王小平， 周 問， 劉 博

(空軍工程大學(xué)航空工程學(xué)院， 西安， 710038)

主動(dòng)防御[1]本質(zhì)上屬于飛機(jī)規(guī)避導(dǎo)彈技術(shù)中的一類，但是與傳統(tǒng)飛機(jī)規(guī)避導(dǎo)彈技術(shù)不同，主動(dòng)防御采用直接、主動(dòng)型的進(jìn)攻防御方式代替了傳統(tǒng)被動(dòng)、防守型的逃逸方式，直接發(fā)射防御空空導(dǎo)彈對來襲攻擊導(dǎo)彈實(shí)施攔截，將傳統(tǒng)上的近身逃逸變成了遠(yuǎn)程防御，從而使飛機(jī)不必放棄原有的攻擊態(tài)勢以及飛行任務(wù)，大大提高了飛機(jī)的安全距離，牢牢把握了戰(zhàn)場的主動(dòng)權(quán)。

相比其他規(guī)避策略，主動(dòng)防御策略的產(chǎn)生相對較晚。從2010年以來，對主動(dòng)防御技術(shù)的研究才正式步入正軌。Ilan Rusnak[2]引入飛機(jī)、防御導(dǎo)彈、攻擊導(dǎo)彈的加速度限制，將主動(dòng)防御問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)博弈問題，采用脈沖函數(shù)法得到了防御導(dǎo)彈的次優(yōu)主動(dòng)防御導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[3～5]建立了主動(dòng)防御飛機(jī)、防御導(dǎo)彈、攻擊導(dǎo)彈的對抗模型，將主動(dòng)防御問題轉(zhuǎn)化追蹤逃逸問題，采用終端投影的方法實(shí)現(xiàn)了模型的降階。文獻(xiàn)[6]分析了防御導(dǎo)彈與攻擊導(dǎo)彈采用不同導(dǎo)引律時(shí)的對抗結(jié)果，推導(dǎo)出了不同條件下防御導(dǎo)彈的發(fā)射包線和指令加速度。

當(dāng)前復(fù)雜空戰(zhàn)中，以比例導(dǎo)引律為代表的傳統(tǒng)制導(dǎo)律對于高速機(jī)動(dòng)飛行器的精準(zhǔn)攔截要求已經(jīng)無法滿足[7]。為了滿足的作戰(zhàn)條件日益復(fù)雜的要求，學(xué)者們應(yīng)用現(xiàn)代控制、非線性控制等方法提出了自適應(yīng)控制制導(dǎo)律、微分對策制導(dǎo)律、滑模控制制導(dǎo)律，最優(yōu)控制等多種制導(dǎo)律?；ㄎ娜A等人采用自適應(yīng)滑模控制的方法，對主動(dòng)防御導(dǎo)引律進(jìn)行了設(shè)計(jì)[8]；Song Junhong等人針對多枚導(dǎo)彈協(xié)同攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的三維末制導(dǎo)問題，利用自適應(yīng)和非奇異快速終端滑模理論，提出了一種新的具有沖擊角約束的有限時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律[9]；Chen Jian等人針對追逃問題中的高超聲速目標(biāo)，提出了一種基于非線性比例和微分制導(dǎo)律(NPDG)的分?jǐn)?shù)演算制導(dǎo)算法，有效地減小了針對目標(biāo)機(jī)動(dòng)的誤擊距離，提高了抗干擾能力和魯棒性[10]。

在研究能量消耗時(shí)，Yamasaki[11]基于最優(yōu)控制理論，通過在性能指標(biāo)函數(shù)中加入防御導(dǎo)彈的控制能量，提出了改進(jìn)視線角指令制導(dǎo)律；當(dāng)防御導(dǎo)彈和目標(biāo)飛機(jī)的轉(zhuǎn)彎率存在約束時(shí)，Garcia[12]在最優(yōu)控制理論下目標(biāo)機(jī)的最優(yōu)航向角進(jìn)行了研究，使得防御導(dǎo)彈攔截攻擊導(dǎo)彈時(shí)，目標(biāo)機(jī)能夠?qū)⑵湟T至防御導(dǎo)彈附近。Martin Weiss[13-14]等人針對主動(dòng)防御對抗系統(tǒng)，以攔截導(dǎo)彈與攻擊導(dǎo)彈的脫靶量最小，并且總控制能量最小為優(yōu)化目標(biāo)，設(shè)計(jì)了最優(yōu)制導(dǎo)律。Rusnk[15]將3種飛行器的控制能量、目標(biāo)機(jī)的脫靶量和防御導(dǎo)彈的脫靶量加權(quán)求和得到了性能指標(biāo)，其結(jié)果顯示如果后者的權(quán)重系數(shù)趨于零時(shí)，將能夠簡化目標(biāo)機(jī)和防御導(dǎo)彈的最優(yōu)對策制導(dǎo)律。Rubinsky[16]在考慮到過載受限的情況下，提出了攻擊導(dǎo)彈遠(yuǎn)離防御導(dǎo)彈并持續(xù)靠近目標(biāo)機(jī)的最優(yōu)微分對策。

