王靖

(復(fù)旦大學(xué)物理系， 應(yīng)用表面物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 上海 200433)(2020 年4 月11日收到; 2020 年5 月13日收到修改稿)

手征馬約拉納費(fèi)米子是具有手性的無質(zhì)量費(fèi)米子， 是其本身的反粒子， 只能存在于1+1維(即1維空間+1維時(shí)間)或者9+1維. 在凝聚態(tài)物理中， 1維手征馬約拉納費(fèi)米子可看成1/2分?jǐn)?shù)化的狄拉克費(fèi)米子， 并作為二維拓?fù)鋺B(tài)的邊緣元激發(fā). 奇數(shù)個(gè)手征馬約拉納費(fèi)米子邊緣態(tài)的存在也預(yù)示著體系中存在滿足非阿貝爾量子統(tǒng)計(jì)的伊辛任意子. 手征馬約拉納費(fèi)米子也可進(jìn)行非阿貝爾編織， 理論上可用來實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)量子計(jì)算，因此近年來在凝聚態(tài)物理研究中引起了廣泛的興趣. 本文從二維拓?fù)鋺B(tài)出發(fā)， 介紹手征拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)和量子反?；魻枒B(tài)之間的深刻聯(lián)系， 并由此得出量子反?；魻柶脚_(tái)轉(zhuǎn)變與超導(dǎo)近鄰實(shí)現(xiàn)手征馬約拉納費(fèi)米子的方案，最后以單通道手征馬約拉納費(fèi)米子為例， 探討其實(shí)現(xiàn)電子態(tài)的非阿貝尓量子門.

1 引 言

凝聚態(tài)物理最重要的主題之一就是發(fā)現(xiàn)和表征各種不同的物質(zhì)形態(tài). 在量子世界里， 不同空間排列的原子通過外層價(jià)電子的耦合形成各種各樣的物質(zhì)態(tài). 比如金屬、絕緣體、磁體或者超導(dǎo)體. 這些量子態(tài)可以通過自發(fā)對稱性破缺的原理來進(jìn)行分類[1]， 例如， 晶體破壞平移對稱性; 磁體破壞旋轉(zhuǎn)對稱性; 而超導(dǎo)體則破壞規(guī)范對稱性. 對稱破缺的模式給出有序相中非零的序參量， 可通過朗道-金茲堡(Landau-Ginzberg)有效場論來描述[2]. 直到1980年， 量子霍爾效應(yīng)(quantum Hall effect)在強(qiáng)磁場二維電子氣中的發(fā)現(xiàn)[3]導(dǎo)致了一種全新的物質(zhì)態(tài)分類標(biāo)準(zhǔn): 拓?fù)湫騕4，5]. 量子霍爾態(tài)不破壞任何對稱性， 完全由電子態(tài)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)決定， 而與材料的幾何結(jié)構(gòu)無關(guān). 比如量子化的霍爾電導(dǎo)(其中 h 是普朗克常數(shù)，e 是電子電荷，C 是整數(shù))和無能隙的手征邊緣態(tài)數(shù)目等基本特性不依賴于體系參數(shù)的緩變， 基本上不受雜質(zhì)、無序以及相互作用的影響， 只要不關(guān)閉體態(tài)的能隙就不會(huì)影響邊緣態(tài)的性質(zhì)[4，6]. 或者說， 要破壞邊緣態(tài)，一定要經(jīng)過一個(gè)量子相變， 它與前面所說的所有物質(zhì)態(tài)是拓?fù)洳煌? 量子霍爾效應(yīng)具有拓?fù)漪敯粜?topological robust)的本質(zhì)原因是空間分離(spatial separation)， 如圖1所示， 兩個(gè)相向傳播的一維電子態(tài)分離成局域在二維體系上下邊界的邊緣態(tài).

