(深圳市綜合交通設計研究院，廣東 深圳 518003)

0 引言

土石混合體(SRM)是一種非常復雜的不連續(xù)介質(zhì)材料，它是由具有一定尺寸的強度較高的巖塊、強度較低的土體和孔隙等組成的多相體系，是一種遍布全國乃至世界許多地方且對工程建設有重要影響的地質(zhì)材料[1-6]。在工程實際中，構(gòu)成土石混合體的各種組分在外荷載作用下的力學性質(zhì)有很大的差異，組分間又存在著極其復雜的相互作用。這種巖土材料的力學性能(如應力傳遞、破壞模式、裂紋擴展、承載能力等)與均質(zhì)巖土體有著較大的差別，且塊石的空間分布、級配和含石量等關鍵因素對SRM的宏觀力學性質(zhì)有重要影響[7-8]。因此,有必要對土石混合體的力學特性進行更為準確的分析。最初，學者們多采用試驗的方法獲取土石混合體的力學性質(zhì)[9-11]，但是在工程尺度上進行土石混合體的原位試驗和實驗室試驗較為困難且耗時[7]，數(shù)值分析為解決這一問題提供了有效的方法[12]。構(gòu)建與工程實際符合程度較高的數(shù)值模型是目前開展土石混合體數(shù)值計算的關鍵問題[13]。

塊石顆粒的生成是構(gòu)建土石混合體模型的第一步，以往學者多用一些簡單的形體來模擬塊石。TSESARSKY等[14]基于球形巖石塊，研究巖石的彈性模量和各向同性。GRAZIANI A等[15]基于規(guī)則形狀的巖石塊(如圓形、三角形、矩形等)對二維SRM隨機模型進行了一系列的數(shù)值模擬來研究SRM的力學行為。然而上述方法過度簡化了顆粒的真實形態(tài)，對具有更為復雜外形的顆粒材料適用性不足?；诖耍琗U W J等[16-17]和DU C等[18]應用任意凸多邊形來模擬塊石，這相對于簡單形體的塊石有很大的改進。羅偉等[19]則基于AutoCAD 二次開發(fā)開展了土石混合體隨機結(jié)構(gòu)模型生成與直剪強度數(shù)值試驗研究。喻江武等[6]運用傅里葉變換方法生成特定形狀的塊石并構(gòu)建土石混合體模型。趙鑫曜等[20]通過MATLAB軟件對大量的塊石樣本的數(shù)字圖像進行邊界提取、平滑、規(guī)則化等處理，得到塊石形狀坐標和塊石形狀參數(shù)，構(gòu)建了塊石庫，從而建立土石混合體模型。這與實際情況比較貼合，但構(gòu)建塊石庫需要耗費大量的精力。WANG Z M等[8]提出了一種基于蒙特卡洛隨機采樣原理生成任意形狀隨機骨料結(jié)構(gòu)的程序，開展混凝土的細觀研究。本文在WANG Z M等[8]的基礎上加以改進，分別基于圓形、矩形、三角形采用蒙特卡洛隨機采樣來進行任意形狀二維塊石顆粒的構(gòu)建。

在構(gòu)建土石混合體模型的過程中，塊石間的位置關系判定是極其重要的一個步驟。2個塊石在二維平面上的位置關系有相離、接觸、相交、內(nèi)含4種情況。根據(jù)自然界的實際情況，在進行土石混合體模型的構(gòu)建時，需要保證塊石之間彼此不能相交和內(nèi)含[13，16，21]。簡單形體間(圓形、三角形、矩形等)的位置關系判定較為簡單。XU W J等[16]采用隨機凸多邊形來模擬塊石并基于Area criterion和Sum of the included angle criterion方法進行隨機凸多邊形塊石的相交判定;MENG Q X等[13]基于蒙特卡洛隨機采樣原理生成任意形狀的塊石顆粒，但并未對塊石顆粒間的位置關系判定方法進行說明，也沒有其他學者對任意形狀塊石位置關系的判定算法進行研究。

本文基于蒙特卡洛隨機采樣構(gòu)建的塊石，提出了一種任意形狀塊石的位置關系判定算法，突破了以往在進行塊石位置關系判定時對塊石“凸性”的限制；介紹了一種構(gòu)建懸浮結(jié)構(gòu)土石混合體模型的方法，并對其進行了直剪試驗分析。

1 任意形狀塊石顆粒的隨機生成

本文基于蒙特卡洛隨機采樣方法進行二維塊石的構(gòu)建，基本方法是：首先規(guī)定一個簡單的初始形狀(如矩形)；然后在初始形狀的輪廓上進行點的隨機采樣，并通過改變采樣點與初始形狀形心之間的距離來得到一系列不規(guī)則形狀的塊石。具體實現(xiàn)過程如下：

