范玉香

隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展和5G（第五代移動(dòng)通信技術(shù)）時(shí)代的來(lái)臨，科技和互聯(lián)網(wǎng)已經(jīng)改變了我們的生活和學(xué)習(xí)方式。一支筆、一塊黑板、一個(gè)PPT已經(jīng)不能滿足現(xiàn)代學(xué)生對(duì)知識(shí)渴望的要求。在與時(shí)俱進(jìn)的時(shí)代，根據(jù)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)，我們不但要提升學(xué)生的綜合素質(zhì)，發(fā)展核心素養(yǎng)，還要注重培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)文化素養(yǎng)和終身學(xué)習(xí)的能力。同時(shí)，新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科提出了六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)分析。怎樣落實(shí)培養(yǎng)目標(biāo)、怎樣在數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的研究方向。

在過(guò)去的數(shù)學(xué)課堂上，許多重要的數(shù)學(xué)概念教學(xué)不曾被一些老師重視，對(duì)概念、定理的教學(xué)是采用“直接告訴法”，為了追求分?jǐn)?shù)，一些老師把更多的時(shí)間和精力放在題海中，殊不知，沒(méi)有理解概念基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在高考中也是難以取勝的，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是難以形成的。一些老師對(duì)概念教學(xué)的忽視，還有另外一個(gè)原因，那就是數(shù)學(xué)概念教學(xué)很難開(kāi)展，高度抽象的數(shù)學(xué)概念像立在老師和學(xué)生面前的一座大山，想跨越過(guò)去，不是那么容易?，F(xiàn)在，想要翻越這座“大山”，現(xiàn)代教育技術(shù)可以為老師和學(xué)生實(shí)現(xiàn)這個(gè)“夢(mèng)想”。本文以電腦版GeoGebra Classic 5.0軟件為例，探索動(dòng)態(tài)教學(xué)在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用。

一、GeoGebra簡(jiǎn)介

GeoGebra是2001年由Markus Hohenwarter在薩爾茨堡大學(xué)做碩士論文時(shí)開(kāi)創(chuàng)的軟件。GeoGebra是一款開(kāi)源（Open-source）、免費(fèi)的數(shù)學(xué)軟件，它具有功能多、易上手、好用、省錢省時(shí)省力等特點(diǎn);它有電腦版、手機(jī)版和網(wǎng)頁(yè)版，滿足了各種需求。幾何是Geometry，代數(shù)是Algebra，GeoGebra剛好是兩者的組合，實(shí)際上，GeoGebra不僅是一款結(jié)合了幾何和代數(shù)的數(shù)學(xué)軟件，還是一款結(jié)合了微積分、數(shù)據(jù)表、圖形，統(tǒng)計(jì)和計(jì)算的多功能軟件，在數(shù)學(xué)、物理、地理都有廣發(fā)應(yīng)用。鑒于Geogebra的強(qiáng)大功能和明顯的優(yōu)勢(shì)，它將會(huì)給我們的數(shù)學(xué)課堂帶來(lái)更多樣的教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式，它應(yīng)該成為老師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)的好伴侶。

二、GeoGebra是一款易操作的軟件

說(shuō)GeoGebra易上手、好用，那是因?yàn)樗僮鞣奖?，三年?jí)的小學(xué)生也可以很容易學(xué)會(huì)它的基本操作。圖1和圖2是我家三年級(jí)的小朋友第一次用GeoGebra設(shè)計(jì)的手繪萬(wàn)花筒。主要步驟只有兩步，如圖3，然后，進(jìn)行屬性設(shè)置，再拉動(dòng)手繪圖就可以得到不同的花形。小朋友都會(huì)覺(jué)得很好玩、有趣。

三、GeoGebra在函數(shù)概念中的應(yīng)用

從初中到高一，數(shù)學(xué)學(xué)科成為了大部分學(xué)生學(xué)習(xí)上的一大難題。高度抽象的函數(shù)概念讓很多同學(xué)一頭霧水。利用GeoGebra的輸入欄，我們可以很方便地得到想要的函數(shù)圖象，在教學(xué)上的，這種形象具體的呈現(xiàn)，能有效幫助學(xué)生理解函數(shù)概念是兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系這一特點(diǎn)。周期性，是三角函數(shù)中的一個(gè)重要性質(zhì)，利用GeoGebra的輸入欄，直接得到y(tǒng)=sinx的函數(shù)圖象，利用滑動(dòng)條，可以觀察一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖象與下一周期圖象重合，從而讓學(xué)生達(dá)到理解周期性的概念（如圖4、圖5）。另外，利用GeoGebra還可以很容易做出其他周期函數(shù)圖象，讓學(xué)生領(lǐng)悟到，周期性并不是三角函數(shù)的“專利”（如圖5），讓學(xué)生走出“只有三角函數(shù)才有周期性”的誤區(qū)。

