摘? 要：文章針對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)誤差在對(duì)采用絕對(duì)法進(jìn)行齒輪齒距累計(jì)偏差測(cè)量中的影響進(jìn)行了理論研究及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。首先建立了回轉(zhuǎn)誤差對(duì)絕對(duì)法齒距累計(jì)偏差測(cè)量影響的數(shù)學(xué)模型，依據(jù)該數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)出回轉(zhuǎn)誤差在齒距累計(jì)偏差測(cè)量方向的映射系數(shù)以及左右齒面齒距累計(jì)偏差計(jì)算時(shí)的回轉(zhuǎn)誤差的補(bǔ)償公式。接著探討了齒輪分度圓大小和測(cè)頭測(cè)球半徑大小對(duì)回轉(zhuǎn)誤差映射系數(shù)的影響。最后對(duì)誤差補(bǔ)償?shù)男ЧM(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明文章所提出的補(bǔ)償方法可以有效降低轉(zhuǎn)臺(tái)徑向回轉(zhuǎn)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。

關(guān)鍵詞：誤差補(bǔ)償;回轉(zhuǎn)誤差;齒距累積偏差;絕對(duì)法測(cè)量;齒輪測(cè)量

中圖分類號(hào)：TG86? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-4706（2020）24-0160-04

Influence and Compensation of Rotation Error in Absolute Method Pitch

Deviation Measurement

HUANG Feiyao

（Xian Technological University，Xian? 710021，China）

Abstract：In this paper，the influence of the rotation error of the turntable on the measurement of the cumulative deviation of gear pitch by the absolute method is studied theoretically and verified experimentally. Firstly，the mathematical model of the influence of the rotation error on the measurement of the absolute method pitch cumulative error is established. Based on the mathematical model，the mapping coefficient of the rotation error in the measurement direction of the cumulative pitch error and the compensation formula of the rotation error in the calculation of the cumulative pitch error of the left and right tooth surfaces and pitch are deduced. Then the influence of the size of the gear indexing circle and the radius of the probe measuring ball on the mapping coefficient of the rotation error is discussed. Finally，the effect of error compensation is verified by simulation experiment. The simulation experiment results show that the proposed compensation method can effectively reduce the influence of the radial rotation error of the turntable on the measurement results.

Keywords：error compensation;rotation error;pitch accumulated deviation;absolute method measurement;gear measurement

0? 引? 言

齒輪是典型的標(biāo)準(zhǔn)化傳動(dòng)零件，廣泛應(yīng)用于機(jī)器設(shè)備、航空航天、儀器儀表以及軍工等領(lǐng)域[1]。齒距偏差是齒輪重要的精度指標(biāo)，其偏差值會(huì)影響齒輪的平穩(wěn)性[2]。目前高精度齒輪的齒距偏差大多使用齒輪測(cè)量中心、坐標(biāo)測(cè)量機(jī)等儀器進(jìn)行測(cè)量[3-5]。

在進(jìn)行齒輪齒距測(cè)量時(shí)，為了提高齒輪齒距偏差的測(cè)量精度，國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者對(duì)影響齒輪齒距偏差測(cè)量的因素展開(kāi)了大量的研究。大連理工大學(xué)婁志峰等針對(duì)提高齒距偏差測(cè)量精度從測(cè)量方法、測(cè)量點(diǎn)位置等多方面進(jìn)行研究并取得了一定成果[6，7]。西安工業(yè)大學(xué)盧春霞等分析了齒輪安裝偏心對(duì)齒距偏差測(cè)量的影響，楊燕鴿[8]等提出齒距累積誤差的安裝偏心補(bǔ)償模型，分析偏心的幅值和相位角對(duì)補(bǔ)償測(cè)量結(jié)果的影響。

