華俊凱，張文福,，趙文艷，黃斌，詹陽，計(jì)靜

（1.蘇州科技大學(xué)，江蘇 蘇州 215000；2.南京工程學(xué)院，江蘇 南京 211167；3.東北石油大學(xué)，黑龍江 大慶 163318）

0 引言

大跨度桁架拱結(jié)構(gòu)作為橋梁和大跨度建筑重要的支承結(jié)構(gòu)，在工程領(lǐng)域已有廣泛應(yīng)用，但其設(shè)計(jì)理論體系仍未完善。

目前對(duì)于實(shí)腹式拱結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析較多，對(duì)于平面桁架拱的研究還較少。 以平面桁架圓管鋼拱為研究對(duì)象， 如圖1 所示， 其中R 為圓拱半徑，θ 為圓心角，S 為圓拱弧長，h 為桁架截面上下弦桿形心之間的距離。 取平面桁架單一節(jié)間進(jìn)行分析， 將斜腹桿按扭轉(zhuǎn)剛度等效原則等效為腹板后，基于板-梁理論求出平面桁架的抗彎、抗扭以及翹曲剛度。 利用ANSYS 對(duì)不同跨徑比的軸壓和純彎鉸支拱進(jìn)行有限元建模與分析，驗(yàn)證所給出的截面參數(shù)的正確性。

圖1 桁架拱

1 彎扭屈曲應(yīng)變能及截面參數(shù)

1.1 板-梁理論

板-梁理論是由張文福[1-4]教授提出的薄壁構(gòu)件組合扭轉(zhuǎn)以及彎扭屈曲問題的新工程理論。其基本假設(shè)為：①剛周邊假設(shè)；②板變形假設(shè)；③梁變形假設(shè)。 對(duì)于開口截面構(gòu)件，將薄壁板件的變形分為扭轉(zhuǎn)變形和彎曲變形， 分別用Kirchhoff 薄板理論和Euler 梁理論進(jìn)行分析。 對(duì)于扭轉(zhuǎn)變形，令其遵循剛周邊假設(shè)。

1.2 腹桿的等效

對(duì)于細(xì)長的平面桁架，腹桿主要抵抗扭矩的作用，因此令腹桿對(duì)形心的抗扭剛度等效為腹板的抗扭剛度，可得

即

可解得等效腹板的厚度tw為

式中：G為材料剪切模量；It，f3和It,w分別為腹桿和等效腹板截面極慣性矩；Df3為腹桿外徑；hw為等效腹板高度；αf3=df3/Df3為腹桿內(nèi)外徑之比。

1.3 等效腹板應(yīng)變能

1.3.1 等效腹板截面任意點(diǎn)的位移

圖2 截面變形

如圖2 所示，腹板局部坐標(biāo)系軸與截面整體坐標(biāo)系x軸之間的夾角為α，腹板截面任意點(diǎn)在局部坐標(biāo)系下的坐標(biāo) （n，s） 和整體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)（0，0）之間的關(guān)系可表示為

腹板截面任意點(diǎn)（n，s）沿n，s軸方向的位移μn,w、μs,w及截面形心繞z軸的轉(zhuǎn)角θw可表示為

其中

可得腹板形心位移為

其中，u0w、v0w、w0w分別為腹板形心沿著局部坐標(biāo)系n軸、s軸、z軸方向的位移。

1.3.2 等效腹板的平面內(nèi)彎曲應(yīng)變能

根據(jù)變形分解原理，腹板平面內(nèi)位移可分解為

沿著n軸的位移

沿著s軸的位移

縱向位移由Euler 梁模型來確定

平面內(nèi)彎曲的幾何方程

平面內(nèi)彎曲的物理方程

則應(yīng)變能根據(jù)