1)生成一組隨機角度增量:

{Δθ1，Δθ2，Δθ3,…,Δθn-1}

其中：

(i=1，2,…,n-1)

(1)

且

(2)

式中:ζ、η均是介于0和1之間的系數(shù)。當η很小時，表示角度增量很小，隨機角度更均勻。

在隨機角度增量生成的過程中，需保證：

(3)

3) 求得從原點到隨機采樣點的距離為{d1，d2，d3,…,dn}，對于每一條極徑，在di-Δd到di+Δd范圍內(nèi)生成一組新的隨機長度序列{D1，D2，D3,…,Dn}，則新的極徑可以描述為:

Di=di+(2ζ-1)Δd(i=1,2,…,n)

(4)

式中:ζ是0到1之間的隨機數(shù);di是簡單形體極徑的長度;Di是新的極徑長度;Δd是極徑的變化幅度。

新的隨機長度序列{D1，D2，D3,…,Dn}對應一組新的采樣點{P1，P2，P3,…,Pn}。

4)在極坐標系中使用{D1，D2，D3,…,Dn}和{Δθ1，Δθ2，Δθ3,…,Δθn}來生成塊石輪廓，并使用式(5)將極坐標系轉(zhuǎn)換為笛卡爾坐標系。

(5)

蒙特卡洛隨機采樣生成塊石的過程如圖1所示，其中:

(6)

2 塊石位置關系判定

2個塊石的位置關系有相離、接觸、相交、內(nèi)含4種。本節(jié)通過構(gòu)造包圍盒來進行塊石位置關系的初步判定，若包圍盒相離，則2個塊石相離；若包圍盒相交、接觸或內(nèi)含，則需通過判斷構(gòu)成2個塊石輪廓的線段之間的位置關系來進一步判定2個塊石的位置關系。

2.1 基于包圍盒的塊石位置關系初步判定

包圍盒是一個能將復雜形態(tài)的塊石包圍起來的盒子。為了提高算法的效率，迅速排除相離及內(nèi)含的塊石，通過構(gòu)造包圍盒初步判定塊石的位置關系是一種較好的方法。

2.1.1包圍盒的構(gòu)建

較為常用的包圍盒有AABB(Axis Aligned Bounding Box)包圍盒[22]、OBB(Oriented Bounding Box)包圍盒[23]和球包圍盒[24-25]。AABB包圍盒是能夠包圍原物體的最小軸向包圍盒;OBB包圍盒則在AABB包圍盒的基礎上考慮了物體的朝向;球包圍盒則是能夠包圍原物體的最小圓形。圖2直觀地顯示了三者的區(qū)別。

圖2 3種包圍方式對比

就構(gòu)造方式來看，AABB包圍盒最簡單，球包圍盒次之，OBB包圍盒最復雜；就包圍盒與塊石的符合程度來看，OBB包圍盒最為緊密，球包圍盒次之，AABB包圍盒最為疏松?？紤]到算法的效率，選用AABB包圍盒進行塊石初步位置關系的判定。

AABB包圍盒的構(gòu)建方法如圖3所示,可以得到包圍盒1的4個頂點坐標:A1、B1、C1、D1和兩邊長:d1x=x1max-x1min，d1y=y1max-y1min。同理可以得到包圍盒2的4個頂點坐標:A2、B2、C2、D2和兩邊長:d2x=x2max-x2min,d2y=y2max-y2min。

圖3 AABB包圍盒構(gòu)建

2.1.2包圍盒位置關系初步判定

得到2個塊石的包圍盒之后，通過構(gòu)造能將2個塊石同時包圍的公共包圍盒(如圖4所示)，來判定2個包圍盒相離、接觸、相交、內(nèi)含4種位置關系。

圖4 AABB包圍盒位置關系判斷

具體方法如下：首先提取出公共包圍盒的2個邊長:dx=xmax-xmin，dy=ymax-ymin，其中:xmin=min(x1min，x2min);ymin=min(y1min，y2min);xmax=max(x1max，x2max);ymax=max(y1max，y2max)。然后采用以下條件進行2個包圍盒位置關系判定。

