童第華, 吳學仁, 趙曉辰,2, 徐 武, 胡本潤,2

（1.中國航發(fā)北京航空材料研究院 檢測研究中心，北京 100095；2.中國航空發(fā)動機集團 材料檢測與評價重點實驗室，北京100095；3.上海交通大學 航空航天學院，上海 200240；4.大連理工大學 工業(yè)裝備結(jié)構分析國家重點實驗室，遼寧 大連116024；5.航空材料檢測與評價北京市重點實驗室，北京 100095）

矩形截面三點彎曲梁是斷裂力學中最常見的裂紋幾何之一，它不但是一種常用的材料斷裂韌度和疲勞裂紋擴展速率測定的標準試樣[1]，也是許多工程結(jié)構的一種重要部件。該部件裂紋問題的應力強度因子（SIF）和裂紋嘴張開位移（CMOD）等斷裂力學關鍵參量最早是由Gross和Srawley[2-4]利用邊界配置法（BCM）針對特定的跨寬比（S/W = 4）給出的，并被長期應用至今。后續(xù)研究工作還計算了該試樣的加載點位移[5-6]。Kaya和Erdogan利用奇異積分方程方法給出了S/W = 4的高精度應力強度因子（SIF）和裂紋嘴張開位移（CMOD）[7]。Bakker[6]通過嚴格的推導給出了S/W = 4試樣的寬范圍解析解，并結(jié)合有限元分析對SIF和CMOD的精度進行了全面評價。

材料斷裂性能的測定通常采用S/W = 4的三點彎曲標準試樣，而工程結(jié)構中的S/W比值則是任意的。任意跨寬比（S/W）三點彎曲梁的高精度SIF和CMOD解是對構件進行斷裂力學分析的前提。盡管Fett[8]利用BCM求得的權函數(shù)分析了不同S/W值的應力強度因子和加載點位移，但是加載點位移不便于實際使用，而裂紋嘴張開位移則更容易通過實驗測定。

本工作針對任意跨寬比S/W的三點彎曲梁，利用Wu（吳學仁）-Carlsson[9-11]解析權函數(shù)法求得寬范圍無量綱裂紋長度（0 ≤ α ≤ 0.85）的高精度SIF和CMOD解。求解中所需的裂紋面應力分布由Filon的經(jīng)典解析公式計算得到[12]，進而通過對解析權函數(shù)法結(jié)果的多元線性回歸，確定三點彎曲梁任意跨寬比S/W值（S/W＝2～16）的寬范圍SIF和CMOD表達式。最后對解析權函數(shù)法在黏聚斷裂韌度計算中的應用做簡單討論。

1 利用解析權函數(shù)法求解SIF和CMOD

1.1 有限寬板邊緣裂紋的Wu-Carlsson解析權函數(shù)

根據(jù)斷裂力學的權函數(shù)理論，SIF可以通過對權函數(shù)m（a, x）與假想裂紋處的應力分布σ（x）的乘積進行積分而求得，見式（1）[9-11]。權函數(shù)m（a, x）僅與裂紋幾何（包括載荷-位移邊界條件）有關。

式中： a和x分別是裂紋長度和沿裂紋的坐標。

對于邊緣裂紋，坐標x的原點位于裂紋嘴處。為便于推導，引入無量綱量：α= a/W，=x/W和σ（）/σ0。其中σ0為名義應力，W為板寬，如圖1所示。

于是式（1）可以寫成：

三點彎曲梁屬于典型的有限寬矩形板邊緣裂紋，其解析權函數(shù)m（α/α）已由 Wu-Carlsson及其合作者給出（L/W≥ 2）[9-11]。注意圖1中的板長度L有別于跨距S。鑒于本工作考慮S/W≥ 2，則肯定有L/W≥ 2。該解析權函數(shù)m（α/α）的無量綱級數(shù)展開式為：

圖1 三點彎曲梁Fig. 1 Three-point bending beam

式中：函數(shù)Fi（α）是根據(jù)文獻[9-11]中的規(guī)范化解析權函數(shù)法，利用有限寬矩形板邊緣裂紋在一種參考載荷下的SIF和CMOD已知解確定的?；谶@些Fi（α），就能夠通過式（3b）得到系數(shù)βi（α），于是就能最終確定式（3a）的權函數(shù)m（α/α）。該權函數(shù)的精度已經(jīng)過嚴格驗證。有關推導和驗證的具體細節(jié)可參見文獻[9-11]。