綜上所述，大部分專家學(xué)者研究齒輪齒距偏差測(cè)量時(shí)，主要是從齒輪齒距測(cè)量的齒輪安裝偏心誤差、系統(tǒng)誤差等方面進(jìn)行研究分析。轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)誤差屬于系統(tǒng)誤差的一部分，既包括一次諧波分量即偏心誤差，還包括多次諧波分量即長(zhǎng)周期誤差與短周期誤差。轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)誤差對(duì)齒距偏差測(cè)量影響的研究相對(duì)于偏心誤差對(duì)齒距偏差測(cè)量影響更加深入全面。統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，高精密測(cè)量?jī)x器工作回轉(zhuǎn)臺(tái)的回轉(zhuǎn)誤差對(duì)齒輪齒距偏差測(cè)量的影響研究很少。本文主要研究絕對(duì)法齒輪齒距偏差測(cè)量中，回轉(zhuǎn)誤差對(duì)齒距偏差測(cè)量影響的理論分析和實(shí)驗(yàn)研究。建立回轉(zhuǎn)誤差與齒距偏差的映射關(guān)系，根據(jù)映射關(guān)系對(duì)齒距累計(jì)偏差進(jìn)行補(bǔ)償并通過(guò)仿真及和測(cè)量實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

1? 轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)誤差對(duì)絕對(duì)法齒距偏差測(cè)量影響的數(shù)學(xué)模型

轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)誤差對(duì)絕對(duì)法齒距偏差測(cè)量的影響如圖1所示，假設(shè)齒輪沒(méi)有齒形誤差且無(wú)表面形貌誤差，則轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)誤差可以分解為X方向的跳動(dòng)、Y方向的跳動(dòng)。轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)誤差X、Y兩個(gè)方向的跳動(dòng)都會(huì)影響絕對(duì)法齒距偏差測(cè)量的結(jié)果。以齒輪的回轉(zhuǎn)中心為原點(diǎn)O、以水平向右為X軸建立測(cè)量坐標(biāo)系。假設(shè)測(cè)頭沒(méi)有定位誤差，即測(cè)頭測(cè)球中心0P位于分度圓與X軸的交線處，且測(cè)頭的測(cè)桿與X軸重合，即測(cè)頭的敏感方向與Y軸平行。在考慮測(cè)頭的半徑情況下，實(shí)際測(cè)量中測(cè)量圓位置與理想測(cè)量圓（分度圓）位置不重合，實(shí)際接觸點(diǎn)為C，同時(shí)X向跳動(dòng)與測(cè)頭敏感方向垂直，Y向跳動(dòng)與測(cè)頭敏感方向平行，所以必須將測(cè)量得到轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)誤差映射到實(shí)際測(cè)量圓的測(cè)量方向上，然后映射到齒距的評(píng)價(jià)方向也就是測(cè)量圓的切線方向。

根據(jù)數(shù)學(xué)模型幾何關(guān)系在直角三角形OTOP和直角三角形OTC中，可得實(shí)際測(cè)量圓上的壓力角αk為：

（1）

其中，r為被測(cè)齒輪分度圓半徑，rb為被測(cè)齒輪基圓半徑，rp為測(cè)球半徑。

將轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)誤差X向跳動(dòng)先映射到測(cè)頭的敏感方向然后映射到齒距偏差評(píng)價(jià)方向上，可得出X向跳動(dòng)的映射系數(shù)kx為：

（2）

其中，α為齒輪壓力角，?X為X方向回轉(zhuǎn)誤差大小值。

與X向映射系數(shù)同理可得轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)誤差Y向跳動(dòng)在齒距偏差實(shí)際測(cè)量方向的映射系數(shù)ky為：

（3）

其中，?Y為Y方向回轉(zhuǎn)誤差大小值。

根據(jù)上述徑向回轉(zhuǎn)誤差推導(dǎo)出回轉(zhuǎn)誤差對(duì)齒距累計(jì)偏差的誤差補(bǔ)償公式，左齒面齒距偏差的誤差補(bǔ)償公式為：

