存在多普勒模糊問題，以上步驟就足以獲得降維字典。但如果存在多普勒問題，在得到高分辨Capon功率譜后，還需進行以下處理。

首先確定平臺運動速度、發(fā)射陣元間距以及脈沖重復頻率等先驗知識(這些知識可以由INU和GPS數(shù)據(jù)獲得)以求取雜波脊線的折疊系數(shù)β。這里的先驗知識不需要太準確，因為使用先驗知識的目的僅僅是為了解決多普勒模糊問題。由式(6)除以式(5)則可得折疊系數(shù)為：

β=2V/(drfr)

(17)

如圖4所示，設其中的雜波脊線斜率為k，在此坐標系下其值為1/β。兩直線l1和l2與雜波脊線平行，可確定一陰影區(qū)域(為了描述方便，稱其為“入選區(qū)”)。

圖4 消除多普勒模糊示意圖

l1和l2解析式分別為：

l1:y=kx+b

(18)

l2:y=kx-b

(19)

式中：b值大小決定了入選區(qū)的大小，該值可根據(jù)折疊系數(shù)大小進行相應調整，一般折疊系數(shù)越大，b取值越小。但b取值不能太小，因為入選區(qū)的作用僅僅是去除因多普勒模糊而入選的原子，過小可能會剔除雜波脊線附近本應入選的原子。

設某原子空時二維坐標為(x0,y0)，則該原子要處于入選區(qū)就必須滿足以下式子：

kx0-b≤y0≤kx0+b

(20)

(21)

則最終雜波協(xié)方差矩陣的求解式為：

(22)

需要注意的是，在使用訓練樣本獲得降維字典的過程中，有2種訓練樣本使用策略：①直接將所有訓練樣本平均處理，進行一次求解得到降維字典；②對每個訓練樣本都求取其降維字典，最后將所有降維字典進行綜合。因為每個訓練樣本按上述方法得到的降維字典還是略有差異，為了更加全面地覆蓋強雜波點，本文采用第2種訓練樣本使用策略。

不論是否存在多普勒模糊問題，都按存在多普勒模糊處理，則獲得降維字典的具體步驟可總結如下：

步驟1將整個空時二維平面離散成NsNd個網(wǎng)格，將所有網(wǎng)格節(jié)點對應的空時導向矢量取出組成常規(guī)字典ψ。

步驟2由先驗知識計算雜波脊線的折疊系數(shù)得到直線l1和l2的斜率k，再選取適當?shù)腷值直接得到l1和l2的解析式，從而確定了入選區(qū)；設訓練樣本總數(shù)為L，i表示第i個訓練樣本，令i=1。

步驟3輸入第i個訓練樣本，使用該訓練樣本求得低分辨雜波空時譜σ(0)=ψHyi，然后在此基礎使用FOCUSS算法的迭代式進行迭代；利用迭代得到的稀疏解計算各原子Capon功率譜值，并確定相應的譜值門限。

考慮到字典維數(shù)降低后，待恢復的稀疏信號的稀疏度也會相應降低，這就要求選擇的稀疏恢復算法在稀疏性不是很好時，也具有較好的稀疏恢復性能。經研究發(fā)現(xiàn)，稀疏貝葉斯學習(SBL)類算法、貪婪算法和凸優(yōu)化類算法比較適用于降維字典。故選擇這3類算法中具有代表性的算法進行后續(xù)性能分析。選取的3種算法分別為采用EM迭代尋優(yōu)的SBL算法[14]、正交匹配追蹤(OMP)算法[15]和l1范數(shù)凸優(yōu)化工具包算法[16](用SR-CVX表示)。

2.3 計算復雜度分析

本小節(jié)將考慮3種算法分別使用常規(guī)字典和降維字典的計算復雜度，計算復雜度以使用單個訓練樣本求解雜波協(xié)方差矩陣所需復數(shù)乘法的次數(shù)作為衡量標準。

表1中KSBL表示SBL算法的迭代次數(shù)；KOMP表示OMP算法的迭代次數(shù)，rs表示OMP算法達到收斂條件時的稀疏度；Nr表示降維后的字典維數(shù)。由表1可知，各算法的計算復雜度都有一定下降，但下降程度各不相同，下降程度取決于算法受字典維數(shù)NsNd影響的程度。顯然，SBL算法和SR-CVX算法計算復雜度下降程度較大，而OMP算法計算復雜度的下降程度較小。

表1 計算復雜度比較

3 仿真分析

本節(jié)進行仿真試驗，均勻線陣體制下的機載MIMO雷達仿真參數(shù)如表2所示。

表2 仿真參數(shù)