為方便使用，文獻[10-11]給出了有限寬板邊緣裂紋權函數(shù)的βi（α）系數(shù)（式（3b））的高精度擬合表達式：

1.2 用權函數(shù)法求解復雜應力作用下的應力強度因子

對有限寬板邊緣裂紋的解析權函數(shù)m（α,/α）與無裂紋體在假想裂紋位置的應力分布σ（x）的乘積按式（2）進行積分，便能求得在任意σ（x）作用下的應力強度因子K。在工程實際中，一個非常簡便有效的通用方法是用多項式來表達復雜的σ（x）分布，其中的每一項則可以表示為式（4）的冪函數(shù)（n為正整數(shù)）分布應力（圖2）：

將式（4）和式（3）代入式（2）中，就能得到冪函數(shù)分布應力下的無量綱應力強度因子fn的封閉解[9-11]：

按式（5）求得的fn值見表1。

對于裂紋面受多項式分布應力的情況：

圖2 裂紋面受冪函數(shù)分布應力Fig. 2 Crack line power stress loading

表1 由式（5）得到的裂紋面冪函數(shù)應力σ（）/σ0=n（n = 0～6）引起的無量綱應力強度因子fnTable 1 Non-dimensional SIF fn for crack line power stress σ（）/σ0=n（n = 0-6）determined by Eq（5）.

表1 由式（5）得到的裂紋面冪函數(shù)應力σ（）/σ0=n（n = 0～6）引起的無量綱應力強度因子fnTable 1 Non-dimensional SIF fn for crack line power stress σ（）/σ0=n（n = 0-6）determined by Eq（5）.

n α 0 1 2 3 4 5 6 0.01 1.1226 6.8236×10-13 5.2464×10-5 4.4008×10-7 3.8597×10-9 3.4771×10-11 3.1888×10-13 0.05 1.1402 3.4471×10-2 1.3217×10-3 5.5346×10-5 2.4245×10-6 1.0913×10-7 5.0012×10-9 0.1 1.1890 7.0886×10-2 5.3978×10-3 4.5017×10-4 3.9331×10-5 3.5335×10-6 3.2339×10-7 0.2 1.3672 1.5577×10-1 2.3174×10-2 3.8112×10-3 6.5968×10-4 1.1774×10-4 2.1441×10-5 0.3 1.6602 2.6753×10-1 5.7829×10-2 1.3985×10-2 3.5821×10-3 9.4960×10-4 2.5749×10-4 0.4 2.1113 4.2491×10-1 1.1788×10-1 3.7080×10-2 1.2447×10-2 4.3438×10-3 1.5552×10-3 0.5 2.8241 6.6303×10-1 2.2011×10-1 8.4007×10-2 3.4501×10-2 1.4810×10-2 6.5452×10-3 0.6 4.0333 1.0583 4.0145×10-1 1.7748×10-1 8.5181×10-2 4.2987×10-2 2.2429×10-2 0.7 6.3558 1.8100 7.5861×10-1 3.7524×10-1 2.0330×10-1 1.1657×10-1 6.9437×10-2 0.8 11.9548 3.6179 1.6315 8.7726×10-1 5.2096×10-1 3.2956×10-1 2.1773×10-1 0.85 18.6264 5.7758 2.6786 1.4869 9.1465×10-1 6.0119×10-1 4.1376×10-1 0.9 34.6348 1.0967×101 5.2027 2.9615 1.8731 1.2691 9.0252×10-1

相應的無量綱應力強度因子不需進行數(shù)值積分，僅通過簡單的四則運算就能求得：

1.3 用權函數(shù)法求解裂紋張開位移

除SIF外，受任意載荷作用下的裂紋面張開位移（COD）和裂紋嘴張開位移（CMOD）也可用權函數(shù)法方便地求得[9-11]。根據(jù)權函數(shù)m（α,/α）與裂紋面位移u（α/α）的關系，結(jié)合裂紋尖端條件u（α/α= 0）=0，通過對式（8）的積分，有：

將式（3）的權函數(shù)m（α/α）和式（2b）的f代入式（8）中，得到任意載荷下的COD：

在許多情況下，從實驗的角度考慮CMOD比COD更為重要。利用式（9）能夠方便地計算得到CMOD。對于冪函數(shù)分布應力情況σ（）/σ0=n, 記相應的 CMOD 為Vn（Vn=u（α/α= 0）E'/（σ0α）），則有：