圖 1 二維體系中的拓?fù)鋺B(tài). (上) 手征拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)與量子霍爾態(tài)的對應(yīng)， 在這兩個(gè)體系中， 時(shí)間反演對稱性破缺， 同時(shí)存在手征邊界態(tài); (下) 螺旋拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)與量子自旋霍爾態(tài)的對應(yīng)， 這兩個(gè)體系同時(shí)保持時(shí)間反演對稱性， 且存在螺旋邊界態(tài). 從邊界態(tài)的自由度來看， (QSH) = (QH)2 = (Helical SC)2 = (Chiral SC)4， 其中QSH = 量子自旋霍爾態(tài)， QH = 量子霍爾態(tài)， Helical SC = 螺旋拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)， Chiral SC = 手征拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)， 指數(shù)1， 2， 4指這幾種拓?fù)湮镔|(zhì)中邊界態(tài)自由度之間的關(guān)系. 取自文獻(xiàn)[26]Fig. 1. Topological states in 2D. Top row: Schematic comparison of a 2D chiral superconductor and the QH/QAH state. In both systems， TR symmetry is broken and the edge states carry a definite chirality. Bottom row: Schematic comparison of a 2D TR-invariant TSC and the QSH insulator. Both systems preserve TR symmetry and have a helical pair of edge states， where opposite spin states counterpropagate. The dashed lines show that the edge states of the superconductors are Majorana fermions so that the E ＜ 0 part of the quasiparticle spectra is redundant. In terms of the edge-state degrees of freedom， we have (QSH) = (QH/QAH)2= (Helical SC)2 = (Chiral SC)4. The QAH state can be obtained from the QSH state by magnetic doping， and the chiral TSC state can be obtained from the QAH state by proximity contact with a conventional superconductor. The superscripts 1， 2， 4 denote relation of the number of degree of freedom of edge states in these topological matter. Adapted from Ref. [26]， APS.

量子霍爾態(tài)破壞時(shí)間反演對稱性(timereversal symmetry). 近年來， 一種新的具有時(shí)間反演對稱的拓?fù)鋺B(tài)被發(fā)現(xiàn)， 稱為量子自旋霍爾態(tài)， 或拓?fù)浣^緣體(topological insulator)[7-11]. 拓?fù)浣^緣體與通常絕緣體一樣都存在體能隙將導(dǎo)帶和價(jià)帶隔開， 不同的是在拓?fù)浣^緣體的表面(或者二維拓?fù)浣^緣體系的邊界)存在無能隙的且受時(shí)間反演對稱性保護(hù)的金屬態(tài). 二維拓?fù)浣^緣體呈現(xiàn)量子自旋霍爾效應(yīng)(quantum spin Hall)[7-9]. 量子自旋霍爾態(tài)形成機(jī)制是強(qiáng)自旋軌道耦合導(dǎo)致的能帶反轉(zhuǎn)[8]，并由 Z2的拓?fù)鋽?shù)來描述[12，13]. 簡單來說， 量子自旋霍爾態(tài)可看成是互為時(shí)間反演對稱的兩個(gè)量子霍爾態(tài)的疊加， 其邊界存在具有時(shí)間反演對稱性的一維螺旋邊緣態(tài)(helical edge state)， 如圖1所示.量子自旋霍爾態(tài)的輸運(yùn)完全由螺旋邊界態(tài)決定， 但是非彈性散射可使得螺旋邊界態(tài)出現(xiàn)耗散. 量子自旋霍爾態(tài)可以推廣至三維拓?fù)浣^緣體[14-16]， 其表面存在奇數(shù)個(gè)二維狄拉克錐(Dirac cone).

在二維量子自旋霍爾態(tài)中引進(jìn)鐵磁序， 時(shí)間反演對稱性遭到破壞， 同時(shí)螺旋邊界態(tài)蛻變成手征邊界態(tài)， 這個(gè)物態(tài)稱為量子反常霍爾態(tài)(quantum anomalous Hall state). 在這個(gè)新的量子態(tài)中， 電子在特定的邊界只沿著特定的方向運(yùn)動(dòng)， 從而阻止了彈性以及非彈性散射， 形成無耗散的電子輸運(yùn).量子反?；魻枒B(tài)是一種拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)， 并呈現(xiàn)出量子化的反?；魻栃?yīng)， 可以看成是無朗道能級和無外磁場的量子霍爾態(tài)， 并完全由電子態(tài)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)決定. 量子反?；魻枒B(tài)由電子能帶的陳數(shù) C (Chern number)來刻畫并呈現(xiàn)出手征邊界態(tài)[4，6]， 基本的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象是在四端輸運(yùn)測量中量子化的反?；魻栯妼?dǎo)以及為零的縱向電導(dǎo). 量子自旋霍爾效應(yīng)可以看成是互為時(shí)間反演對稱的兩個(gè)量子反常霍爾效應(yīng)的疊加(如圖1所示)， 因此反過來量子反常霍爾效應(yīng)可以通過在量子自旋霍爾態(tài)中引入時(shí)間反演對稱性破缺來實(shí)現(xiàn). 早在1988年Haldane[17]就提出了一個(gè)玩具模型可以實(shí)現(xiàn)量子反?；魻枒B(tài)， 然而在固體體系中實(shí)現(xiàn)Haldane模型卻非常困難. 直到量子自旋霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)之后[8，9]， 量子反常霍爾效應(yīng)才變?yōu)榭赡躘18-24].

