(北方工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與材料工程學(xué)院，北京 100144)

0 引言

隨著水環(huán)境污染越來越嚴(yán)重，傳統(tǒng)的手動(dòng)實(shí)驗(yàn)檢測水環(huán)境質(zhì)量已不能滿足水質(zhì)監(jiān)測的實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確性的標(biāo)準(zhǔn)要求。近些年來，水質(zhì)在線監(jiān)測發(fā)展迅速，由于其能夠?qū)崟r(shí)檢測到水域污染的變化和較高的準(zhǔn)確率，被推廣并應(yīng)用于水質(zhì)監(jiān)測的各個(gè)領(lǐng)域[1]。在這些水質(zhì)監(jiān)測儀中關(guān)鍵器件是傳感器。水質(zhì)監(jiān)測傳感器在實(shí)際應(yīng)用中由于環(huán)境等諸多因素導(dǎo)致測量精度低、穩(wěn)定性差，而對水質(zhì)監(jiān)測傳感器的輸入輸出非線性關(guān)系的補(bǔ)償是提高系統(tǒng)測量精度的必要方法[2]。近年來智能算法在補(bǔ)償建模中發(fā)展迅速，其中有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等各種算法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最嚴(yán)重的問題是沒能力來解釋自己推理的過程和依據(jù)，而且數(shù)據(jù)不充分時(shí)就無法工作，同時(shí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理論和學(xué)習(xí)算法還有待進(jìn)一步提高。支持向量機(jī)(SVM)是一種新穎的小樣本學(xué)習(xí)方法，它有著堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，在實(shí)際應(yīng)用中，支持向量機(jī)能夠有效避免從歸納到演繹的傳統(tǒng)過程，能夠高效地從訓(xùn)練樣本中推導(dǎo)出預(yù)測樣本，在分類和回歸等問題上，能夠有效地簡化步驟，提高了效率和準(zhǔn)確率。大量實(shí)驗(yàn)和研究表明，基于支持向量機(jī)建立的回歸模型，無論是在逼近能力，還是在泛化性上，都要優(yōu)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及其他智能算法。

支持向量機(jī)以統(tǒng)計(jì)學(xué)為理論基礎(chǔ)，從1995年提出后，在小樣本、非線性和模式識(shí)別等各個(gè)領(lǐng)域中迅速發(fā)展，并且具有很多優(yōu)勢，并能夠推廣到函數(shù)擬合等其他實(shí)際問題中。支持向量機(jī)在與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比較，支持向量機(jī)的原理是結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化，彌補(bǔ)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的缺點(diǎn)，在數(shù)據(jù)量較少的情況下依然具有很好的推廣能力。但是在實(shí)際應(yīng)用中，支持向量機(jī)有兩個(gè)重要的參數(shù)，即懲罰系數(shù)C和核參數(shù)γ，如果參數(shù)的選擇不當(dāng)，則會(huì)直接影響整體的性能。到目前為止支持向量機(jī)的參數(shù)優(yōu)化并沒有標(biāo)準(zhǔn)化的方法，所以目前應(yīng)用在支持向量機(jī)的參數(shù)選擇的優(yōu)化方法各種各樣。針對研究問題，以水質(zhì)濁度參數(shù)檢測作為實(shí)驗(yàn)背景，提出一種改進(jìn)的網(wǎng)格搜索法優(yōu)化支持向量機(jī)參數(shù)，來提高其準(zhǔn)確率和優(yōu)化速度，與其他優(yōu)化方法相比較，并在實(shí)際測量環(huán)境中取得了很好的結(jié)果。

1 水質(zhì)監(jiān)測傳感器補(bǔ)償原理

傳統(tǒng)的傳感器輸入輸出特性為y=f(x),x∈(ζa,ζb)，式中f(x)為非線性函數(shù)，y表示測量參數(shù)后輸出的電壓值信號，x表示測量參數(shù)輸入的溶液值，ζa,ζb為溶液真實(shí)值的范圍。在已知溶液值x的情況下，y電壓值信號可使用濁度傳感器測量溶液得到，其目的是根據(jù)輸出的電壓值y求得未知的輸入變量x，既表示為x=y-1(y)。

