（宿遷學(xué)院，江蘇宿遷 223800）

0 引言

羅茨泵作為一種非接觸式凸轉(zhuǎn)子泵，廣泛應(yīng)用于真空、抽風(fēng)、鼓風(fēng)、水油搬運(yùn)等領(lǐng)域。其中，主、從轉(zhuǎn)子的型線與尺寸完全一致，圓弧[1]、漸開線[2]、擺線[3]是目前最為常見的 3種型線類型，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)子稱為常規(guī)轉(zhuǎn)子，其具有以下共性特點(diǎn)：（1）承擔(dān)轉(zhuǎn)子副本體運(yùn)動(dòng)的一對(duì)頂部、谷部工作型線段相接于節(jié)圓的兩側(cè)，（2）轉(zhuǎn)子頂與泵殼間為“頂軸向線—?dú)で粓A弧面”的孔隙，徑向孔口泄漏大[1-3]。頂旋泵（Epitrochoidal Lobe Pump）正好相反，工作型線段位于轉(zhuǎn)子頂部，頂旋泵也由此得名，且形成相對(duì)小泄漏的徑向縫隙。自頂旋轉(zhuǎn)子因恒流被提出以來(lái)[4]，國(guó)內(nèi)外展開的研究還不多[5]。因此，擬就頂旋轉(zhuǎn)子的輕量化型線構(gòu)造及性能作進(jìn)一步研究與分析。

1 頂旋泵的葉型線構(gòu)造

轉(zhuǎn)子型線均由節(jié)圓內(nèi)、外的谷、頂兩部分型線段組成，記轉(zhuǎn)子葉的頂、谷部的對(duì)稱軸為頂軸和谷軸如圖1所示。其中，頂型線為頂圓弧段，谷型線為谷圓弧段，兩者間為過渡曲線段。

圖1 頂旋轉(zhuǎn)子泵的葉型線構(gòu)造

頂圓弧段與谷圓弧段共同構(gòu)成了轉(zhuǎn)子副的本體共軛運(yùn)動(dòng)，則，頂圓弧段圓心角=谷圓弧段圓心角=π/N，其中，N為轉(zhuǎn)子葉數(shù)，而過渡曲線段由頂圓弧的端點(diǎn)掃掠而成，不參與轉(zhuǎn)子的本體共軛運(yùn)動(dòng)。

設(shè)轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)為ε，節(jié)圓半徑為r，則頂圓弧半徑ra、谷圓弧半徑rb分別為：

2 頂旋泵的輕量化指標(biāo)

采用掃過面積法考察泵流量的情況。圖2中，設(shè)在微小時(shí)間dt內(nèi)，主、從轉(zhuǎn)子o1，o2的頂徑ra1，ra21轉(zhuǎn)過dω微小角度；而主轉(zhuǎn)子谷徑rb1、從轉(zhuǎn)子頂徑ra22因始終共軛在o1o2線上，其轉(zhuǎn)過的微小角度為0。此時(shí)，主、從轉(zhuǎn)子的兩頂圓弧段ra1、ra21、泵進(jìn)口輪廓線、主轉(zhuǎn)子谷圓弧段rb1、從轉(zhuǎn)子頂圓弧段ra22和殼腔圓弧封閉圍成圖2剖面線所示的截面積，其對(duì)應(yīng)的微小容積變化量dV為：

式中 bo——轉(zhuǎn)子的寬度。

由上式可知，頂旋泵為恒流泵，流量脈動(dòng)為0。

設(shè)泵的排量為qs，容積效率為ηs，轉(zhuǎn)速為n，轉(zhuǎn)子軸向截面積占轉(zhuǎn)子腔軸向截面積的百分比為ηrotor，容積利用系數(shù)為λ=1-ηrotor，內(nèi)泄漏率為ηleakage，轉(zhuǎn)子腔的空間以雙轉(zhuǎn)子的頂圓柱腔體積Vcavity=2×πra2bo來(lái)表示。則由：

得：

式中 Vq——泵的單位排量體積[6-10]，即輕量化指標(biāo)。

由式（4）可知，ηrotor↓和ηleakage↓進(jìn)而Vq↓。現(xiàn)有研究結(jié)果表明，ε主要決定單位節(jié)圓半徑下轉(zhuǎn)子的型線類型[1-3]，獨(dú)立于節(jié)圓半徑r的大小。而ra最大化等價(jià)于ε最大化和r最大化，且r↑進(jìn)而ηleakage↓，且r最大化主要由ε最大化結(jié)合泵額定流量加以計(jì)算[6]。因此，泵輕量化程度取決于形狀系數(shù)最大化，下面僅就形狀系數(shù)ε的影響加以分析。

圖2 流量計(jì)算的掃過面積法

3 頂旋泵的葉型線方程

以主從轉(zhuǎn)子的頂、谷圓弧端點(diǎn) a1（b2）、b1（a2）均共軛于中心線o1o2上的位置，作為轉(zhuǎn)子副旋轉(zhuǎn)的起始位置，如圖3（a）所示，并以頂軸為y軸，o1為原點(diǎn)，構(gòu)建xo1y直角坐標(biāo)系。以頂圓弧端點(diǎn)a1、a2接觸的位置，作為旋轉(zhuǎn)的終止位置，如圖3（b）所示，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角為ωa之間的任一位置，如圖3（c）所示，所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角為ω∈[0，ωa]。

