蒙自市第四中學(xué) 浦仕宏 沈麗群

縱觀2019 年高考數(shù)學(xué)全國卷，我們不難發(fā)現(xiàn)，命題者在創(chuàng)新和立意上均下了不少功夫，出了不少新題.這些題目注重考查考生的閱讀和理性思維能力、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決實(shí)際問題的能力以及對數(shù)據(jù)的整理及求解能力，著力考查考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、合理設(shè)置問題情境，注重考查考生的閱讀理解能力和運(yùn)算求解能力

2019 年的高考數(shù)學(xué)全國卷，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，合理設(shè)置問題情境，貼近實(shí)際生活，注重落實(shí)立德樹人的育人目的.

例1 （2019年高考全國Ⅱ卷理科第4題）2019 年1 月3 日，嫦娥四號(hào)探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問題，我國發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行.L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r.根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r 滿足方程：=（R+r）.設(shè)α=，由于α 的值很小，在近似計(jì)算中≈3α3，則r 的近似值為（ ）.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了考生的閱讀理解能力、數(shù)式變形能力以及運(yùn)算求解能力.

二、突出考查重點(diǎn)知識(shí)，考查考生的理性思維能力和邏輯推理能力

2019 年高考數(shù)學(xué)全國卷注重對高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，突出考查主干知識(shí)，注重素養(yǎng)導(dǎo)向，考查考生的理性思維能力和邏輯推理能力.

例2 （2019年高考全國Ⅲ卷文理科第15題）如圖1，設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：=1 的兩個(gè)焦點(diǎn)，M 為C 上一點(diǎn)且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形，則M 的坐標(biāo)為___________.

圖1

解析：由橢圓的方程可知a=6.∴c=4.∵△MF1F2是等腰三角形，且F1F2=8，，∴△MF1F2是以F1為頂點(diǎn)的等腰三角形.設(shè)M（m，n）（m＞0，n＞0）.∵M(jìn)F1=F1F2，∴（m+4）2+n2=64①.∵點(diǎn)M（m，n）在橢圓上，∴=1②.由①②解得答案應(yīng)填（3，）.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，很好地落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、聯(lián)系生活實(shí)際，考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力

2019 年高考數(shù)學(xué)全國卷對實(shí)際應(yīng)用問題的考查有所加強(qiáng)，注重創(chuàng)設(shè)日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐、科學(xué)探究等問題情境，考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.

例3 （2019年高考全國Ⅲ卷理科第16題）學(xué)生到工廠參加勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D 打印技術(shù)制作模型.如圖2，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH 后所得的幾何體，其中O 為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H 分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D 打印所用原料的密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________g.

圖2

解析：由題意可知SEFGH=4×6-4××2×3=12cm2，四棱錐O-EFGH 的高3cm.∴VO-EFGH=×12×3=12cm3.又∵長方體ABCD-A1B1C1D1的體積V長方體=4×6×6=144cm3，∴該模型的體積V=V長方體-VO-EFGH=144-12=132cm2，其質(zhì)量為0.9×132=118.8g.

點(diǎn)評(píng)：本題將物理知識(shí)融入數(shù)學(xué)知識(shí)中，主要考查了空間幾何體的體積問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的體積與質(zhì)量的關(guān)系理解題中的信息，利用相關(guān)的公式正確地求出質(zhì)量.

四、注重學(xué)科知識(shí)之間的相互融合，考查考生對數(shù)據(jù)的整理及求解能力

2019 年的高考數(shù)學(xué)全國卷注重社會(huì)大課堂的引領(lǐng)作用，引導(dǎo)學(xué)生走出學(xué)科、走向社會(huì)，用學(xué)科知識(shí)解決生活中的真實(shí)問題，將物理、化學(xué)等知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，體現(xiàn)了學(xué)科知識(shí)之間的相互融合.

例4 （2019年高考全國Ⅲ卷理科第17題）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200 只小鼠隨機(jī)分成A，B 兩組，每組100 只，其中A 組小鼠給服甲離子溶液，B 組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)的離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖（圖3）：

圖3

記C 為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b 的值；

（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.

解析：

（1）由題意，得a+0.20+0.15=0.70.解得a=0.35.由0.05+b+0.15=1-P（C）=1-0.70，解得b=0.10.

（2）由上述離子殘留百分比直方圖可知，甲離子殘留百分比的平均值為0.15×2+0.20×3+0.30×4+0.20×5+0.10×6+0.05×7=4.05，乙離子殘留百分比的平均值為0.05×3+0.10×4+0.15×5+0.35×6+0.20×7+0.15×8=6.

點(diǎn)評(píng)：本題將化學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，體現(xiàn)了學(xué)科之間的相互融合，主要考查了頻率分布直方圖、平均數(shù)等知識(shí)，著重考查了考生對數(shù)據(jù)的整理及求解能力.