在以上絕緣體中的拓?fù)涓拍羁梢灾苯討?yīng)用到具有能隙的超導(dǎo)體中. 在時(shí)間反演對稱破缺px+ipy配對的手征超導(dǎo)態(tài)中[25]， 強(qiáng)配對相和弱配對相具有不同的拓?fù)湫再|(zhì). 在弱配對相中， 體系具有超導(dǎo)能隙且存在無能隙的手征馬約拉納費(fèi)米子(chiral Majorana fermion)邊緣態(tài). 手征拓?fù)涑瑢?dǎo)體(chiral topological superconductor)是一種全新的拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)， 它與量子霍爾態(tài)之間有著一一對應(yīng)關(guān)系[26]: 它們都破壞時(shí)間反演對稱性， 并且存在無能隙的手征邊緣態(tài). 但是， 手征拓?fù)涑瑢?dǎo)的邊緣態(tài)僅僅只有量子霍爾邊緣態(tài)一半的自由度. 手征拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)可以用拓?fù)鋽?shù)為整數(shù) N 來刻畫.

基于手征拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)與量子霍爾態(tài)之間的相似性， 很自然地可以將量子自旋霍爾態(tài)推廣至螺旋拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)(helical topological superconductor).其中自旋向上的電子形成 px+ipy的配對態(tài)， 而自旋向下的電子形成 px-ipy的配對態(tài). 很顯然， 螺旋拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)具有時(shí)間反演對稱性， 且在超導(dǎo)能隙中存在無能隙的螺旋馬約拉納費(fèi)米子邊緣態(tài)(作為類比， 量子自旋霍爾絕緣體中的螺旋狄拉克邊緣態(tài)具有兩倍的自由度). 與量子自旋霍爾態(tài)一樣， 螺旋拓?fù)涑瑢?dǎo)體中的邊緣態(tài)被時(shí)間反演對稱所保護(hù)， 并由Z2的拓?fù)鋽?shù)來刻畫[26]. 在此體系中時(shí)間反演對稱性衍生出超對稱[26]. 二維螺旋拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)可推廣至三維拓?fù)涑瑢?dǎo)， 其具有整數(shù)的分類[26-28]. 以上4種二維拓?fù)鋺B(tài)的示意圖見圖1. 其中量子自旋霍爾態(tài)存在螺旋狄拉克邊界態(tài)， 其自由度是量子霍爾態(tài)中手征狄拉克邊緣態(tài)的兩倍; 而螺旋拓?fù)涑瑢?dǎo)存在螺旋馬約拉納邊界態(tài)， 其自由度是手征拓?fù)涑瑢?dǎo)中 手征馬約拉納邊界態(tài)的兩倍.

2 量子反常霍爾態(tài)

