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(安徽省合肥市新東方外語(yǔ)培訓(xùn)學(xué)校 230000)

一、基礎(chǔ)概念說明

1.對(duì)稱式

2.齊次式

一個(gè)n元多項(xiàng)式的各項(xiàng)的次數(shù)均等于同一個(gè)常數(shù)r，那么稱這個(gè)多項(xiàng)式為n元r次齊次多項(xiàng)式.例如，

含三個(gè)字母的三元一次齊對(duì)稱式為：A(x+y+z)；

含三個(gè)字母的三元二次齊對(duì)稱式為：A(x2+y2+z2)+b(xy+yz+zx)；

含三個(gè)字母的三元三次齊對(duì)稱式為：

a(x3+y3+z3)+b(x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y)+cxyz.

3.交代式(多見于因式分解)

4.輪換式

一個(gè)多項(xiàng)式含有x、y、z，如果用x替換y，y替換z，z替換x，得到的代數(shù)式與原來的代數(shù)式還相等，那么稱這個(gè)代數(shù)式為輪換對(duì)稱式，簡(jiǎn)稱輪換式.顯然，對(duì)稱式一定是輪換式，但輪換式不一定是對(duì)稱式.例如，a(x2+y2+z2)是對(duì)稱式也是輪換式；b(x2y+y2z+z2x)是輪換式，但不是對(duì)稱式.

二、運(yùn)用示例

對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用主要是涉及整式乘法、因式分解、分式這三個(gè)模塊.掌握對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式在七年級(jí)數(shù)學(xué)中的整式乘法、因式分解、分式，使得解這類題更加簡(jiǎn)便.在有關(guān)不等式中的應(yīng)用屬于較高要求.

1.在整式乘法中的運(yùn)用

例1計(jì)算：(a+b+c)3.

分析(a+b+c)3是一個(gè)三次齊次的對(duì)稱式，則展開式是含字母a ，b ，c的三次齊次的對(duì)稱式，其同型式的系數(shù)相等，可用待定系數(shù)法.

解設(shè)(a+b+c)3=m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc(m、n、p是待定系數(shù)).

令a=1,b=0,c=0.比較左右兩邊系數(shù)得m=1；

令a=1,b=1,c=0比較左右兩邊系數(shù)得2m+2n=8；

令a=1,b=1,c=1比較左右兩邊系數(shù)得3m+6n+p=27.

點(diǎn)評(píng)這道題如果使用整式乘法法則計(jì)算，會(huì)比較復(fù)雜，但是在掌握了齊次式的概念，就能知道該式子展開是什么類型，不能確定的就是系數(shù)，因此利用待定系數(shù)法，就可快速求得結(jié)果.

點(diǎn)評(píng)兩個(gè)對(duì)稱式(輪換式)的和，差，積，商(除式不為零)，仍然是對(duì)稱式(輪換式).

2.在因式分解中的運(yùn)用

基本規(guī)律：兩個(gè)對(duì)稱式(輪換式)的和，差，積，商(除式不為零)，仍然是對(duì)稱式(輪換式).故：輪換式的因式分解結(jié)果仍是輪換式，交代式的因式分解結(jié)果一般是交代式和輪換式的乘積.交代式一般僅在因式分解當(dāng)中有所考察.

例3分解因式：(b-c)3+(c-a)3+(a-b)3.

分析原式多項(xiàng)式是輪換式，則因式分解的結(jié)果還是一個(gè)輪換式.利用因式定理可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=b時(shí)，多項(xiàng)式值為零，因此，分解過后的式子肯定含有a-b，則同時(shí)含有b-c和c-a，這時(shí)候只要確定系數(shù)即可.

解設(shè)(b-c)3+(c-a)3+(a-b)3=k(a-b)(b-c)(c-a),令a=2,b=1,c=a得k=3.故：(b-c)3+(c-a)3+(a-b)3=3(a-b)(b-c)(c-a).

點(diǎn)評(píng)這道題關(guān)鍵點(diǎn)是運(yùn)用因式定理，但是對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式的知識(shí)會(huì)在當(dāng)中起到輔助的作用.另外，要注意的是，這道題分解的結(jié)果并不是簡(jiǎn)單的(a-b)(b-c)(c-a)相乘，前面還有系數(shù).

變式因式分解：a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).

解∵當(dāng)a=b時(shí)，a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=0,

∴有因式a-b及其同型式b-c,c-a.

∵原式是四次齊次輪換式，除以三次齊次輪換式(a-b)(b-c)(c-a)，可得一次齊次的輪換式a+b+c.用待定系數(shù)法：得a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a).