而在實(shí)際應(yīng)用中，由于環(huán)境或者傳感器自身硬件會(huì)導(dǎo)致的測量的值存在非線性誤差。為了校正這種非線性誤差，使其輸出的電壓值信號y通過一個(gè)校正環(huán)節(jié)[3]，如圖1所示。校正模型的函數(shù)為u=g(y)，式中u為校正系統(tǒng)非線性后的輸出，它與輸入的溶液值x呈線性關(guān)系，使得補(bǔ)償后的傳感器具有理想特性[4]。在實(shí)際中，g(*)的表達(dá)式難以確認(rèn)，那么建立支持向量機(jī)回歸補(bǔ)償模型就成了解決此模型表達(dá)式的重要因素[5-6]。

圖1 非線性誤差校正模型

2 支持向量回歸機(jī)理論

20世紀(jì)90年代，Vapnik等人基于小樣本統(tǒng)計(jì)學(xué)提出了支持向量機(jī)理論，其基本原理是以訓(xùn)練誤差作為要解決問題的約束條件，以最小置信區(qū)間作為優(yōu)化的最終目標(biāo)。其本質(zhì)就是解決一種凸規(guī)劃或者二次規(guī)劃問題[7]。支持向量機(jī)首先通過內(nèi)積核函數(shù)將非線性的變換問題映射到一個(gè)高維空間，變成一個(gè)線性問題來求廣義分類面或回歸問題。

對于給定的一組數(shù)據(jù)T={(x1,y1),…,(xi,yi)}?Rd×R,i=1,…,n，我們要解決的回歸問題簡單來說就是找到xi與yi之間的映射關(guān)系：

y=f(x)=[ω,φ(x)]+b,

x∈Rd;y,b∈R

(1)

式中,[ω,φ(x)]對應(yīng)的是Rd空間的內(nèi)積。φ(x)為核函數(shù)，把訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)映射到高維空間F上，因此它的思想就是把原空間的非線性問題映射到高維空間中轉(zhuǎn)變?yōu)楦呔S空間的線性問題，解決其對應(yīng)的線性回歸問題[8]。

支持向量機(jī)回歸理論對這一類問題的表述為在一組函數(shù){f(x,ω)}種，尋找最優(yōu)的一個(gè)函數(shù){f(x,ω*)}，使預(yù)期的期望風(fēng)險(xiǎn)R(ω)達(dá)到最小化[9]。

(2)

式中，n為樣本容量，h為VC維。支持向量機(jī)把上式轉(zhuǎn)化為尋求下式的最優(yōu)解：

(3)

其中:ε根據(jù)不敏感損失函數(shù)L(y,f(x,a))來決定回歸曲線的平坦度，給定0<ε<1。當(dāng)x點(diǎn)處的實(shí)際結(jié)果值y與預(yù)測值f(x)之間的誤差值不超過預(yù)先給定的ε時(shí)，那么就認(rèn)為該點(diǎn)的預(yù)測值f(x)是無損失的[10]。

L(y,f(x,a))=L(|y-f(x,a)|ε)

(4)

其中：

(5)

式(3)中，C為懲罰因子，表示對錯(cuò)分樣本的懲罰。

(6)

在支持向量機(jī)中，綜合考慮到RBF高斯徑向基函數(shù)所體現(xiàn)出的較好性能，選取式(4)中的RBF核函數(shù)作為支持向量機(jī)的核函數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，傳統(tǒng)的參數(shù)選擇方法大多都是憑借大量經(jīng)驗(yàn)或者反復(fù)試算法，導(dǎo)致選擇不準(zhǔn)確使得補(bǔ)償精度達(dá)不到目標(biāo)精度的要求，且效率低。因此正確的方法來選擇核函數(shù)參數(shù)和懲罰系數(shù)，對SVM的性能以及水質(zhì)監(jiān)測的補(bǔ)償精度至關(guān)重要。