以上這些研究都是在二維平面進(jìn)行的驗(yàn)證性研究，但是在實(shí)際的主動(dòng)防御過程中，整個(gè)作戰(zhàn)過程是在三維空間中完成的，因此二維平面內(nèi)進(jìn)行的簡化研究難以直接應(yīng)用于實(shí)戰(zhàn)中，如何在現(xiàn)有主動(dòng)防御制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)在三維空間下防御導(dǎo)彈對攻擊導(dǎo)彈的成功捕獲，是目前面臨的一個(gè)亟待解決的問題。

1 攻擊導(dǎo)彈-目標(biāo)機(jī)相對運(yùn)動(dòng)方程

假設(shè)攻擊導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)機(jī)發(fā)生在末制導(dǎo)段，且防御導(dǎo)彈、攻擊導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)角為0°。圖1為二維下攻擊導(dǎo)彈、目標(biāo)機(jī)的相對運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，將攻擊導(dǎo)彈、目標(biāo)機(jī)均視為質(zhì)點(diǎn)，忽略地球引力，并假設(shè)速度均不變。

圖1 二維攻擊導(dǎo)彈-目標(biāo)機(jī)相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系

根據(jù)幾何關(guān)系，可得在視線上的相對速度為：

VrMT=-VMcos(γM+λMT)-VTcos(γT-λMT)

(1)

在垂直于視線上的相對速度為:

VλMT=-VMsin(γM+λMT)-VTsin(γT-λMT)

(2)

由式(1)、式(2)得到相對運(yùn)動(dòng)方程為:

(3)

當(dāng)存在慣性環(huán)節(jié)時(shí)，定義加速度分量與控制量分量關(guān)系如下：

(4)

式中:τM表示攻擊彈M的時(shí)間常數(shù)。

PN制導(dǎo)與APN制導(dǎo)的基本結(jié)構(gòu)相同，可統(tǒng)一表達(dá)為[10]：

(5)

式中：Ni表示導(dǎo)彈的導(dǎo)航系數(shù)；Zi表示零控脫靶量；tgo表示導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間。

當(dāng)采用PN制導(dǎo)時(shí)，NPN在3～5之間，零控脫靶量為：

(6)

當(dāng)采用APN制導(dǎo)時(shí)，NAPN在3～5之間，零控脫靶量為：

(7)

2 二維平面下的三體對抗策略

通常在研究物體運(yùn)動(dòng)的過程中，可以將空間的運(yùn)動(dòng)分解為互相垂直的兩平面的運(yùn)動(dòng)并分別進(jìn)行分析。因此，為研究方便，首先對二維平面主動(dòng)防御策略展開研究。

攻擊導(dǎo)彈(Attacking Missile, M)：攻擊目標(biāo)飛行器；防御導(dǎo)彈(Defender Missile, D)：攔截攻擊導(dǎo)彈；預(yù)警機(jī)(Evading Aircraft, T)：促進(jìn)攔截導(dǎo)彈成功摧毀攻擊導(dǎo)彈，同時(shí)規(guī)避攻擊導(dǎo)彈的攻擊。三體對抗問題可分為2組追逃問題，即M→T追逃問題和D→M追逃問題。攻擊導(dǎo)彈M，防御導(dǎo)彈D，目標(biāo)機(jī)T組成的三體攻防對抗模型如圖2所示。

圖2 T-M-D平面幾何關(guān)系

圖中，X軸是M→T的初始視線，xi(i=M,D,T)、yi(i=M,D,T)分別為X軸、Y軸方向的坐標(biāo)；(Vi,ai,γi)為各飛行器的速度、加速度和航向角，且ai⊥Vi,i={M,D,T}；λMT,λMD為M→T,D→M的視線角；rMT,rMD為M→T,D→M的相對距離；yMT,yMD為rMT,rMD沿Y軸的分量。

目標(biāo)機(jī)、攻擊導(dǎo)彈、防御導(dǎo)彈均采用如下的模型統(tǒng)一描述[17]：

(8)