例4 因式分解：x3-y3.

分析x3-y3是一個(gè)三次齊次交代式，則因式分解的結(jié)果是奇數(shù)個(gè)交代式與若干個(gè)對(duì)稱式相乘.而利用因式定理可知，x3-y3因式分解的結(jié)果含有一個(gè)x-y，剩下的就是一個(gè)二次對(duì)稱式了，設(shè)該二次對(duì)稱式為m(x2+y2)=kxy，易知m=1，只要確定k即可.

解設(shè)x3-y3=(x-y)(x2+kxy+y2),當(dāng)x=1,y=-1時(shí)，解得k=1,故x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2).

點(diǎn)評(píng)x3-y3是一個(gè)交代式，則x3-y3的分解結(jié)果會(huì)含有交代式和輪換式，當(dāng)x=y時(shí)，原代數(shù)式為0，故x3-y3含有因式x-y，這個(gè)剛好是交代式，剩下一個(gè)次數(shù)是2的輪換式.

例5 因式分解：x3+y3+z3-3xyz.

分析x3+y3+z3-3xyz是一個(gè)對(duì)稱式，當(dāng)x+y+z=0時(shí)，原式為0，故x3+y3+z3-3xyz因式分解含有x+y+z，而x3+y3+z3是一個(gè)三次齊次輪換式，則分解后剩下的部分是二次齊次輪換式，可設(shè)為：A(x2+y2+z2)+B(xy+yz+zx).

解x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)[A(x2+y2+z2)+B(xy+yz+zx)]，利用待定系數(shù)法求得A=1，B=-1.故x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx).

點(diǎn)評(píng)一次齊次的輪換式形如：A(x+y+z)，二次齊次的輪換式形如：A(x2+y2+z2)+B(xy+yz+zx).

3.在分式中的運(yùn)用

對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式在此模塊中的核心解題技巧是：

(1)若含有x、y、z的代數(shù)式是對(duì)稱式，則在解題中可設(shè)x≤y≤z；

(2)若含有x、y、z的代數(shù)式是輪換式，且x，y滿足性質(zhì)p，則x，z；y，z也滿足性質(zhì)p；

所以：(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1=1,得:ab+bc+ca=1,所以：a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=14.

點(diǎn)評(píng)這道題難度大，對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式的存在提供了一個(gè)解題方向：對(duì)三個(gè)式子進(jìn)行相同的處理.這就是對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式存在的意義.

分析這道題條件中的代數(shù)式是三個(gè)輪換式，而且條件是三個(gè)等式，這里處理的方式即是對(duì)三個(gè)等式進(jìn)行相同的變化.

分析典型的輪換式，對(duì)條件的三個(gè)式子同時(shí)取倒數(shù)即可.

點(diǎn)評(píng)此題對(duì)于條件的變化方式還是相同：取倒數(shù).變化后的式子依然是相加得到所需結(jié)果.

三式相乘得：x2y2z2=1,故xyz=±1.

點(diǎn)評(píng)此題條件是連等式，解決方式則是將連等式轉(zhuǎn)化成三個(gè)等式.前提條件是準(zhǔn)備認(rèn)識(shí)到題目條件給出的是輪換式.難點(diǎn)在于三個(gè)等式的變化方式.因此，在理解“輪換式”的基礎(chǔ)上，還是要進(jìn)行一些嘗試，才能得到最終的解題方式.

4.在有關(guān)不等式中的應(yīng)用

例11 (2019高考數(shù)學(xué)全國(guó)1卷第23題[選修4-5：不等式選講])已知a、b、c為正數(shù)，且滿足abc=1.證明：

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

分析第(1)問是一個(gè)明顯的對(duì)稱式，第二問是一個(gè)明顯的輪換式.第一問只要將分子1換成abc，然后移項(xiàng)配方就可以做出來；第2問要用到均值不等式.

?a2+b2+c2-ab-ac-bc≥0

點(diǎn)評(píng)對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式給出了一些解題方向，第1問處理方式，第二問部分處理方式.但是重要的還是課內(nèi)的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式能算得上“錦上添花”.第2問要用到均值不等式的延伸：a3+b3+c3≥3abc.

以上例題還存在片面性，對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式一般出現(xiàn)在競(jìng)賽相關(guān)的知識(shí)當(dāng)中，學(xué)習(xí)這個(gè)可以鍛煉思維，能夠?qū)W會(huì)從不同角度解決問題，提升思維能力、解題能力.