根據(jù)式（10）計算的裂紋面受冪函數(shù)分布應力σ（）/σ0=n作用下的 CMOD 見表 2。

利用這些值, 采用類似于式（7）計算SIF的方法，就能通過簡單的四則運算得到在多項式分布應力（式（6））作用下的 CMOD：

2 任意跨寬比S/W三點彎曲梁的無裂紋應力計算

利用權函數(shù)法計算應力強度因子和裂紋面張開位移，除了需要該裂紋幾何的權函數(shù)m（α/α）（式（3））外，還需要無裂紋體中假想裂紋處的無量綱應力分布σ（）/σ0。無裂紋的σ（）/σ0計算屬于常規(guī)的彈性力學問題，一般可通過有限元等數(shù)值方法計算得到，但對于本工作考慮的任意S/W三點彎曲梁（圖1），由于集中力加載導致的奇異性，即使采用高度細分的有限元網(wǎng)格也很難給出＝1.0區(qū)域的高精度應力分布。Filon對任意跨寬比S/W三點彎曲梁的無裂紋應力給出了經(jīng)典的解析解[12]，即式（12）的無窮級數(shù)：

表2 由式（10）得到的裂紋面冪函數(shù)應力σ（）/σ0=n（n = 0～6）引起的無量綱裂紋嘴張開位移CMOD：V（α/α = 0）=u（α/α = 0）E'/（σ0α）Table 2 Non-dimensional CMOD for power stresses σ（）/σ0=n, V（α/α = 0）= u（α,/α = 0）E'/（σ0α）, determined byEq（10）

表2 由式（10）得到的裂紋面冪函數(shù)應力σ（）/σ0=n（n = 0～6）引起的無量綱裂紋嘴張開位移CMOD：V（α/α = 0）=u（α/α = 0）E'/（σ0α）Table 2 Non-dimensional CMOD for power stresses σ（）/σ0=n, V（α/α = 0）= u（α,/α = 0）E'/（σ0α）, determined byEq（10）

n α 0 1 2 3 4 5 6 0.01 2.9127 8.8592×10-3 4.5425×10-5 2.8583×10-7 2.0058×10-9 1.5059×10-11 1.1838×10-13 0.05 2.9632 4.5292×10-2 1.1640×10-3 3.6674×10-5 1.2880×10-6 4.8382×10-8 1.9026×10-9 0.1 3.1026 9.6129×10-2 4.9725×10-3 3.1450×10-4 2.2143×10-5 1.6665×10-6 1.3123×10-7 0.2 3.6592 2.3602×10-1 2.4849×10-2 3.1738×10-3 4.4965×10-4 6.7961×10-5 1.0736×10-5 0.3 4.7001 4.7430×10-1 7.6079×10-2 1.4687×10-2 3.1349×10-3 7.1269×10-4 1.6920×10-4 0.4 6.5374 9.0944×10-1 1.9634×10-1 5.0714×10-2 1.4453×10-2 4.3833×10-3 1.3877×10-3 0.5 9.8973 1.7566 4.7518×10-1 1.5328×10-1 5.4510×10-2 2.0629×10-2 8.1505×10-3 0.6 16.6091 3.5619 1.1510 4.4315×10-1 1.8821×10-1 8.5119×10-2 4.0214×10-2 0.7 32.2131 8.0118 2.9870 1.3284 6.5276×10-1 3.4200×10-1 1.8740×10-1 0.8 79.9443 2.2331×10-1 9.3447 4.6773 2.5934 1.5365 9.5360×10-1 0.85 149.6840 4.3872×10-1 1.9274×10-1 1.0145×10-1 5.9244 3.7013 2.4248 0.9 355.1260 1.0858×10-2 4.9789×10-1 2.7395×10-1 1.6748×10-1 1.0969×10-1 7.5418

式（12）中的級數(shù)展開項數(shù)n的選擇取決于對求解精度的要求。經(jīng)過收斂性分析，取n= 100和125得到結(jié)果差別在0.15%以內(nèi), 故這里對式（12）取n= 100。結(jié)合工程結(jié)構三點彎曲梁的典型情況，本工作考慮梁的跨寬比為S/W= 2～16。具體計算中取S/W= 2、4、8和16作為示例，根據(jù)式（12）計算的無裂紋應力分布σ（ξ）/σ0，見圖3。

圖3 不同跨寬比S/W三點彎曲梁的無裂紋應力分布，由Filon式（12）求得（n = 100）[12]Fig. 3 Un-cracked stress distribution for three-point bending beam, using Filon’s expression (12) with 100 terms[12]