（4）

其中，L為左向，F(xiàn)P1為實(shí)際測(cè)量齒距累計(jì)偏差值，為FLpk補(bǔ)償后左齒面齒距累計(jì)偏差值。

與左齒面測(cè)量齒距偏差不同的是在進(jìn)行右齒面齒距偏差測(cè)量時(shí)測(cè)頭的壓入量與左齒面測(cè)量時(shí)相反，所以右齒面齒距偏差的補(bǔ)償公式為：

（5）

其中，R為右向，F(xiàn)p2為實(shí)際測(cè)量齒距累計(jì)偏差值，F(xiàn)Rpk為補(bǔ)償后右齒面齒距累計(jì)偏差值。

從上面公式可知，回轉(zhuǎn)誤差X向補(bǔ)償系數(shù)與Y向補(bǔ)償系數(shù)都和被測(cè)齒輪分度圓半徑與測(cè)頭半徑的大小有關(guān)。

2? 討論分析

固定被測(cè)齒輪分度圓半徑，研究測(cè)頭半徑大小變化對(duì)回轉(zhuǎn)誤差X與Y方向誤差補(bǔ)償系數(shù)影響的趨勢(shì)。以r=60 mm的標(biāo)準(zhǔn)齒輪為例，則回轉(zhuǎn)誤差X與Y方向誤差補(bǔ)償系數(shù)隨測(cè)頭半徑變化趨勢(shì)如圖2所示。

從圖2中可以明顯地看出，將測(cè)頭球心固定在被測(cè)齒輪分度圓上時(shí)，X與Y方向誤差補(bǔ)償系數(shù)大小會(huì)隨著測(cè)頭半徑增大而減小。當(dāng)不考慮測(cè)頭半徑時(shí)，Y方向誤差補(bǔ)償系數(shù)最大，對(duì)測(cè)量的影響將會(huì)為1：1。

固定測(cè)頭半徑，研究被測(cè)齒輪分度圓半徑變化對(duì)回轉(zhuǎn)誤差X與Y方向誤差補(bǔ)償系數(shù)的影響趨勢(shì)。以測(cè)頭半徑1 mm為例，則回轉(zhuǎn)誤差X與Y方向誤差誤差補(bǔ)償系數(shù)隨被測(cè)齒輪分度圓半徑變化趨勢(shì)如圖3所示。

從圖3中可以看出回轉(zhuǎn)誤差X與Y方向誤差補(bǔ)償系數(shù)隨著被測(cè)齒輪分度圓的增加而非線性的增加。當(dāng)齒輪分度圓半徑達(dá)到一定大的值時(shí)，回轉(zhuǎn)誤差X與Y方向補(bǔ)償系數(shù)將無(wú)限接近于固定值。

3? 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在MATLAB中進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，采用絕對(duì)法進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)齒輪（m=4，z=30，其中m為齒輪模數(shù)）齒距累計(jì)偏差測(cè)量，齒距累計(jì)總偏差理論值為20 μm。加入簡(jiǎn)諧類型回轉(zhuǎn)誤差情況下采用絕對(duì)法進(jìn)行齒輪齒距偏差測(cè)量，測(cè)量圈數(shù)為1圈。齒距累計(jì)偏差的發(fā)生函數(shù)為：

（6）

其中，z為齒輪齒數(shù)，i為齒序。

回轉(zhuǎn)誤差（X與Y向跳動(dòng)相同）發(fā)生函數(shù)為：

（7）

其中，z為齒輪齒數(shù)，k為齒序。

對(duì)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果按照式（4）、式（5）分別對(duì)左右齒面齒距累計(jì)偏差進(jìn)行補(bǔ)償，并與理論值進(jìn)行比較驗(yàn)證補(bǔ)償效果。左右齒面齒距累計(jì)偏差補(bǔ)償前后結(jié)果如圖4和表1所示。