我們知道， 拓?fù)浣^緣體的形成機(jī)制是強(qiáng)自旋軌道耦合導(dǎo)致的能帶反轉(zhuǎn)(band inversion)， 因此量子反?；魻栃?yīng)的機(jī)制是二維極化能帶的反轉(zhuǎn)[19].形成量子反?；魻枒B(tài)的基本元素包括二維體系、自旋軌道耦合、時(shí)間反演對稱性破缺和可調(diào)的化學(xué)勢. 磁性拓?fù)浣^緣體薄膜便成為研究量子反?；魻栃?yīng)絕佳的平臺(tái)[20，22]. 拓?fù)浣^緣體薄膜是二維強(qiáng)自旋軌道耦合體系， 其低能行為由狄拉克表面態(tài)描述， 由于量子限制效應(yīng)， 上下表面的狄拉克電子相互耦合產(chǎn)生表面態(tài)的能隙. 當(dāng)用狄拉克方程去描述絕緣體薄膜上下表面態(tài)的耦合時(shí)， 能隙就對應(yīng)狄拉克方程里的質(zhì)量. 所以“負(fù)能隙”又被稱為“負(fù)質(zhì)量”. 能隙的“正”或“負(fù)”決定了此拓?fù)浣^緣體薄膜處于拓?fù)淦接沟慕^緣態(tài)或量子自旋霍爾態(tài). 在拓?fù)浣^緣體薄膜中引入鐵磁長程序會(huì)使得狄拉克電子產(chǎn)生自旋劈裂. 當(dāng)自旋劈裂的能量大于表面態(tài)能隙的絕對值， 就可以形成極化能帶的反轉(zhuǎn)， 體系將處于量子反?；魻枒B(tài). 因此在磁性拓?fù)浣^緣體中實(shí)現(xiàn)量子反?；魻枒B(tài)的基本條件是: 鐵磁長程序誘導(dǎo)足夠強(qiáng)的交換相互作用[22].

如何在拓?fù)浣^緣體薄膜中引入磁有序呢?這里有三種方法: 一種是通過磁性絕緣體的近鄰效應(yīng)， 使拓?fù)浔砻鎽B(tài)產(chǎn)生磁性能隙[13，29]; 第二種則是摻入磁性雜質(zhì)， 由于拓?fù)浔砻鎽B(tài)的RKKY(Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida)機(jī)制[30]以及絕緣體電子態(tài)van Vleck機(jī)制[20]的共同作用， 磁性雜質(zhì)形成了垂直于薄膜表面的長程鐵磁序; 第三種是尋找具有磁有序的本征磁性拓?fù)浣^緣體[31-34]，例如MnBi2Te4. 上述三種方法得到的磁性拓?fù)浣^緣體薄膜中均觀察到了量子反?；魻栃?yīng)[21，23，24].

3 二維手征拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)

手征拓?fù)涑瑢?dǎo)體是一種全新的拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài). 最為簡單的N = 1手征拓?fù)涑瑢?dǎo)體可由無自旋費(fèi)米子的 px+ipy配對實(shí)現(xiàn)， 其邊界存在單通道手征馬約拉納費(fèi)米子[25]， 是二維體系中最簡單的拓?fù)鋺B(tài).手征馬約拉納費(fèi)米子是具有手性的無質(zhì)量費(fèi)米子，是其本身的反粒子， 只能存在于 1 +1 維(即1維空間+1維時(shí)間)或 9 +1 維. 在凝聚態(tài)物理中， 一維手征馬約拉納費(fèi)米子可看成 1 /2 分?jǐn)?shù)化的狄拉克費(fèi)米子， 并作為二維拓?fù)鋺B(tài)的邊緣元激發(fā). 奇數(shù)個(gè)手征馬約拉納費(fèi)米子邊緣態(tài)的存在也預(yù)示著體系中存在伊辛任意子(Ising anyon)， 并滿足非阿貝爾量子統(tǒng)計(jì)[35，36]. 手征馬約拉納費(fèi)米子也可進(jìn)行非阿貝爾編織， 理論上可能用來實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)量子計(jì)算[37，38]，因此近年來在凝聚態(tài)物理研究中引起了廣泛的興趣. 在凝聚態(tài)體系中可能實(shí)現(xiàn)手征馬約拉納費(fèi)米子的體系包括 ν =5/2 分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)[35]以及自旋液體[39].