1) 當d1x+d2x>dx且d1y+d2y>dy時，則這2個包圍盒相交。

2) 當滿足3個條件之一時，2個包圍盒接觸：

①d1x+d2x=dx且d1y+d2y=dy；

②d1x+d2x=dx且d1y+d2y>dy；

③d1x+d2x>dx且d1y+d2y=dy。

3) 當d1x+d2x

4) 當滿足下列情況之一時，2個包圍盒內(nèi)含。

①x1min>x2min,x1maxy2min,y1max

②x2min>x1min,x2maxy1min,y2max

2.2 塊石位置關系精確判定

塊石位置關系有相離、相交、接觸、內(nèi)含4種情況，具體判定方法如下：

1) 若2個包圍盒相離，則2個塊石必定相離。

2) 若2個包圍盒接觸且接觸面上2個塊石也接觸，則2個塊石相接觸，如圖5a所示；否則，2個塊石相離，如圖5b所示。

3) 若2個包圍盒相交，先求出2個包圍盒的相交包圍盒(定義為2個包圍盒的相交部分，圖6中虛線部分)，然后遍歷相交包圍盒內(nèi)構(gòu)成2個塊石輪廓的線段進行相交判斷[25]。若相交包圍盒構(gòu)成2個塊石的線段均不相交，則這2個塊石相離(見圖6a)；若相交包圍盒構(gòu)成2個塊石的線段存在相交的情況，且某塊石上存在一頂點在另一塊石的內(nèi)部，則這2個塊石相交(見圖6b)；否則，這2個塊石接觸(見圖6c)。

圖5 包圍盒接觸塊石位置關系判斷示意圖

4) 若2個包圍盒內(nèi)含，同樣先構(gòu)造出2個包圍盒的相交包圍盒,即為較小的包圍盒；若包圍盒相交則用“3)”中的方法可以判定出塊石的相交(圖7b)和接觸(圖7c)；若2個包圍盒不相交則判斷塊石2(較小的塊石)是否有一點在塊石1(較大的塊石)內(nèi)，若是，則2個塊石內(nèi)含(圖7d)，否則2個塊石相離(圖7a)。

圖6 包圍盒相交時塊石相離、相交或接觸示意圖

圖7 包圍盒內(nèi)含時塊石位置關系判斷

3 土石混合體模型構(gòu)建

本文基于MATLAB隨機生成方法進行土石混合體模型的構(gòu)建，將蒙特卡洛隨機采樣生成的塊石按照特定的級配和含石量隨機投放進指定的區(qū)域內(nèi)[26]。在投放的過程中，采用第2節(jié)的方法判定此塊石與區(qū)域內(nèi)已有塊石的位置關系，當新投的塊石與已有塊石相離時，判定該塊石有效，否則舍棄此塊石，重新投放，直至含石量達到要求或投放次數(shù)達到閾值[13]。

3.1 塊石的隨機投放

本文按照特定的級配曲線和含石量在一定區(qū)域內(nèi)進行塊石的投放，未被塊石覆蓋的區(qū)域作為土體。在投放時，首先隨機生成一個粒徑為d(d在限定的范圍內(nèi))的塊石，然后從塊石庫中隨機取出1個塊石M(xi，yi)， 在前面塊石庫建立的塊石中心o的坐標為：

(7)

其中xi、yi為邊界上各點的坐標，將各塊石以中心o隨機縮放，縮放系數(shù)為η，然后將塊石的中心點坐標o(xo，yo)隨機插在區(qū)域內(nèi)的一點s(xs，ys)上，則最終塊石在土石混合體區(qū)域內(nèi)的坐標為:

(8)

用第2節(jié)的方法進行塊石的相交、非相交判定,若新插入的塊石與已有的塊石不相交，則存儲此塊石，否則，舍棄此塊石，重新投放。

3.2 投放終點的確定

在投放過程中，首先設定一個含石率P(定義為塊石面積與土石混合體面積的比值)。則對于每一粒徑范圍內(nèi)的塊石Mi，當Mi達到此粒徑范圍內(nèi)塊石的含石率Pi時，Mi投放結(jié)束，開始投放下一粒徑的塊石Mi+1。

由于每次塊石的投放點都是隨機的，當邊坡內(nèi)的塊石數(shù)量達到一定值時，可能會出現(xiàn)每次新投放的塊石總會與邊坡內(nèi)已有的塊石相交的情況。因此，針對這種情況，本文設定了一個閾值，當投放次數(shù)達到此閾值時，即使沒有達到規(guī)定的含石率，依然終止投放。

本文建立懸浮結(jié)構(gòu)土石混合體邊坡的詳細流程如圖8所示。

圖8 土石混合體模型構(gòu)建流程圖

3.3 有限差分數(shù)值模型的生成

本文使用MIDAS GTS來對懸浮結(jié)構(gòu)的土石混合體進行網(wǎng)格劃分。首先將MATLAB生成的土石混合體模型導入CAD并保存為dxf文件;然后將dxf文件導入MIDAS進行有限元網(wǎng)格劃分;網(wǎng)格劃分好后，將模型在MIDAS中沿垂直模型平面的方向拉伸1 mm，形成1個假三維模型。

