張志勇 羅建宇

(1.江蘇省常州市第五中學(xué)213001；江蘇省張家港市沙洲中學(xué)215600)

我們知道，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，思路清晰有章可循，但代數(shù)方法在計(jì)算過(guò)程中很難看出幾何意義，于是為尋求能夠更直接處理幾何問(wèn)題的代數(shù)方法，數(shù)學(xué)家們開(kāi)辟了“幾何代數(shù)”領(lǐng)域．張景中先生等建構(gòu)的“點(diǎn)幾何”理論，用簡(jiǎn)明的概念、平常的符號(hào)和代數(shù)運(yùn)算的形式描述幾何對(duì)象之間的關(guān)系，不僅符合數(shù)學(xué)直觀，也能更方便地表達(dá)基本幾何事實(shí)，而且有助于幾何推理的簡(jiǎn)捷化[1][2]．GeoGebra作為一款“專(zhuān)為教與學(xué)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件”，內(nèi)嵌有計(jì)算代數(shù)系統(tǒng)和指令輸入方式，可對(duì)幾何對(duì)象進(jìn)行直接代數(shù)化處理，從而實(shí)現(xiàn)“形”(幾何Geometry)與“數(shù)”(代數(shù)Algebra)的完美融合．巧合的是，GeoGebra的很多指令規(guī)則與點(diǎn)幾何理論完全一致，可以說(shuō)GeoGebra就是點(diǎn)幾何理論的一個(gè)實(shí)踐場(chǎng)．應(yīng)用點(diǎn)幾何理論于GeoGebra實(shí)踐中，既是對(duì)理論的支持驗(yàn)證，也有助于軟件的理解把握．

1 點(diǎn)的線性運(yùn)算

點(diǎn)幾何中定義了“點(diǎn)加點(diǎn)”和“數(shù)乘點(diǎn)”，即A+B=(xA+xB,yA+yB)、λA=(λxA,λyA)；以此為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出兩點(diǎn)線性組合uA+vB=tP的意義和uA+vB=rC+sD的表示，特別地，直線上任意一點(diǎn)都可以表示成P=tA+(1-t)B，△ABC平面上任意點(diǎn)P=xA+yB+(1-x-y)C．

GeoGebra支持點(diǎn)的線性運(yùn)算．如圖1，在指令輸入框中輸入“A+B”、“-2A”，得到D、E兩點(diǎn)；輸入“(A+B)/2”、“(A+B+C)/3”，得到線段AB的中點(diǎn)F和三角形ABC的重心G；輸入“B-A+C”，可構(gòu)造平行四邊形ABHC的第四個(gè)頂點(diǎn)H．值得說(shuō)明的是，GeoGebra有很好的幫助功能，如查看代數(shù)區(qū)中的坐標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)D=(xA+xB,yA+yB)、E=(-2xA,-2yA)；而圖1右側(cè)的作圖過(guò)程，可查看每一個(gè)點(diǎn)的屬性；另外A、B、C為給定的初始點(diǎn)．

圖1

擴(kuò)展開(kāi)去，可通過(guò)語(yǔ)句“P=x*A+y*B+(1-x-y)*C”的輸入，來(lái)構(gòu)造△ABC平面上任意一點(diǎn)P；而有了任意點(diǎn)P后，又可在運(yùn)算區(qū)中通過(guò)指令“Solve(P=x*A+y*B+(1-x-y)*C)”來(lái)獲取參數(shù)x、y的值．

◆1、在繪圖區(qū)中構(gòu)造三點(diǎn)A、B、C和三角形t1；在運(yùn)算區(qū)儲(chǔ)存格1～4的指令域中分別輸入“λ:=0.5”、“μ:=0.4”、“D:=λ*C+(1-λ)*A”、“E:=μ*B+(1-μ)*A”，得到AB、AC上兩點(diǎn)D、E．

◆2、在繪圖區(qū)中構(gòu)造線段BD、CE和交點(diǎn)F；在運(yùn)算區(qū)儲(chǔ)存格5～7的指令域中，分別輸入“Solve(F=x*B+(1-x)*D)”、“Solve(F=x*C+(1-x)*E)”、“Solve(F=m*A+n*B+(1-m-n)*C)”．

圖2

說(shuō)明：借助指令“AffineRatio()”，得到的只是系數(shù)的近似數(shù)；而在運(yùn)算區(qū)應(yīng)用“Solve()”求解方程時(shí)，可得到精確解．

以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可用點(diǎn)幾何法證明如下(取A為原點(diǎn))：

得(1-μ)D+(1-λ)μB=(1-λ)E+(1-μ)λC,

又(1-μ)+(1-λ)μ=(1-λ)+(1-μ)λ，

故而(1-μ)D+(1-λ)μB=(1-λ)E+(1-μ)λC

=(1-λμ)F,

2 點(diǎn)的數(shù)量積運(yùn)算

圖3

例2如圖4，△ABC中，AB=AC，D是AB的中點(diǎn)，O是△ABC的外心，E是△ACD的重心．求證：OE⊥CD．

◆3、構(gòu)造任意兩點(diǎn)A、B和角度滑動(dòng)條α，輸入“C=e^(l*α)*(B-A)+A”得到C點(diǎn)；輸入“Polygon(C,A,B)”，構(gòu)造等腰三角形t1；輸入(A+B)/2，得到AB邊上的中點(diǎn)D．