手征拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)和量子反?；魻枒B(tài)分屬于不同的拓?fù)湮镔|(zhì)類， 但是它們之間存在深刻的聯(lián)系[40]. 手征拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)可由BdG (Bogoliubov-de Gennes)的狄拉克方程描述， 其具有非平庸的陳數(shù).如果忽略哈密頓量的基， 那么描述手征拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)的狄拉克方程則與描述量子反?；魻枒B(tài)的狄拉克方程完全一樣， 唯一的區(qū)別就是BdG方程只有后者一半的自由度. 另一方面， 從邊界態(tài)的自由度來看， 陳數(shù)為 N 的量子反?；魻枒B(tài)具有 N 個(gè)狄拉克手征邊界態(tài)， 具有 2 N 個(gè)實(shí)的自由度; 而陳數(shù)為 2N的手征拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)具有 2 N 個(gè)馬約拉納手征邊界態(tài)， 同樣具有 2 N 個(gè)實(shí)的自由度. 因此陳數(shù)為 N 的量子反?；魻枒B(tài)與陳數(shù)為 2 N (偶數(shù))的手征拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)是拓?fù)涞葍r(jià)的. 更進(jìn)一步， 如果量子反常霍爾態(tài)實(shí)現(xiàn)陳數(shù)為 N 到 N -1 的相變， 對應(yīng)的手征拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)則實(shí)現(xiàn)了陳數(shù)為 2 N 到 2 N-2 的相變. 手征拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)由整數(shù)分類， 不同的陳數(shù)表示不同的拓?fù)湎啵?除非體系有額外的晶體對稱性， 與拓?fù)湎嘧冴P(guān)聯(lián)的陳數(shù)變化總是1. 基于上面的認(rèn)識(shí)， 得到以下結(jié)論: 陳數(shù)為奇數(shù)的手征拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)總是發(fā)生在量子反?；魻枒B(tài)的平臺(tái)轉(zhuǎn)變處[40，41]. 將狄拉克手征邊界態(tài)一分為二實(shí)現(xiàn)馬約拉納手征邊界態(tài)， 如圖2(a)所示.

以磁性拓?fù)浣^緣體中的量子反?；魻枒B(tài)為例.在上下表面引入s-波超導(dǎo)配對， 當(dāng)超導(dǎo)配對的能隙大于量子反?；魻枒B(tài)的能隙時(shí)， 體系處于陳數(shù)為奇數(shù)的手征超導(dǎo)態(tài)[41]. 而超導(dǎo)配對的能隙小于量子反?；魻枒B(tài)的能隙時(shí)， 體系處于陳數(shù)為偶數(shù)的手征超導(dǎo)態(tài)， 其拓?fù)涞葍r(jià)于量子反常霍爾態(tài). 通常來說，超導(dǎo)近鄰效應(yīng)導(dǎo)致的超導(dǎo)能隙大約為1 meV， 而量子反?；魻枒B(tài)的能隙約為30—40 meV， 所以超導(dǎo)近鄰作用下的磁性拓?fù)浣^緣體不能實(shí)現(xiàn)陳數(shù)為奇數(shù)的手征拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài). 而通過外磁場[41]和外電場[42]可以調(diào)節(jié)量子反?；魻枒B(tài)的能隙， 使得陳數(shù)為奇數(shù)手征拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)的實(shí)現(xiàn)成為可能. 當(dāng)上下表面的s-波超導(dǎo)配對勢差別最大時(shí)， 陳數(shù)為奇數(shù)手征拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)最容易實(shí)現(xiàn). 因此我們設(shè)計(jì)出圖2(b)中所示的器件[41]， 利用陳數(shù)為 C =1 的量子反?；魻柦^緣體與 超導(dǎo)體近鄰實(shí)現(xiàn)單通道手征馬約拉納費(fèi)米子.

4 手征馬約拉納費(fèi)米子量子比特和器件

有趣的是， 手征馬約拉納費(fèi)米子可實(shí)現(xiàn)電子態(tài)的非阿貝爾量子門操作[38]. 以圖2(b)或圖3(a)所示的量子反?；魻柦^緣體-手征拓?fù)涑瑢?dǎo)-量子反?；魻柦^緣體異質(zhì)結(jié)器件為例， 其中量子反?；魻柦^緣體的陳數(shù)為 C =1， 而拓?fù)涑瑢?dǎo)的陳數(shù)為 N =1 .在拓?fù)涑瑢?dǎo)體與真空或者量子反常霍爾絕緣體的邊界處存在單個(gè)手征馬約拉納費(fèi)米子， 由HM(x)=-i?vFγ(x)?xγ(x) 描 述， 其 中 γ (x) 是 馬 約拉 納 費(fèi) 米 子 算 符， 并 滿 足 γ (x)=γ?(x) 以 及{γ(x)，γ(x′)}=δ(x-x′)/2 . 與此對應(yīng)， 量子反?；魻柦^緣體與真空的邊界存在手征狄拉克費(fèi)米子HF(x)=-i?vFψ?(x)?xψ(x)， 其 中 ψ (x) 和 ψ?(x) 分別是湮滅和產(chǎn)生算符. 馬約拉納費(fèi)米子算符可重新定 義 為 γ1=(ψ+ψ?)/2，γ2=(ψ-ψ?)/(2i) ， 因此帶電的單個(gè)手征狄拉克費(fèi)米子等價(jià)于兩個(gè)手征馬約 拉納費(fèi)米子 HF(x)=-i?vF[γ1(x)?xγ1(x)+γ2(x)?xγ2(x)] . 因此圖3(a)所示的異質(zhì)結(jié)的邊緣由4個(gè)馬約拉納費(fèi)米子 γi(x)(1≤i≤4) 構(gòu)成， 它們與 手 征 狄 拉 克 費(fèi) 米 子 的 關(guān) 系 為 ψA=γ1+iγ2，ψB=γ4+iγ3，ψC=γ1-iγ3和 ψD=γ4+iγ2.