可得

其中，E為材料彈性模量。

1.3.3 等效腹板的平面外扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能

根據(jù)變形分解原理，腹板平面外位移可分解為：

沿著n軸的位移

沿著s軸的位移

縱向位移由Kirchhoff 薄板模型來確定

平面外彎曲的幾何方程

根據(jù)物理方程式（14），可得平面外彎曲應(yīng)變能為

1.4 弦桿彎扭屈曲應(yīng)變能

與腹板求解過程相同， 上弦桿平面內(nèi)彎曲的應(yīng)變能為

其中，Df為弦桿外徑；αf=df/Df為弦桿內(nèi)外徑之比。

上弦桿平面外彎曲的應(yīng)變能為

下弦桿平面內(nèi)彎曲的應(yīng)變能為

下弦桿平面外彎曲的應(yīng)變能為

則平面桁架拱單一節(jié)間彎扭屈曲的總應(yīng)變能為

令

為平面外抗彎剛度；

為截面翹曲剛度；

為截面自由扭轉(zhuǎn)剛度。

則可將應(yīng)變能轉(zhuǎn)化為一般形式，即

2 桁架截面參數(shù)的簡(jiǎn)化算法

平面桁架拱截面參數(shù)的簡(jiǎn)化算法如下

其中，Iyc為弦桿截面慣性矩。

其中，It，c為弦桿截面極慣性矩。

3 桁架拱平面外彈性屈曲極限承載力

桁架拱與實(shí)腹式拱在穩(wěn)定的平面外變形情況上并無明顯區(qū)別， 因此可以沿用實(shí)腹式拱平面外穩(wěn)定性的極限荷載公式。 簡(jiǎn)支拱受力情況如圖3所示。

圖3 截面變形

為模擬理想的簡(jiǎn)支拱受壓與受彎情況，令一拱腳可沿法向滑動(dòng)。

3.1 純壓作用下的極限承載力

實(shí)腹式拱在純壓作用下的彎扭屈曲極限荷載Nysa為

其中，kysac為純壓拱的平面外屈曲系數(shù)， 其表達(dá)式為

其中，

式中，Mys為簡(jiǎn)支梁在純彎矩作用下的平面外屈曲極限荷載；Ny為簡(jiǎn)支柱在軸壓作用下的屈曲荷載；Ns為簡(jiǎn)支柱在扭轉(zhuǎn)作用下的屈曲荷載。

3.2 純彎作用下的極限承載力

拱在純彎矩作用下的彎扭屈曲極限荷載Mysa為

其中，kysam為純彎拱的平面外屈曲系數(shù)，其表達(dá)式為

求解純彎拱平面外屈曲方程可得

4 有限元對(duì)比驗(yàn)證

為驗(yàn)證求解的截面參數(shù)與簡(jiǎn)支拱平面外屈曲極限承載力的正確性，用ANSYS 建立有限元模型，模型采用BEAM188 單元，分別建立不同徑跨比的簡(jiǎn)支桁架拱。 相關(guān)截面尺寸與徑跨比如表1 所示。

4.1 軸壓拱彎扭屈曲荷載公式驗(yàn)證

將式（29）-（31）和式（33）-（35）計(jì)算所得的桁架節(jié)間截面參數(shù)分別代入式（36）-（39），計(jì)算桁架拱平面外屈曲荷載，與有限元分析結(jié)果對(duì)比（假設(shè)有限元結(jié)果為精確解），如表2 所示。

由表2 可知，式（29）-（31）計(jì)算結(jié)果更能準(zhǔn)確地反映截面性質(zhì)，腹桿對(duì)于整體截面剛度有較大影響。

表1 有限元模型參數(shù)

表2 軸壓拱平面外屈曲荷載

4.2 純彎拱彎扭屈曲荷載公式驗(yàn)證

對(duì)于純彎簡(jiǎn)支拱，將式（29）-（31）分別代入式（40）和式（41），并與有限元結(jié)果對(duì)比，如表3 所示。

表3 純彎拱平面外屈曲荷載

由表3 可知，在一般情況下式（40）和（41）的平面外屈曲荷載公式都具有良好的精度。但對(duì)于細(xì)長構(gòu)件，式（40）計(jì)算結(jié)果誤差可達(dá)24.78%，不能真實(shí)反映簡(jiǎn)支桁架拱的力學(xué)性能。

5 結(jié)論

（1）平面桁架拱在平面外變形過程中具有與實(shí)腹式拱相同的受力及變形特點(diǎn)，因此實(shí)腹式拱的平面外穩(wěn)定理論可以應(yīng)用于平面桁架拱。

（2）板-梁理論無需運(yùn)用傳統(tǒng)的扇性坐標(biāo)，能精確推導(dǎo)出薄壁構(gòu)件的各類截面參數(shù)； 腹桿對(duì)于平面桁架抵抗彎扭屈曲具有較大幫助。

（3）式（40）和式（41）的平面外屈曲荷載公式都具有良好的精度，但不能用于細(xì)長的純彎簡(jiǎn)支拱平面外屈曲荷載計(jì)算。