4 土石混合體直剪試驗分析

本節(jié)共構(gòu)造3個土石混合體模型(見圖9)，3個模型級配不同，但尺寸與含石量均相同(含石量為40%)。模型級配如圖10a所示，級配3土石混合體模型中大粒徑塊石顆粒的含量最多，級配2次之，級配1最少。模型尺寸、邊界條件及加載方式見圖10b，計算用土石材料參數(shù)見表1。

采用FLAC3D對土石混合體與均質(zhì)土體進行直剪試驗，其計算結(jié)果如圖11所示。計算結(jié)果表明：均質(zhì)土體的剪切帶為一條規(guī)則的直線；土石混合體的剪切帶則更加寬厚和曲折，且土石混合體在剪切過程中存在著明顯的繞石效應，即塑性區(qū)沿著塊石之間的土體部分進行擴展。

a)模型1

b)模型

c)模型3

圖10 級配曲線與模型試驗條件

a)均質(zhì)模型b)土石混合體模型1

c)土石混合體模型

2d)土石混合體模型3

實驗所得土石混合體和均質(zhì)土體的剪切應力與剪切位移關系曲線如圖12所示。

圖12 土石混合體與均質(zhì)土體剪切應力-應變曲線

由圖12可得：在剪切的初始階段，均質(zhì)土體的剪切應力隨剪切應變線性增長，此時土體處于彈性變形階段;在彈性變形階段之后、到達峰值強度之前，曲線增長速率不斷減小，曲線段逐漸變得平緩，即進入初始屈服階段；在初始屈服階段，土體的剪切應力繼續(xù)增加，達到峰值后，土體發(fā)生破壞，其剪切應力開始降低，并逐漸達到相應的殘余應力。這與XU W J等[1]和GONG J等[4]的研究結(jié)果一致。相比均質(zhì)土體，土石混合體剪切過程中還會存在若干個局部剪切階段，即應力-應變曲線呈現(xiàn)多次上升、下降，這是因為土石混合體中存在著塊石與塊石、塊石與土體之間的摩擦、咬合、滑動等情況。由圖12可知，局部剪切階段可能會發(fā)生在峰值應力出現(xiàn)前，也可能發(fā)生在峰值應力出現(xiàn)之后，并且不同土石混合體模型局部剪切階段出現(xiàn)的時間和次數(shù)均不相同，這可能與塊石的空間分布有關。

由于塊石的存在，土石混合體內(nèi)部的相互作用較為復雜，因此，土石混合體的剪切過程較均質(zhì)土體更為緩慢，到達殘余應力時土石混合體的水平位移更大。在剪切的過程中，土石混合體的剪切應力一直大于均質(zhì)土體，且峰值應力遠大于均質(zhì)土體，這說明塊石的存在使得土體的抗剪強度增大，塊石對土體強度起到了一種增強作用。另外，通過對不同級配的土石混合體模型進行對比分析，發(fā)現(xiàn)在含石量相同的情況下，級配3的土石混合體模型的峰值應力和殘余應力最大，級配2次之，級配1最小。這說明在含石量相同的情況下，大粒徑塊石顆粒的含量越多，土石混合體的抗剪強度越高，即大粒徑塊石顆粒的存在有助于提高土石混合體的抗剪強度。

5 結(jié)論

本文采用蒙特卡洛隨機采樣進行塊石隨機生成，并基于AABB包圍盒提出了一種任意形狀塊石位置關系判定算法，可以有效處理以往研究中在塊石位置關系判定方面對塊石凸性的限制?；谠撍惴ㄟM行土石混合體模型構(gòu)建并對3種級配不同、含石量相同的模型進行直剪數(shù)值試驗分析，結(jié)果表明：

1) 均質(zhì)土體剪切帶為一條規(guī)則直線，土石混合體剪切帶由于塊石的存在而變得更加寬厚和曲折。土石混合體剪切帶上存在明顯繞石效應，即塑性區(qū)沿塊石之間的土體部分進行擴展。

2) 相比均質(zhì)土體，土石混合體剪切過程剪應力-應變曲線除了具有近似線性的彈性階段、達到峰值強度前的初始屈服階段、剪切破壞面逐漸形成的剪切破壞階段、剪切變形持續(xù)增加的殘余變形階段4個階段之外，還會存在若干個局部剪切階段，即應力-應變曲線呈現(xiàn)多次上升、下降。

3) 土石混合體抗剪強度較均質(zhì)土體有較大提升，表明塊石存在對土體強度起到了一種增強作用。并且在含石量相同的情況下，大粒徑塊石顆粒的含量越多，土石混合體的抗剪強度越高，即大粒徑顆粒的增強作用更明顯。此外，土石混合體剪切過程較均質(zhì)土體更為緩慢，到達殘余應力時的水平位移更大。