圖3 過渡曲線掃掠的生成過程

圖（b）中，由a1（a2）在中心線 o1o2上的垂足為o1o2的中點(diǎn)，即節(jié)點(diǎn)，得：

圖3（c）中，設(shè)σ=∠a2o1a1，∠yo1a2=φ，令

式中 t——0～1間的變量。

由⊿o1a2o2幾何關(guān)系可得：

式中 rω——o1a2的長(zhǎng)度。

得

式中 （xω，yω）——過渡曲線段在 xo1y中的參數(shù)化坐標(biāo)；

（xa-arc，ya-arc）——頂半圓弧段、谷半圓弧段在xo1y中的參數(shù)化坐標(biāo)；

（xb-arc，yb-arc）——谷半圓弧段在 xo1y 中的參數(shù)化坐標(biāo)。

4 最大形狀系數(shù)及參數(shù)化模型

由圖3可以看出葉最薄弱截面應(yīng)位于σ最大的地方，如圖3（a）所示，設(shè)對(duì)應(yīng)的最薄弱圓?。ǘx為根圓?。┑膱A心半角（定義為根圓半角）為β。為此，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)：β（t）↓；設(shè)計(jì)變量：t；約束函數(shù)：0＜t＜1的優(yōu)化模型，得對(duì)應(yīng)于β最小化的 t*（ε）和σ（t*，ε）、rω/r（t*，ε）、β（t*，ε，N），如表1所示。其中，β（t*，ε，N）=φ（N）-σ（t*，ε）。

表1 不同葉數(shù)、不同形狀系數(shù)下的最薄弱截面幾何

由表1知，ε↑→rω/r（ε）↓，ε↑→φ-σ（ε）↓。前者表示最薄弱截面越接近根部，后者表示最薄弱截面寬度越窄，均減弱了轉(zhuǎn)子葉的抗彎曲能力。N↑→φ-σ（N）↓，表示葉數(shù)越多，轉(zhuǎn)子葉的抗彎曲能力越弱。

在保證足夠的擬合精度下，β（ε，N）的擬合方程為：

設(shè)[β]為β（ε，N）的最小根圓半角，則由

得最大形狀系數(shù)為：

[β]=0時(shí)有 N 為2，3，4時(shí) εmax分別為1.804，1.622，1.516。

[β]=0實(shí)際上不存在，這里僅為比較用。

ε=1.4時(shí)轉(zhuǎn)子對(duì)應(yīng)的3D參數(shù)化模型如圖4所示。同樣可以看出N↑→β（N）↓→抗彎能力↓。

圖4 不同葉數(shù)的參數(shù)化轉(zhuǎn)子副

5 容積利用系數(shù)及擬合方程

由式（10）的葉型線方程構(gòu)建3D轉(zhuǎn)子模型，通過3D軟件的面分析功能，分別測(cè)出不同葉數(shù)、不同形狀系數(shù)的轉(zhuǎn)子軸向截面積srotor，并由：

計(jì)算得到的容積利用系數(shù)λ，如表2所示。其中，ε↑→λ（ε）↑；N↑→λ（N）↑。前者與常規(guī)轉(zhuǎn)子一樣；但后者卻相反。

表2 不同葉數(shù)、不同形狀系數(shù)下的容積利用系數(shù)

λ（ε，N）的擬合方程為：

6 閉氣現(xiàn)象及簡(jiǎn)化加工方案

在圖3（c）中，由于過渡曲線由頂圓弧的端點(diǎn)a2掃掠而成，自然就形成如圖3（c）中剖面線所示的2個(gè)分割區(qū)域，從而產(chǎn)生類似于齒輪泵“困油現(xiàn)象”的“閉氣現(xiàn)象”。為消除該現(xiàn)象和利于過渡曲線的加工，提出了一款簡(jiǎn)化的結(jié)構(gòu)方案，如圖5所示。

圖5 掃掠過渡曲線的圓弧簡(jiǎn)化

由于過渡曲線不參與轉(zhuǎn)子副的本體工作運(yùn)動(dòng)，對(duì)其的光滑連續(xù)性沒有特別要求，所以，可以采用兩段圓弧來(lái)簡(jiǎn)化加工及消除“閉氣現(xiàn)象”。其中，谷過渡圓弧圓心obc及半徑rbc由過谷圓弧端點(diǎn)且外切谷圓弧段，另一端點(diǎn)與原有過渡曲線與節(jié)圓的交點(diǎn)（即節(jié)點(diǎn)）的三點(diǎn)幾何條件唯一確定；頂過渡圓弧圓心oac及半徑以rac由過頂圓弧段端點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)，且外切頂部過渡曲線的三點(diǎn)幾何條件唯一確定。由此，該轉(zhuǎn)子的半葉型線有4段圓弧構(gòu)成，雖然該方案增加了余隙容積，但并不構(gòu)成對(duì)原有可利用容積系數(shù)的影響。

7 結(jié)論

（1）頂旋轉(zhuǎn)子的過渡曲線段分布在節(jié)圓的兩近側(cè)，共軛工作型線段位于兩圓側(cè)，具有零流量脈動(dòng)、小徑向泄漏優(yōu)點(diǎn)。

（2）泵輕量化程度取決于轉(zhuǎn)子頂徑的最大化，頂徑最大化取決于形狀系數(shù)最大化，所建立的形狀系數(shù)最大化公式依據(jù)葉數(shù)及根圓弧強(qiáng)度條件可直接采用。

（3）葉數(shù)越多，最大形狀系數(shù)越小，但容積利用系數(shù)卻越大，后者與常規(guī)轉(zhuǎn)子的容積利用系數(shù)越小正好相反。所建立的容積利用系數(shù)擬合公式可直接采用。

（4）過渡曲線的2段簡(jiǎn)化圓弧，利于消除“閉氣現(xiàn)象”和簡(jiǎn)化加工。