◆4、輸入“TriangleCenter(A,B,C,3)”，得到△ABC的外心O；輸入“(A+C+D)/3”，得到△ACD的重心E；輸入“(E-O)*(D-C)”，得到數(shù)量積d(如圖4，結(jié)果為0，說(shuō)明OE⊥CD)．

圖4

下面給出點(diǎn)幾何法證明(取O為原點(diǎn))：

O是△ABC的外心?A2=B2=C2，

AB=AC?(B-A)2=(C-A)2

?B·A=C·A，

E是△ACD的重心

=0.

3 點(diǎn)的外積運(yùn)算

點(diǎn)幾何中將兩點(diǎn)A、B的外積定義為AB=B-A，并且給出了三點(diǎn)A、B、C外積的概念，即ABC=xAyB+xByC+xCyA-xAyC-xByA-xCyB，表示△ABC的帶號(hào)面積(A、B、C順序?yàn)槟鏁r(shí)針時(shí)ABC>0，順時(shí)針時(shí)ABC<0)．

GeoGebra中并沒(méi)有兩點(diǎn)外積、三點(diǎn)外積的定義，但指令“Cross(,)”可用于計(jì)算兩個(gè)向量的向量積(也就是外積，可用?替代)，表示帶號(hào)面積．

◆5、構(gòu)造三點(diǎn)A、B、C，輸入“Polygon(A,B,C)”，得到三角形t1；輸入“(A-B)?(B-C)”(或者“Cross(A-B,B-C)”，得到外積計(jì)算結(jié)果d．

說(shuō)明：由圖5的計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，外積的計(jì)算結(jié)果為三角形面積的2倍．事實(shí)上，由外積公式(a1,a2)?(b1,b2)=a1b2-a2b1，得(A-B)?(B-C)=(xA-xB,yA-yB)?(xB-xC,yB-yC)，化簡(jiǎn)得到(A-B)?(B-C)=xAyB+xByC+xCyA-xAyC-xByA-xCyB，這一結(jié)果與點(diǎn)幾何中的三點(diǎn)外積ABC的定義一致．也就是說(shuō)，點(diǎn)幾何中的ABC實(shí)際上表示的是△ABC帶號(hào)面積的2倍(對(duì)應(yīng)著平行四邊形的面積)．

◆6、構(gòu)造滑動(dòng)條t，分別輸入“t*C+(1-t)*B”、“t*A+(1-t)*C”、“t*B+(1-t)*A”，得到點(diǎn)D、E、F；構(gòu)造線段AD、BE、CF及相應(yīng)的交點(diǎn)P、Q、R．

圖5

以上結(jié)論用點(diǎn)幾何法解答如下：

取C為原點(diǎn)，則

D=(1-t)B,E=tA?

(1-t)D+t2A=tE+(1-t)2B=(t2-t+1)P，

又BD=tBC?D=(1-t)B+tC，

所以有(t2-t+1)P=t2A+(1-t)2B+t(1-t)C；

同理(t2-t+1)Q=t2B+(1-t)2C+t(1-t)A，

(t2-t+1)R=t2C+(1-t)2A+t(1-t)B，

將三式作外積并略去零值項(xiàng)，得

(t2-t+1)3PQR=t6ABC+(1-t)6BCA+

t3(1-t)3CAB+t3(1-t)3ACB+

t3(1-t)3BAC+t3(1-t)3CBA,

因?yàn)锳BC=BCA=CAB=-ACB

=-BAC=-CBA，

4 點(diǎn)的復(fù)數(shù)乘法

點(diǎn)幾何中定義復(fù)數(shù)乘點(diǎn)為iA=i(x,y)=(-y,x)，表示將點(diǎn)A(x,y)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)(-y,x)；進(jìn)一步的，取復(fù)數(shù)α=u+vi，有αA=uA+v(iA)=(ux-vy,uy+vx)，如果用三角形式α=r(cosθ+icosθ)來(lái)表示的話(huà)，則αA的幾何意義為將點(diǎn)rA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)αA；進(jìn)一步地，引進(jìn)指數(shù)式eiθ=cosθ+isinθ，則有eiθA=(xcosθ-ysinθ,ycosθ-xsinθ)．