3.1 不同折疊系數(shù)下降維字典分布

為直觀驗證本文降維字典的合理性，現(xiàn)考慮不同折疊系數(shù)下降維字典在空時二維平面上的分布情況。算法具體參數(shù)設置如下：獲得高分辨雜波空時譜的迭代次數(shù)取2，譜值門限的調節(jié)系數(shù)α取0，確定入選區(qū)的參數(shù)b取0.2。

圖5給出了不同折疊系數(shù)下降維字典的原子分布，其中各點對應著降維字典各原子。圖5(a)和圖5(b) 分別為β取1和0.5時得到的降維字典分布，顯然此時的降維字典原子都連續(xù)分布在雜波脊線附近，完全覆蓋了所有強雜波點位置。圖5(c)為β取2時得到的降維字典分布，可見降維字典原子也只集中在雜波脊線附近，本來應出現(xiàn)的多普勒模糊問題得到了較好的解決。

圖5 降維字典原子分布

3.2 降維字典對輸出SINR的影響

為探究使用降維字典對雜波抑制性能的影響，采用輸出信干噪比 (SINR)作為衡量基準。SINR (無有源干擾時)定義為輸出信號與輸出雜波加噪聲信號能量的比值，具體表示為：

(23)

式中：vt為目標信號矢量；R為雜波協(xié)方差矩陣與噪聲協(xié)方差矩陣之和。

(24)

式中：σv為速度標準偏移量，設置為0.8。

圖6中各輸出SINR曲線均為50次蒙特卡羅實驗所得，每張圖包括SBL、SR-CVX和OMP 3種算法分別使用常規(guī)字典和降維字典的輸出SINR曲線。

圖6 不同條件下輸出SINR比較

由圖6(a)可以看出，理想條件下，SBL算法使用降維字典的輸出SINR性能要比使用常規(guī)字典平均低0.8 dB左右。SR-CVX算法使用降維字典的輸出SINR性能要比使用常規(guī)字典平均高1 dB左右。OMP算法使用降維字典的輸出SINR性能要明顯比使用常規(guī)字典平均高5 dB左右。

由圖6(b)可以看出，在存在ICM的條件下，SBL算法使用降維字典的輸出SINR性能要比使用常規(guī)字典平均低1 dB左右。SR-CVX算法使用降維字典的輸出SINR性能要比使用常規(guī)字典平均高0.5 dB左右。OMP算法使用降維字典的輸出SINR性能要明顯比使用常規(guī)字典平均高6 dB左右。

不論是在哪種條件下，SBL性能都略有下降，但下降程度較小，算法的輸出SINR性能依舊維持較好。SR-CVX算法性能有一定提升，但提升程度較小。而OMP算法性能提升十分明顯，這是因為OMP算法使用降維字典挑出的原子與實際雜波點都距離較近，規(guī)避了挑選到極不合理的原子的風險?？傊?，SBL、SR-CVX算法使用降維字典可以基本維持輸出SINR性能，而OMP算法卻能有較大的提升。

3.3 運算時間比較

為了更直觀地體現(xiàn)出降維字典帶來的運算效率的提升，用稀疏算法處理4個訓練樣本，以最后得到雜波協(xié)方差矩陣所需的平均時間作為衡量標準。實驗選擇在一臺標準筆記本電腦上進行，平臺參數(shù)為2.7 GHz，I5-7200U CPU，內存為8 GB。

如表3、表4所示，不論是在理想條件下，還是存在ICM的條件下，3種稀疏算法使用降維字典的運行時間都比使用常規(guī)字典明顯要短，直接證明了降維字典的有效性。

表3 理想條件下平均運算時間

表4 存在ICM時平均運算時間

顯然，SBL算法運算效率提升最明顯，提升了80倍左右，雖然其在輸出SINR性能上有所下降，但獲得的運算效率提升程度卻是最大的。其次是SR-CVX算法，其運算效率提升了5倍左右。OMP算法運算效率提升了2倍左右，雖然其運算效率提升程度最小，但其輸出SINR性能卻能有較大提升。因為各算法本身計算復雜度受字典維數(shù)的影響不同，所以運算效率的提升程度不同。當然，想要更大程度地提升運算效率可以考慮進一步提升Capon功率譜的門限值，以進一步減少字典維數(shù)，但最終的字典維數(shù)不宜過小，否則會導致恢復精度急劇下降。

4 結語

本文為減小MIMO-STAP稀疏恢復方法的計算復雜度，提出了一種字典降維方法。降維后的字典可以將強雜波點位置完全覆蓋，且能有效克服多普勒模糊帶來的影響。使用降維字典恢復雜波譜，在保證恢復精度的同時，可有效減少計算復雜度，有利于實際的操作使用。仿真結果表明，降維字典中的原子都連續(xù)分布在雜波脊線附近，使用降維字典能夠在維持算法的輸出SINR性能的同時，大幅度地提升運算效率，運算效率的提升程度與算法受字典維數(shù)的影響程度相關。