四、GeoGebra在導(dǎo)數(shù)概念中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一。教材（人教A版選修2-2第一章）通過(guò)氣球膨脹率和高臺(tái)跳水兩個(gè)具體的例子，從平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率，利用形象直觀的“逼近”方法得到導(dǎo)數(shù)概念，利用GeoGebra的動(dòng)態(tài)效果（如圖6，圖7），在函數(shù)圖象上任意取兩點(diǎn)A、B，當(dāng)點(diǎn)B不斷“逼近”點(diǎn)A時(shí)，割線BA的斜率就會(huì)越來(lái)越接近在點(diǎn)A處的切線的斜率，讓學(xué)生經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)概念從“靜”到“動(dòng)”的學(xué)習(xí)過(guò)程，幫助學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解。

五、GeoGebra在圓錐曲線概念中的應(yīng)用

圓錐曲線的形成，從“形”上得到，可以用一個(gè)平面去截圓錐（如圖8），當(dāng)平面與圓錐軸的夾角不同時(shí)，我們就得到不同的截口曲線，它們分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線。圖8是人教A版選修2-1第二章圓錐曲線與方程的章頭圖，在看到這幅章頭圖的時(shí)候，我第一個(gè)想法是，把這個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程呈現(xiàn)給學(xué)生，讓數(shù)學(xué)教材也可以“動(dòng)”起來(lái)。這樣的想法，在GeoGebra里很容易就可以實(shí)現(xiàn)（如圖9、圖10），在拖動(dòng)滑動(dòng)條β的時(shí)候，就可以呈現(xiàn)截口曲線的變化。

圓錐曲線的形成可以由平面截圓錐而成，這是從“形”上體現(xiàn)圓錐曲線的特征，那么怎么從“數(shù)”這一方面得到圓錐曲線呢？Geogebra在這方面也體現(xiàn)了它特有的優(yōu)勢(shì)。首先，設(shè)置滑動(dòng)條a，區(qū)間可以設(shè)置為[-5，5]，然后在輸入欄輸入，拉動(dòng)滑動(dòng)條，就可以得到橢圓，再設(shè)置輸入框，在輸入框中把“+”號(hào)，分別改為“-”“*”“/”號(hào)，拉動(dòng)滑動(dòng)條就可以得到：到兩定點(diǎn)的距離之和（差、積、商）為定值的點(diǎn)的軌跡。在高中教材中，只涉及到平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)的距離之和（差）為定值的點(diǎn)的軌跡，對(duì)于平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)的距離之商（積）為定值的點(diǎn)的軌跡并沒(méi)有描述;我們知道，到兩定點(diǎn)的距離之商為定值的點(diǎn)的軌跡（即阿波羅尼斯圓）又經(jīng)常隱藏在考題中。那么，到兩定點(diǎn)的距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡是什么呢（如圖11、圖12）？這里可以引起學(xué)生的求知欲，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課外探索。在GeoGebra中，通過(guò)拖動(dòng)滑動(dòng)條可以探索常數(shù)a的變化對(duì)曲線的影響，從而引起學(xué)生探索的興趣。

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！碧貏e在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，利用GeoGebra強(qiáng)大的數(shù)形結(jié)合特點(diǎn)，使高度抽象的概念化身為相對(duì)具體的、可視的圖象表征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。利用GeoGebra的優(yōu)異特征，幫助學(xué)生理解高中數(shù)學(xué)概念，可以達(dá)到形象、生動(dòng)、有趣、高效的教學(xué)效果，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課外探索，對(duì)落實(shí)核心素養(yǎng)發(fā)揮了一定作用。意大利著名兒童教育家蒙臺(tái)梭利說(shuō)過(guò)：“我聽(tīng)過(guò)了，我就忘了;我看見(jiàn)了，我就記得了;我做過(guò)了，我就理解了。”雖然，這句話主要是對(duì)兒童的教育而說(shuō)的，但對(duì)正在學(xué)習(xí)的每一位學(xué)生來(lái)說(shuō)，何嘗不是這樣呢？

參考文獻(xiàn)：

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[2]張志勇.基于GEOGEBRA的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與可視化教學(xué)[M].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2018.