(7)

3 支持向量機(jī)參數(shù)選擇方法

3.1 支持向量機(jī)模型選擇的研究現(xiàn)狀

對于支持向量機(jī)的性能，最重要的影響因素就是兩個(gè)參數(shù)值懲罰系數(shù)C和核參數(shù)γ的選取。懲罰系數(shù)C體現(xiàn)了對誤差的寬容度。C的取值越高，建立的回歸模型越不能容忍出現(xiàn)誤差，會(huì)造成過擬合現(xiàn)象。如果C的取值過小，則會(huì)出現(xiàn)欠擬合。如果C取值不當(dāng)，過大或過小，泛化能力都會(huì)變差。核參數(shù)γ，是選取的高斯徑向基RBF核函數(shù)自帶的參數(shù)，γ取值過大，其支持的向量會(huì)越少。γ取值過小，其支持的向量會(huì)越多[11]。

到目前為止，關(guān)于SVM的參數(shù)選擇優(yōu)化并沒有標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)化方法。相關(guān)的優(yōu)化方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，常用的方法有：實(shí)驗(yàn)法、遺傳算法、粒子群算法和網(wǎng)格搜索算法等。實(shí)驗(yàn)法就是通過大量的實(shí)驗(yàn)比較結(jié)果精度來確定參數(shù)，這種方法雖然能夠找到合適的參數(shù)，但是效率低。遺傳算法思想來源于自然界的生物遺傳和進(jìn)化，是一種應(yīng)用較為廣泛的全局搜索功能的優(yōu)化算法[12]。遺傳算法依據(jù)適者生存的進(jìn)化原理，通過眾多的個(gè)體不斷地經(jīng)過選擇、遺傳、變異的過程，篩選出最優(yōu)的個(gè)體，即為最優(yōu)的參數(shù)解，遺傳算法對于問題本身可以不用知道，它只是對優(yōu)化過程中的每個(gè)個(gè)體進(jìn)行評估和篩選[13]。粒子群算法基本概念源于對鳥群覓食行為的研究，即自由個(gè)體組成的群體與周邊環(huán)境以及個(gè)體之間的互動(dòng)性為，是一種新穎的優(yōu)化算法。它的基本思想就是將問題所有可能的解都看作是一個(gè)微粒，每個(gè)微粒在其解空間中飛行，通過其適應(yīng)度函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)判別粒子的優(yōu)劣性，并根據(jù)解空間中其他微粒傳遞的飛行經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行調(diào)整，想著最好的微粒位置飛行，以此來得到最優(yōu)解[14]。遺傳和粒子群算法屬于啟發(fā)式算法，他們不必遍歷所有參數(shù)集合也可以找到全局最優(yōu)解，但是這兩種算法操作比較復(fù)雜，并且容易陷入局部循環(huán)，得到的解也只是局部最優(yōu)解[15]。

3.2 網(wǎng)格搜索法

網(wǎng)格搜索法是一種窮舉遍歷算法，它將所有可能的參數(shù)組合在空間中劃分成若干網(wǎng)格，遍歷網(wǎng)格中所有交點(diǎn)，對每個(gè)參數(shù)集合應(yīng)用交叉驗(yàn)證來計(jì)算誤差，得到誤差最小的為全局最優(yōu)解。網(wǎng)格搜索法可以從較多參數(shù)中獲得最優(yōu)解，但是效率低[16]。

針對上述網(wǎng)格搜索法的缺點(diǎn)，選擇改進(jìn)的網(wǎng)格搜索法，即先在給定的參數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行大步距粗略搜索，確定一個(gè)結(jié)果較優(yōu)的參數(shù)組合存在的區(qū)間，在此區(qū)間附近內(nèi)再進(jìn)行小步距精確搜索，來改進(jìn)傳統(tǒng)網(wǎng)格搜索法的缺點(diǎn)，提高其優(yōu)化精度和優(yōu)化速度。