令狀態(tài)向量為：

則三體攻防對抗的狀態(tài)方程為：

(9)

式中：x1和xnM+nT+3為垂直于LOSO的相對位置；x2和xnM+nT+4為側(cè)向速度，其導(dǎo)數(shù)為側(cè)向加速度。上式改寫為：

(10)

設(shè)rMT(0)和rMD(0)為初始距離，假設(shè)攻擊導(dǎo)彈速度VMT和攔截導(dǎo)彈速度VMD為常值。攻擊/攔截時(shí)間近似為tMT=rMT(0)/VMT和tMD=rMD(0)/VMD，攔截時(shí)間間隔為Δt=tMT-tMD。若攔截任務(wù)成功則Δt>0，攔截任務(wù)剩余時(shí)間和為tgo MD=tMD-t，攔截任務(wù)實(shí)際剩余時(shí)間為tgo 1=tgo MD，攻擊任務(wù)實(shí)際剩余時(shí)間為tgo MT=tgo+Δt。

將攻擊導(dǎo)彈制導(dǎo)律式(5)代入上述主動(dòng)防御對抗系統(tǒng)，設(shè)計(jì)最優(yōu)協(xié)同制導(dǎo)律。優(yōu)化目標(biāo)是使攔截導(dǎo)彈與攻擊導(dǎo)彈的脫靶量最小并且總控制能量最小，因此構(gòu)造如下目標(biāo)函數(shù)：

(11)

引入零控脫靶量：

ZMD(t)=DΦ(tMD,t)x(t)

(12)

式中：Φ(tMD,t)為轉(zhuǎn)移矩陣。由于其僅與攔截導(dǎo)彈控制率uD和飛機(jī)控制率uT有關(guān)，由此可將問題轉(zhuǎn)化為：

(13)

3 三維平面下的三體對抗策略

3.1 模型描述

在實(shí)際主動(dòng)防御對抗中，整個(gè)作戰(zhàn)過程均是在三維空間中完成的。因此，對于“戰(zhàn)斗機(jī)-攻擊導(dǎo)彈-防御導(dǎo)彈”三者的對抗問題，必須在三維空間中進(jìn)行研究。從理論上講，一個(gè)三維空間運(yùn)動(dòng)，可以通過2個(gè)或多個(gè)二維運(yùn)動(dòng)分別加以描述[17]，因此本文考慮將三維空間的三體對抗過程，將其對抗軌跡分別投影到空間坐標(biāo)系下兩平面平面中分別研究，以圖3為例，投影至和平面。

圖3 T-M-D空間幾何關(guān)系

式中：M(xM,yM,zM)，D(xD,yD,zD)，T(xT,yT,zT)，

VM=(cosψMcosθM,cosψMsinθM,sinψM)，

VD=(cosψDcosθD,cosψDsinθD,sinψD)，

VT=(cosψTcosθT,cosψTsinθT,sinψT)，

ψi為各飛行器的傾斜角，θi為各飛行器的方位角。仍然假設(shè)2個(gè)追逃過程均發(fā)生在初始三角碰撞區(qū)域附近，即M-D-C共面(見圖4)，由此可得到VD。

圖4 T-M-D空間投影幾何關(guān)系

將T-M-D由三維空間投影至XOZ平面(見圖5)。

圖5 XOZ平面上T-M-D平面幾何關(guān)系

M1(xM,zM)，D1(xD,zD)，T1(xT,zT)，VM1=(cosψMcosθM,sinψM)VD1=(cosψDcosθD,sinψD)VT1=(cosψTcosθT,sinψT)Vi1=Vicosθi,γi1=ψi,i={M,T,D}

另外，Vi1沿X軸的分量Vi1X=Vicosθicosγi1=Vicosθicosψi；Vi1沿Z軸的分量Vi1Z=Vicosθisinγi1=Vicosθisinψi。

將T-M-D由三維空間投影至平面(見圖6)。

圖6 XOY平面上T-M-D平面幾何關(guān)系

M(xM,yM)，D(xD,yD)，T(xT,yT)VM=(cosψMcosθM,cosψMsinθM)VD=(cosψDcosθD,cosψDsinθD)VT=(cosψTcosθT,cosψTsinθT)Vi2=Vicosψi,γi2=θi,i={M,T,D}

另外，vi2x=Vicosψicosγi2=Vicosψicosθi=Vi1x；Vi2沿Y軸的分量Vi1Z=Vicosψisinγi2=Vicosψisinθi。