將手征狄拉克費(fèi)米子態(tài) ψA的非占據(jù)態(tài)和占據(jù)態(tài)分別定義為 | 0A〉 和 | 1B〉 . 由于初態(tài) ψA和 ψB不是體系的本征態(tài)， 它們會(huì)隨時(shí)間演化， 經(jīng)過此器件而分化成馬約拉納費(fèi)米子， 最后又重新組合形成末態(tài)ψC和 ψD. 末態(tài)和初態(tài)之間的關(guān)系為

圖 2 手征馬約拉納費(fèi)米子 (a) 基本想法: 將量子反?；魻柕氖终鞯依速M(fèi)米子一分為二得到手征馬約拉納費(fèi)米子; (b) 實(shí)現(xiàn)手征馬約拉納費(fèi)米子的量子反?；魻柦^緣體-超導(dǎo)體的異質(zhì)結(jié)器件. 取自文獻(xiàn)[41]Fig. 2. Chiral Majorana fermion: (a) Basic idea: the quantum anomalous Hall chiral edge state splits into two chiral Majorana fermions; (b) the hybrid quantum anomalous Hall-superconductor device for chiral Majorana fermion. Adapted from Ref. [41]， APS.

由此可以看出， 粒子數(shù)的奇宇稱態(tài)和偶宇稱態(tài)是解耦的. 比如將量子比特定義在奇宇稱態(tài)， 就會(huì)得到末態(tài)與初態(tài)的演化關(guān)系其中是Hadamard量 子 門， 而是泡利 Z 量子門. 換句話說， 上述量子器件實(shí)現(xiàn)了 Z H 的量子門操作(如圖3(a)所示)， 并導(dǎo)致兩端電導(dǎo)e2/(2h)[41，43]. 但在此器件中，σ12并不能測量手征馬約拉納費(fèi)米子是否相干， 如果體系退相干， 則初態(tài) | ψi〉=|1A0B〉 會(huì)進(jìn)化為混合態(tài)

也會(huì)給出相同的

圖 3 手征馬約拉納費(fèi)米子實(shí)現(xiàn)電子態(tài)的非阿貝爾量子門操作 (a) 量子反?；魻柦^緣體-手征拓?fù)涑瑢?dǎo)-量子反?；魻柦^緣體的異質(zhì)結(jié)器件實(shí)現(xiàn)電子態(tài)的非阿貝爾量子門， 其等價(jià)于實(shí)現(xiàn)單比特ZH量子門. 其中Z是泡利-Z門，H是Hadamard門; (b) Corbino異質(zhì)結(jié)器件測量手征馬約拉納費(fèi)米子量子相干. 取自文獻(xiàn)[38]Fig. 3. Braiding of chiral Majorana fermion: (a) The QAHTSC-QAH device realize the non-Abelian gate which is equivalent to a Hadamard gate H followed by a Pauli-Z gate Z; (b) quantum interference in the QAH-TSC-QAHTSC Corbino junction. Adapted from Ref. [38]， PNAS.

因此， 此量子器件中雖然可實(shí)現(xiàn)電子態(tài)的非阿爾貝編織， 但是其電學(xué)測量半整數(shù)量子化電導(dǎo)卻不能證明這一點(diǎn). 與單通道手征馬約拉納費(fèi)米子不同， 多通道非相干的手征馬約拉納費(fèi)米子的量子輸運(yùn)現(xiàn)象非常奇特[44，45]， 可以作為手征馬約拉納費(fèi)米子在實(shí)驗(yàn)上無可爭議的證據(jù). 比如三通道手征馬約拉納費(fèi)米子， 其在量子反常霍爾-超導(dǎo)異質(zhì)結(jié)中電導(dǎo)僅為 2 /3 量子化電導(dǎo).