3.3 改進(jìn)的網(wǎng)格搜索法

網(wǎng)格搜索法本質(zhì)是讓懲罰系數(shù)C和核函數(shù)參數(shù)γ的集合在其范圍內(nèi)生成網(wǎng)格，并對網(wǎng)格內(nèi)所有點(diǎn)進(jìn)行評價(jià)，最終取得整個(gè)模型訓(xùn)練集的平均驗(yàn)證均方根誤差(MSE)最小的那組為最優(yōu)參數(shù)組合[17]。計(jì)算得到的最優(yōu)參數(shù)為圖2所示，其中C的范圍在[2-10,220]，γ設(shè)置的范圍是[2-10,210]，步距為0.1。

由圖1可以看出，參數(shù)組合在一定的區(qū)間范圍內(nèi)準(zhǔn)確率很高，但是在整個(gè)范圍內(nèi)準(zhǔn)確率相對偏低，如果以0.1步距全部遍歷整個(gè)區(qū)間，將使得整個(gè)算法效率降低，因此先找到平均驗(yàn)證均方根誤差較小的參數(shù)區(qū)間再進(jìn)行精確搜索，將能減少大量的計(jì)算，節(jié)約時(shí)間提高效率。

針對上述傳統(tǒng)網(wǎng)格搜索法的問題，選擇改進(jìn)的網(wǎng)格搜索法作為參數(shù)優(yōu)化方法。首先在給定的參數(shù)組合范圍內(nèi)進(jìn)行大步距粗搜，選擇訓(xùn)練集的平均驗(yàn)證均方根誤差最小的一組參數(shù)組合。若參數(shù)選擇過程中搜索出多組達(dá)到最小平均驗(yàn)證均方根誤差的參數(shù)組合，則選擇C最小的那組，如果對應(yīng)C最小的有多組γ，那么就選擇搜索到的第一組作為最佳參數(shù)組合。因?yàn)閼土P系數(shù)C如果過高將導(dǎo)致過學(xué)習(xí)現(xiàn)象，尋得這組局部最優(yōu)參數(shù)組合之后，在此參數(shù)組合點(diǎn)附近選擇一個(gè)小區(qū)間，采用小步距進(jìn)行第二次精搜，找到的最優(yōu)參數(shù)即為全局最優(yōu)參數(shù)組合。

圖2 網(wǎng)格搜索法參數(shù)選擇結(jié)果

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

4.1 實(shí)驗(yàn)器材準(zhǔn)備

濁度是水體中一種重要的特征參數(shù)，體現(xiàn)了水環(huán)境的清潔度和衛(wèi)生狀況，它是衡量水環(huán)境質(zhì)量的重要依據(jù)，并且也作為影響其他參數(shù)的干擾因素，不管是民用還是環(huán)境監(jiān)測都是必須要測量的參數(shù)[18]。所以選取了濁度參數(shù)作為研究對象。

實(shí)驗(yàn)器材包括配置濁度溶液所需要的燒杯、玻璃棒、計(jì)量筒等準(zhǔn)備工具，以及濁度傳感器。所用到的標(biāo)準(zhǔn)試劑是中國計(jì)量院化學(xué)所購置的標(biāo)準(zhǔn)溶液。采用超純水作為零點(diǎn)校正液，主要用于稀釋溶液。

通過上述材料工具來對溶液進(jìn)行測量。選取數(shù)據(jù)時(shí)，由于溫度對于濁度測量結(jié)果有著影響，分別選取5°、10°、15°、20°和25°的輸入電壓值。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)一共選取10組傳感器有效數(shù)據(jù)共70個(gè)樣本，隨機(jī)打亂順序選取60個(gè)樣本作為訓(xùn)練樣本，剩下10個(gè)作為測試樣本，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