在取定坐標(biāo)系的情況下，GeoGebra中默認(rèn)代數(shù)區(qū)為一復(fù)平面，因此點(diǎn)與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，如在指令欄鍵入復(fù)數(shù)“P=3+4i”，在繪圖區(qū)中構(gòu)造點(diǎn)P(3,4)，同時(shí)在代數(shù)區(qū)中顯示復(fù)數(shù)“P=3+4i”．我們可以通過(guò)“屬性對(duì)話(huà)框→代數(shù)區(qū)→坐標(biāo)”的設(shè)置來(lái)實(shí)現(xiàn)點(diǎn)與復(fù)數(shù)的轉(zhuǎn)換：將復(fù)數(shù)的坐標(biāo)屬性改為“直角坐標(biāo)”，則復(fù)數(shù)切換為點(diǎn)；反之，將點(diǎn)的坐標(biāo)屬性改為“復(fù)數(shù)”，則點(diǎn)又可切換為復(fù)數(shù)(當(dāng)然更改只是GeoGebra在代數(shù)區(qū)中的顯示形式，繪圖區(qū)中繪制的點(diǎn)實(shí)際上是不變的)．于是，點(diǎn)幾何中所講的復(fù)數(shù)乘點(diǎn)在GeoGebra中其實(shí)就是復(fù)數(shù)乘復(fù)數(shù)，但要特別注意的是，點(diǎn)乘點(diǎn)是點(diǎn)的數(shù)量積，不能理解為復(fù)數(shù)乘復(fù)數(shù)．

例4(拿破侖定理)如圖6，△ABC中分別以三邊為邊長(zhǎng)同時(shí)向外作正三角形△BCD、△CAE及△ABF，其中O1、O2、O3分別是△BCD、△CAE、△ABF的重心，則△O1O2O3為正三角形．

◆8、構(gòu)造三點(diǎn)A、B、C和三角形t1，輸入“t=e^(i*π/3)”得到復(fù)數(shù)t．

◆9、分別輸入“D=C+t*(B-C)”、“E=A+t*(C-A)”、“F=B+t*(A-B)”得到復(fù)數(shù)D、E、F，將D、E、F的坐標(biāo)屬性修改為“直角坐標(biāo)”得到三個(gè)點(diǎn)；分別輸入“Polygon(C,D,B)”、“Polygon(C,E,A)”、“Polygon(A,B,F)”得到三個(gè)正三角形t2、t3、t4．

說(shuō)明：GeoGebra中復(fù)數(shù)乘點(diǎn)得到的是復(fù)數(shù)，需要修改坐標(biāo)屬性才能得到點(diǎn)，當(dāng)然如果將輸入指令修改為“D=ToPoint(C+t(B-C))”則可直接得到復(fù)數(shù)點(diǎn)D；

◆10、分別輸入“TriangleCenter(B,C,D,2)”、“TriangleCenter(C,A,E,2)”、“TriangleCenter(A,B,F,2)”，得到三個(gè)三角形的重心O1、O2、O3；輸入“Polygon(O_2,O_1,O_3)”，得到三角形t5．輸入指令“O_1+t*(O_2-O_1)”，得到的復(fù)數(shù)點(diǎn)與O_3重合，從而得到結(jié)論“△O1O2O3為正三角形”．

圖6

點(diǎn)幾何法證明如下：

要證△O1O2O3為正三角形”，

只要證O3=tO2+(1-t)O1，

又O1、O2、O3為重心，只要證

而D=tB+(1-t)C，E=tC+(1-t)A，

F=tA+(1-t)B，

故而只要證

(1+t)A+(2-t)B=t(1+t)C+t(2-t)A+(1-t2)B+(1-t)(2-t)C，

整理得

(1+t)A+(2-t)B=t(2-t)A+(1-t2)B+[(1-t)(2-t)+t(1+t)]C，

(*)

從而(*)式得證，所以△O1O2O3為正三角形．

應(yīng)用復(fù)數(shù)乘點(diǎn)可以簡(jiǎn)化涉及角度的幾何問(wèn)題，本例當(dāng)然也可采用復(fù)數(shù)恒等式方法證明．與例2相類(lèi)似，有了復(fù)數(shù)恒等式，我們不但可以壓縮證明過(guò)程，還可以得到更一般的數(shù)學(xué)結(jié)論[3]．

以上，我們以GeoGebra為軟件平臺(tái)，從點(diǎn)的線性運(yùn)算、數(shù)量積、外積和復(fù)數(shù)乘點(diǎn)四個(gè)層面驗(yàn)證了點(diǎn)幾何理論的實(shí)用價(jià)值和獨(dú)特魅力．一方面，點(diǎn)幾何能直觀方便地表達(dá)基本幾何事實(shí)，GeoGebra可以更好的闡釋點(diǎn)幾何的理論構(gòu)架；另一方面，以點(diǎn)為對(duì)象進(jìn)行操作運(yùn)算，點(diǎn)幾何理論指導(dǎo)下的GeoGebra構(gòu)造更加快捷高效．事實(shí)上，GeoGebra的指令輸入，不僅可以對(duì)點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)算，還可以對(duì)圓錐曲線、多邊形等幾何對(duì)象進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、放縮等操作．總而言之，點(diǎn)幾何理論與GeoGebra實(shí)踐的融合應(yīng)用，在彰顯點(diǎn)幾何的教育價(jià)值的同時(shí)，為我們?cè)诨A(chǔ)教育階段推行點(diǎn)幾何理論開(kāi)辟了一條路徑．