為進(jìn)一步驗(yàn)證手征馬約拉納費(fèi)米子的量子相干， 可采用Corbino結(jié)構(gòu)的異質(zhì)結(jié)， 如圖3(b)所示， 其可以看成是兩個(gè)圖3(a)的器件由相位門(即電極)串聯(lián)起來. 同樣以粒子數(shù)的奇宇稱態(tài)為例，Corbino器件中末態(tài)與初態(tài)的演化關(guān)系 |ψf〉=是相位門，可由化學(xué)勢誘導(dǎo)其中 lG是邊界勢能項(xiàng)的作用長度. 有意思的是， 兩端電導(dǎo)直接測量了此器件中手征馬約拉納費(fèi)米子的相干效應(yīng)作為對比， 如果體系完全退相干， 則末態(tài)變?yōu)榛旌蠎B(tài) ρf=(|1A0B〉〈1A0B|+|0A1B〉〈0A1B|)/2 ， 兩 端 電 導(dǎo) 為σ12=[1-Tr(ρf|ψi〉〈ψi|)]e2/h=e2/(2h) . 因 此，Corbino器件中兩端電導(dǎo)的振幅直接測量了手征馬約拉納費(fèi)米子的量子相干度.

最后簡要討論手征馬約拉納主要的退相干機(jī)制. 首先是入射電子波包的非單頻性. 如果長度為lW波包的動(dòng)量展寬為 Δ p≈2π?/lW， 則能觀察到明顯的電導(dǎo)震蕩的條件為 Δ pΔL＜2π?， 其中 Δ L 是圖3(b)中4個(gè)馬約拉納費(fèi)米子 γi(x)(1≤i≤4) 傳播的長度差. 其次， 非彈性散射也會(huì)導(dǎo)致退相干.與手征狄拉克費(fèi)米子不同， 手征馬約拉納費(fèi)米子是電中性， 因此電聲相互作用被禁戒. 而最低階的電子相互作用 γi?xγi?x2γi?x3γi在重整化群下意義下為無關(guān)耦合[46]， 因此理論上手征馬約拉納費(fèi)米子的非彈性散射長度遠(yuǎn)大于手征狄拉克邊界態(tài)的非彈性散射長度(例如在量子霍爾效應(yīng)中20 mK下約為 100 μm).

5 展 望

目前實(shí)驗(yàn)上探尋手征馬約拉納費(fèi)米子還未有明確的結(jié)論. 例如有兩個(gè)實(shí)驗(yàn)組按照圖2(b)的方案報(bào)道了結(jié)果， 均使用了磁性摻雜拓?fù)浣^緣體， 但實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在分歧[47，48]， 可能與材料的極度無序相關(guān)[49]. 在 ν =5/2 分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)[50]以及自旋液體候選者α-RuCl3中[51]均觀察到了接近半整數(shù)量子化的熱霍爾效應(yīng)(quantum thermal Hall effect)，認(rèn)為是由拓?fù)渲行暮蔀榘胝麛?shù)的手征馬約拉納費(fèi)米子導(dǎo)致， 但是理論解釋也存在爭議[52]， 可能與未達(dá)到邊界熱平衡有關(guān). 理論上， 具有特定相互作用的七通道手征馬約拉納費(fèi)米子能分?jǐn)?shù)化實(shí)現(xiàn)斐波那契(Fibonacci)任意子[53]， 可能實(shí)現(xiàn)普適量子計(jì)算.

尋找和設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)手征馬約拉納費(fèi)米子的新物理體系以及新的拓?fù)洮F(xiàn)象仍十分重要、有趣和具有挑戰(zhàn)性. 特別地， 實(shí)現(xiàn)量子相干將會(huì)給出(單通道)手征馬約拉納費(fèi)米子在實(shí)驗(yàn)上無可爭議的證據(jù)[38，46，54-56]. 值得一提的是， 雙通道手征馬約拉納費(fèi)米子(也稱之為手征Andreev邊緣態(tài))的量子干涉效應(yīng)最近被輸運(yùn)實(shí)驗(yàn)證實(shí)[57，58].