4.2 實(shí)驗(yàn)過程

采用Matlab平臺(tái)結(jié)合開源的LIBSVM工具包，進(jìn)行網(wǎng)格搜索法優(yōu)化支持向量機(jī)參數(shù)仿真測試。實(shí)驗(yàn)過程如下：

1)確定網(wǎng)格搜索法的參數(shù)變量C和γ的取值范圍，C的初始范圍在[2-10,220]，γ設(shè)置的初始范圍是[2-10,210]。傳統(tǒng)的網(wǎng)格搜索法的步距一般為0.1，改進(jìn)的方法將步距放大100倍，即步距為10。以2的冪次方沿著兩個(gè)區(qū)間范圍方向生成網(wǎng)格。將整個(gè)網(wǎng)格區(qū)間分別分為M、N等分，網(wǎng)格中的節(jié)點(diǎn)即為給定范圍內(nèi)所有可能的參數(shù)組合[19]。

2)針對所有的參數(shù)組合(Ci,γj)(i=1,...,M,j=1,...,N)，對訓(xùn)練樣本集進(jìn)行訓(xùn)練，得到訓(xùn)練樣本集的平均驗(yàn)證均方根誤差最小的參數(shù)組合(Ci,γj)，判斷是否達(dá)到精度標(biāo)準(zhǔn)要求，如果滿足轉(zhuǎn)到4)，否則轉(zhuǎn)到3)。

3)在參數(shù)(Ci,γj)相鄰的兩個(gè)區(qū)間作為新的參數(shù)范圍C∈[Ci-1,Ci+1]，γ∈[γj-1,γj+1]，并分別減少搜索步距的兩倍，因?yàn)榫W(wǎng)格的范圍是以2的冪次方的。再次進(jìn)行最優(yōu)參數(shù)組合的搜索，判斷是否滿足平均驗(yàn)證均方根誤差要求，如果滿足則跳轉(zhuǎn)到4)，否則繼續(xù)在 3)循環(huán)進(jìn)行直到找到最優(yōu)的參數(shù)組合。

4)儲(chǔ)存得到的最優(yōu)參數(shù)組合和選擇結(jié)果，參數(shù)優(yōu)化過程結(jié)束。

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在采用改進(jìn)的網(wǎng)格搜索法進(jìn)行支持向量機(jī)的參數(shù)選擇后，預(yù)測結(jié)果精度如圖3所示。

圖3 網(wǎng)格搜索法預(yù)測精度

為了便于分析和比較，在本次實(shí)驗(yàn)中還分別采用了遺傳算法和粒子群算法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，與改進(jìn)的網(wǎng)格搜索法進(jìn)行對比。

從表2看出，遺傳算法雖然也能夠得到較高的預(yù)測精度，但在實(shí)驗(yàn)中容易出現(xiàn)過早收斂，出現(xiàn)局部最優(yōu)，搜索效果不穩(wěn)定。粒子群算法搜索性能較穩(wěn)定，但耗時(shí)較長。相比較而言，改進(jìn)的網(wǎng)格搜索法是精度最高并且時(shí)間較短的優(yōu)化算法。

表2 不同優(yōu)化算法性能對比

5 結(jié)束語

應(yīng)用改進(jìn)的網(wǎng)格搜索法優(yōu)化支持向量機(jī)方法對濁度傳感器進(jìn)行了預(yù)測校正，并與粒子群算法、遺傳算法進(jìn)行了比

較。經(jīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：改進(jìn)的網(wǎng)格搜索法優(yōu)化支持向量機(jī)方法更好地實(shí)現(xiàn)了對濁度傳感器的預(yù)測校正，顯著改善了傳統(tǒng)網(wǎng)格搜索法的性能，提高了準(zhǔn)確率，減少了優(yōu)化時(shí)間，相比較其他優(yōu)化方法具有更好的性能，對傳感器的非線性校正提供了一種可行有效的方法。