由此可見，兩平面上速度關(guān)于公共軸的分量相等。

3.2 時(shí)間軸

在三維空間中，由XOY平面T-M-D平面幾何關(guān)系可知T、M、D之間距離向量為：

(17)

(18)

速度向量與距離向量的夾角余弦值為：

因此由運(yùn)動(dòng)關(guān)系得到三維下T、M、D之間接近速度為：

Vclose_MD=VMcos〈VM,rMD〉+VDcos〈VD,rDM〉

(19)

Vclose_MT=VMcos〈VM,rMT〉+VTcos〈VT,rTM〉

(20)

設(shè)三維下的碰撞時(shí)間為：

(21)

(22)

在XOY平面上，攻擊導(dǎo)彈、防御導(dǎo)彈、目標(biāo)機(jī)的速度大小及速度航跡角為：

VM1=|VMcosψM|，VD1=|VDcosψD|，VT1=|VTcosψT|

γM1=θM，γD1=θD，γT1=θT

攻擊導(dǎo)彈、防御導(dǎo)彈、目標(biāo)機(jī)位置分量分別為：

XM1=XM,YM1=YM,XT1=XT,YT1=YT,XD1=XD,YD1=YD

得到攻擊導(dǎo)彈與防御導(dǎo)彈、目標(biāo)機(jī)的距離為：

(23)

(24)

以及M→T和M→D的視線角為：

(25)

(26)

得到二維下T、M、D之間接近速度為：

Vclose_MT1=-VM1cos(γM1-λMT1)-VT1cos(γT1+λMT1)

(27)

Vclose_MD1=-VM1cos(γM1-λMD1)-VD1cos(γD1+λMD1)

(28)

及二維下的碰撞時(shí)間為：

(29)

(30)

在XOZ平面上可知攻擊導(dǎo)彈、防御導(dǎo)彈、目標(biāo)機(jī)的速度大小及速度航跡角為：

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

攻擊導(dǎo)彈、防御導(dǎo)彈、目標(biāo)機(jī)在坐標(biāo)軸上的位置分別為：

XM2=XM,YM2=ZM,XD2=XD,YD2=ZD,XT2=XT,YT2=ZT

得到攻擊導(dǎo)彈與防御導(dǎo)彈、目標(biāo)機(jī)的距離為：

M→T和M→D的視線角為：

得到二維下T、D、M之間接近速度為：

Vclose_MD2=-VM2cos(γM2+λMD2)-VD2cos(γD2-λMD2)

(37)

Vclose_MT2=-VM2cos(γM2+λMT2)-VT2cos(γT2-λMT2)

(38)

及二維下的碰撞時(shí)間為：

(39)

(40)

由投影關(guān)系可知，存在tgo=tgo 1=tgo 2，tgo MT=tgo MT1=tgo MT2。

3.3 協(xié)同制導(dǎo)策略

將T-M-D由三維空間投影至平面(見圖7)。

圖7 YOZ平面上T-M-D平面幾何關(guān)系

構(gòu)造如下優(yōu)化問題，使得攻擊導(dǎo)彈-攔截導(dǎo)彈脫靶距離|yMD(tMD)|最小。

Minimize

Subject to

(41)

其中，

(42)

令：

(43)

(44)

由此可得：

J=JXOY+JXOZ

(45)

可分解為XOY和XOZ平面獨(dú)立的最優(yōu)求解問題。

在XOY平面上，求解如下問題：

(46)

在XOZ平面上，求解如下問題：

(47)

3.4 問題的求解

在XOY平面上，應(yīng)用拉格朗日乘子法，構(gòu)造增廣泛函：

(48)

式中：λZMD-Y為待定的拉格朗日乘子系數(shù)。

構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)(Hamiltonion)：

(49)

由此可得：

(50)

(51)

因此，由式(51)得到伴隨方程：

(52)

由式(51)、式(52)得到橫截條件：

λZMD-Y(tMD)=αZMD-Y(tMD)

(53)

由式(51)得到控制方程：

(54)

結(jié)合式(49)，式(52)，式(54)求解得到：

(55)

因此得到：

(56)

對式(56)積分得到：

(57)

由式(57)得到：

ΦZMD-Y(tMD,t)=

(58)

最終求得目標(biāo)機(jī)和防御導(dǎo)彈在XOY平面上的最優(yōu)制導(dǎo)律為：

(59)

在XOZ平面上，按照上述XOY平面上的求解過程，同理可得目標(biāo)機(jī)和防御導(dǎo)彈在XOZ平面上的最優(yōu)制導(dǎo)律為：

(60)