表1可以看出，在補(bǔ)償前，回轉(zhuǎn)誤差造成的絕對(duì)測(cè)量左右齒面齒距累積偏差值達(dá)到了21.52 μm和23.68 μm，說(shuō)明回轉(zhuǎn)誤差對(duì)于齒距累積偏差的測(cè)量有非常顯著的影響。在利用補(bǔ)償公式（6）和式（7）對(duì)回轉(zhuǎn)誤進(jìn)行補(bǔ)償后，測(cè)量結(jié)果的結(jié)果誤差分別降到了0.04 μm和0.01 μm，基本消除了回轉(zhuǎn)誤差對(duì)齒距偏差測(cè)量的影響，證明了誤差補(bǔ)償公式（6）和式（7）的正確性。補(bǔ)償后的誤差值與理論值并不完全相符，這是可能是由于理論值是連續(xù)的，測(cè)量值是離散的可能取值沒(méi)有到峰值。

從圖4可以看出，補(bǔ)償前各個(gè)齒的齒距累積偏差與理論齒距偏差曲線在幅值和相位上存在較大差別，單個(gè)齒的最大誤差在1齒上達(dá)到3.07 μm，這是回轉(zhuǎn)誤差中長(zhǎng)周期誤差與整周誤差造成的。補(bǔ)償后齒距累積偏差曲線和理論齒距累計(jì)偏差曲線基本一致，單個(gè)齒的最大誤差為0.30 μm，發(fā)生在6個(gè)齒，說(shuō)明該齒可能在峰值附近沒(méi)有取到峰值而導(dǎo)致誤差最大。

4? 結(jié)? 論

為了提高齒輪齒距偏差測(cè)量精度，本文主要針對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)誤差對(duì)絕對(duì)法齒距偏差測(cè)量的影響進(jìn)行了理論分析及仿真驗(yàn)證，可以得出以下結(jié)論：

（1）通過(guò)建立回轉(zhuǎn)誤差對(duì)齒距偏差測(cè)量影響的數(shù)學(xué)模型，定義了回轉(zhuǎn)誤差X和Y方向的誤差影響系數(shù)，揭示了轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)誤差對(duì)齒距累積偏差測(cè)量影響的大小關(guān)系。

（2）討論了X與Y方向回轉(zhuǎn)誤差影響系數(shù)大小與測(cè)頭測(cè)球半徑和被測(cè)齒輪分度圓大小的關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)：X與Y方向回轉(zhuǎn)誤差影響系數(shù)隨著測(cè)頭測(cè)球半徑的增加而減小，隨著被測(cè)齒輪分度圓半徑的增大而增大，但總體影響不大

（3）通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)誤差對(duì)齒距偏差測(cè)量影響的數(shù)學(xué)模型的正確性，經(jīng)過(guò)補(bǔ)償后的齒距累計(jì)總偏差相對(duì)于補(bǔ)償前的齒距累計(jì)總偏差與仿真結(jié)果基本保持一致，說(shuō)明該補(bǔ)償有效可行。

本文建立了轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)誤差對(duì)齒輪齒距偏差測(cè)量影響的數(shù)學(xué)模型和誤差補(bǔ)償模型，相比于現(xiàn)有文獻(xiàn)，該模型不但反映了齒輪綜合偏心的影響，還反映了回轉(zhuǎn)誤差中長(zhǎng)周期誤差和短周期誤差的影響，深化了對(duì)于回轉(zhuǎn)誤差與齒距偏差測(cè)量之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。通過(guò)誤差補(bǔ)償模型能夠有效地減小轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)誤差對(duì)齒輪齒距累積偏差測(cè)量的影響，對(duì)于提高齒輪齒距偏差的測(cè)量精度具有一定的實(shí)用價(jià)值。文中不足在于僅僅考慮了回轉(zhuǎn)誤差中徑向回轉(zhuǎn)誤差對(duì)齒距偏差測(cè)量的影響，沒(méi)有考慮傾角擺動(dòng)誤差對(duì)齒距偏差測(cè)量的影響，后續(xù)將對(duì)此展開(kāi)研究。

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作者簡(jiǎn)介：黃飛耀（1991—），男，漢族，陜西省渭南人，碩士研究生在讀，研究方向：計(jì)算機(jī)輔助精密測(cè)量。