高亮

（安徽國際商務職業(yè)學院 信息工程學院，安徽 合肥 231131）

廣義積分的定義與計算思維在整個數(shù)學知識構造中占據(jù)著非常重要的地位，不僅在無限函數(shù)求解上能夠帶來重要促進作用，在數(shù)理統(tǒng)計和微分方程等求解上也均有廣泛的應用[1]．然而，廣義積分在實際應用中還存在較多問題，如概念抽象、函數(shù)形式多變和計算方法難以掌握等．如果僅通過定積分的計算思路進行求解，有可能對于大部分問題而言是行不通的，更難達到有效解決實際問題．因此，可以通過總結與深入研究特殊形式廣義積分計算方法，統(tǒng)籌對稱函數(shù)、可轉變函數(shù)等經(jīng)常出現(xiàn)的積分形式，建立有效的計算體系．這樣不僅能夠幫助學生更快速地掌握解題的思路，還能夠檢驗運算過程合理性，對廣義積分求解的研究具有非常重要的實際意義．

1 廣義積分基本求法

由廣義積分的定義式可知，定積分的計算方法可以移植給廣義積分．于是，廣義積分計算中，同樣也有牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法和分部積分法．

1.1 牛頓-萊布尼茨公式

1.2 換元積分法

1.3 分部積分法

2 廣義積分的特殊求法

對于廣義積分，一般計算方法只能夠解決部分函數(shù)計算，根據(jù)不同計算函數(shù)以及收斂情況可以相應地進行函數(shù)轉變，從而簡化計算過程，實現(xiàn)復雜函數(shù)積分的求解．如利用函數(shù)的對稱性、Γ函數(shù)和β函數(shù)、重要極限、留數(shù)定理、級數(shù)展開法以及含參變量積分等來計算．

2.1 利用函數(shù)的對稱性計算

2.2 利用Γ，β函數(shù)計算

2.3 利用重要極限計算

2.4 利用留數(shù)定理計算

2.5 利用級數(shù)展開法計算

利用無窮級數(shù)計算廣義積分也是常用的一種技巧，可以將無窮區(qū)間上的廣義積分表示成級數(shù)形式來求積分．

2.6 利用含參變量積分計算

3 結語

綜上所述，廣義積分求法可以從不同的知識點、不同的角度去理解．針對不同的廣義積分，不僅可以使用換元積分求法和分部積分求法等基本方法，還可以利用函數(shù)的對稱性、Γ函數(shù)和β函數(shù)的性質(zhì)、泰勒公式的展開等方法進行運算，深度挖掘與開發(fā)新方法解決廣義積分求解是當下研究熱點．然而，我們更應當學會選擇適當?shù)姆椒▉砬蠼庀鄳膹V義積分．