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的最優(yōu)協(xié)同制導(dǎo)律的有效性，假設(shè)在敵機(jī)發(fā)射攻擊導(dǎo)彈之初，防御方發(fā)射防御導(dǎo)彈進(jìn)行攔截。將主動(dòng)防御導(dǎo)引律做為飛機(jī)-導(dǎo)彈協(xié)同主動(dòng)防御方法中防御導(dǎo)彈的導(dǎo)引律，以飛機(jī)、防御導(dǎo)彈共同作為主動(dòng)防御策略的實(shí)施主體，設(shè)脫靶量小于1 m做為攔截有效的指標(biāo)，分析其攔截效能[17]。設(shè)仿真步長T=0.5 ms，目標(biāo)機(jī)、攻擊導(dǎo)彈及防御導(dǎo)彈的模型參數(shù)和初始狀態(tài)分別如表1和表2所示。

表1 One-on-One仿真系統(tǒng)參數(shù)

表2 目標(biāo)機(jī)、防御導(dǎo)彈、攻擊導(dǎo)彈初始狀態(tài)

實(shí)驗(yàn)1采用傳統(tǒng)的PN導(dǎo)引律律，仿真結(jié)果分別如圖8和圖9所示。

圖8 攔截軌跡

圖9 加速度變化

由圖8和圖9可知，將目標(biāo)機(jī)、防御導(dǎo)彈同時(shí)作為主動(dòng)防御策略的實(shí)施主體，采用PN導(dǎo)引律時(shí)，其有效脫靶量為0.001 8 m，最大過載約40g，滿足防御要求，能夠?qū)崿F(xiàn)對攻擊導(dǎo)彈的有效攔截，由此驗(yàn)證了PN導(dǎo)引律的有效性。

在相同的初始條件下，實(shí)驗(yàn)2采用最優(yōu)協(xié)同制導(dǎo)律，其仿真結(jié)果如圖10和圖11所示。

圖10 攔截軌跡

圖11 加速度變化

由圖10和圖11可知，采用最優(yōu)制導(dǎo)律時(shí)，能夠?qū)崿F(xiàn)對攻擊導(dǎo)彈的有效攔截，其有效脫靶量為0.61 m，在末短時(shí)出現(xiàn)最大過載約35g。上述仿真同樣也驗(yàn)證了主動(dòng)防御最優(yōu)協(xié)同制導(dǎo)律的有效性，同時(shí)由于PN制導(dǎo)律只需考慮脫靶量指標(biāo)，因此防御導(dǎo)彈脫靶量精度比最優(yōu)協(xié)同要高，但最優(yōu)導(dǎo)引律下防守方能夠以小于采用PN導(dǎo)引律所需的代價(jià)引誘并攔截攻擊導(dǎo)彈，即采用最優(yōu)協(xié)同制導(dǎo)律時(shí)，對防御導(dǎo)彈的過載要求減少，因此通過調(diào)節(jié)參數(shù)，能夠協(xié)調(diào)指標(biāo)平衡，這證明了最優(yōu)制導(dǎo)律相較于PN導(dǎo)引律的優(yōu)越性。

5 結(jié)語

本文主要在對飛機(jī)主動(dòng)防御問題分析的基礎(chǔ)上，提出了飛機(jī)-導(dǎo)彈協(xié)同主動(dòng)防御的方法。采用最優(yōu)控制理論，提出了一種基于變分法的主動(dòng)防御最優(yōu)協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法，首先在二維平面內(nèi)，建立了基于LOS的三體對抗模型，結(jié)合攻擊導(dǎo)彈、防御導(dǎo)彈、目標(biāo)機(jī)和攻擊導(dǎo)彈的制導(dǎo)律數(shù)學(xué)模型，建立各自情況下的主動(dòng)防御系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程；綜合考慮攔截脫靶量、控制量等優(yōu)化指標(biāo)，進(jìn)一步將主動(dòng)防御制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題，采用變分法，根據(jù)最優(yōu)化的條件，推導(dǎo)出了二維平面內(nèi)目標(biāo)機(jī)與攔截導(dǎo)彈協(xié)同的最優(yōu)主動(dòng)防御制導(dǎo)律。在此基礎(chǔ)上，通過三維空間主動(dòng)防御過程的二維投影的方法，將三維主動(dòng)防御制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相互約束的二維平面制導(dǎo)律(水平面和垂直面)設(shè)計(jì)問題，實(shí)現(xiàn)了協(xié)同制導(dǎo)律從二維平面向三維空間的擴(kuò)展，提高實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用效果。