石煥南, 王飛, 王東生

(1. 北京聯(lián)合大學 師范學院， 北京 100011； 2. 浙江機電職業(yè)技術學院 數(shù)學教研室，浙江 杭州 310053； 3. 北京電子科技職業(yè)學院 基礎部， 北京 100176)

0 引言

本文以R表示實數(shù)集，x=(x1,…,xn)表示n維實向量，n維實向量的集合記作

R={x=(x1,…,xn):xi∈R,i=1,…,n},

n維正實向量的集合記作

設x=(x1,…,xn)∈Rn,x的初等對稱函數(shù)是

初等對稱函數(shù)的對偶形式是

2019年6月，臺灣國立高雄師范大學的杜威仕(Wei-Shih Du)教授給我們提供了如下資料，引起了我們的興趣.

羅馬尼亞的Daniel Sitaru提出如下問題：

2(sinx)1-sin x·(1-sinx)sin x<1.

(1)

加拿大的Jalil Hajimir利用貝努利(Bornoullie)不等式證明了不等式(1)，阿爾及利亞的Mokhtar Khassani-Mostaganem和羅馬尼亞的Remus Florin Stanca分別利用算術-幾何平均值不等式和詹森(Jensen)不等式加以證明. 阿塞拜疆的Rovsen Pirguliyev-Sumgait利用詹森(Jensen)不等式證明了不等式(1)的一般形式:

如果a、b>0且a+b=1,那么

(2)

本文將利用受控理論證明不等式(1)，并加以引申和推廣. 我們首先給出如下兩個定理.

(3)

顯然，當n=2時，不等式(3)就化為不等式(1).

(4)

(5)

進一步，將不等式(1)延伸到初等對稱函數(shù)及其對偶式上，得到如下結果.

Ek((sinx)1-sin x)=Ek((sinx1)1-sin x1,…,(sinxn)1-sin xn)=

(6)

(7)

1 定義和引理

我們需要如下定義和引理.

定義1[1-4]設x、y∈Rn滿足

則稱x被y所控制，記作xy. 其中x[1]≥…≥x[n]和y[1]≥…≥y[n]分別是x和y的分量的遞減重排. 又若x不是y的重排，則稱x被y嚴格控制，記得xy.

注1[1-4]定義1的條件(i)等價于

(8)

定義2[1-4]設x、y∈Rn.x≥y表示對于所有i=1,2…,n有xi≥yi. 設Ω?Rn，稱φ:Ω→R是一個遞增函數(shù)，若x≥y?φ(x)≥φ(y). 稱φ是一個遞減函數(shù)當且僅當-φ是一個遞增函數(shù).

定義3設Ω?Rn,φ:Ω→R，若在Ω上xy?φ(x)≤φ(y)，則稱φ為Ω上的Schur凸函數(shù)； 若在Ω上xy?φ(x)<φ(y)，則稱φ為Ω上的嚴格Schur凸函數(shù).

我們要用到如下引理.

引理2[1-4]設x=(x1,x2…,xn)∈Rn,則

(sinx,1-sinx)(sin2x,cos2x);

(9)

(sin2x,1-sin2x)(sinx,1-sinx).

(10)

證明根據(jù)定義1和注1加以證明.

f"(x)=f′(x)(logf(x))′+f(x)(logf(x))"=

2 定理的證明

從而據(jù)引理1,有

證畢.

定理2的證明由引理6,f(x)=x1-x在(0,+∞)上嚴格對數(shù)凹，從而結合引理1、引理2和引理3即可證得定理2.

從而結合引理4和引理6即可證得定理3.

定理4的證明類似定理3的證明，可依引理5和引理6證得定理4.

控制關系和Schur凸函數(shù)是受控理論的兩個最基本的概念，控制關系是向量間的一種較弱的次序關系，Schur凸函數(shù)是比熟知的凸函數(shù)更為廣泛的一類函數(shù)，二者的結合是導出不等式的有效方法. 此種方法具有兩個鮮明的特點，一是用此法證明不等式往往非常簡潔，二是用此法建立不等式常常是“成批”的，它能把許多已有的從不同方法得來的不等式用一種統(tǒng)一的方法簡便地推導出來(見文[5-19]).