把以上計算得到的假想裂紋處的應力分布擬合為式（13）所示的多項式形式（0 ≤≤ 0.95）：

式中的系數(shù)Cn見表3。

3 任意跨寬比S/W三點彎曲梁的SIF和CMOD

三點彎曲梁受式（13）所示多項式形式的裂紋面應力分布，其SIF和CMOD可以很簡單地通過式（7）和式（11）確定（Cn、fn和Vn分別見表 3、表 1和表2）。按此求得的SIF和CMOD結(jié)果分別見表4、表5和圖4。對于S/W= 4情況，與Kaya和Erdogan[7]、ASTM[1]、Bakker[6]，Guinea 等[13]和 Fett[8]的結(jié)果做了廣泛比較。本工作計算結(jié)果與文獻中公認的Kaya和Erdogan[7]高精度結(jié)果最為接近，SIF和CMOD的最大差異分別為0.27%和0.39%。而對于α= 0.2～0.4的 CMOD解，ASTM[1]中的Srawley公式和Guinea等[13]給出的結(jié)果與Kaya和Erdogan[7]的相對誤差均超過1.0%。當裂紋長度較小時（α＜ 0.2），ASTM[1]中的 Srawley 公式過高估計了SIF，這與Bakker[6]的結(jié)論完全一致。這表明利用解析權函數(shù)法能夠快速求得任意跨寬比S/W的三點彎曲梁的高精度SIF和CMOD。而這種方法的計算效率則是有限元法的103～104倍，且不需要數(shù)值解法所需的建模經(jīng)驗。

為確定任意跨寬比S/W的三點彎曲梁的SIF和 CMOD，這里基于式（7）和式（11）的計算結(jié)果，結(jié)合理論極限值：α= 0為f（α）（1-α）3/2=1.0731，V（α）（1-α）2= 2.7832；α= 1.0 為f（α）（1-α）3/2=0.37384，V（α）（1-α）2= 1.3172，擬合得到了以下高精度表達式（擬合偏差小于1%），其適用范圍為0 ≤α≤ 1.0, 2 ≤S/W≤ 16。

式中：系數(shù)λi和χi（i= 0,1…,6）為：

表3 式（13）三點彎曲梁σ（）/σ0的應力多項式系數(shù)CnTable 3 Crack line stress polynomial coefficients Cn for three-point bending beam in Eq.（13）

表3 式（13）三點彎曲梁σ（）/σ0的應力多項式系數(shù)CnTable 3 Crack line stress polynomial coefficients Cn for three-point bending beam in Eq.（13）

Cn S/W 10 12 16 0 2 4 6 8 0.9303 0.9530 0.9686 0.9758 0.9812 0.9846 0.9884 1-2.6150 -2.2367 -2.1574 -2.1135 -2.0966 -2.0846 -2.0649 2 2.4415 1.1596 0.7733 0.5721 0.4717 0.4063 0.3115 3-1.3218 -0.6728 -0.4493 -0.3331 -0.2763 -0.2412 -0.1875

表4 三點彎曲梁SIF和CMOD的比較，S/W = 4Table 4 Comparison of SIF and CMOD for three-point bending beam, S/W = 4

表5 三點彎曲梁的SIF和CMOD，S/W = 2, 8和16Table 5 SIF and CMOD for three-point bending beam, S/W = 2, 8 and 16

為了在實驗中方便地測量裂紋長度，需要得到無量綱裂紋長度α和CMOD之間的柔度關系式。通過式（14d）進行逆運算得到相應的柔度關系如圖4（b）所示。圖4（b）中也把本文的結(jié)果與Guinea等[13]根據(jù)插值方法得到的2.5 ≤S/W≤ 16柔度關系式（15）做了比較，二者的差別在1%之內(nèi)。

4 三點彎曲梁的黏聚斷裂韌度計算

作用在裂紋尖端后方的黏聚應力起著約束裂紋張開和阻滯裂紋擴展的作用，如圖5所示。它所引起的黏聚斷裂韌度（KIC，c，為負值）對于脆性材料的斷裂準則研究十分重要。由于KIC，c直接影響起裂斷裂韌度KIC，ini計算結(jié)果的準確性（KIC，ini＝KIC，un-KIC，c，KIC，un為失穩(wěn)斷裂韌度），其求解計算被認為是確定混凝土雙K斷裂韌度的核心環(huán)節(jié)[14-16]。而計算黏聚斷裂韌度KIC，c則需要相關裂紋幾何的權函數(shù)（或格林函數(shù)，二者僅差一個系數(shù)(πα)1/2）。文獻中對三點彎曲梁試樣即有限寬矩形板邊緣裂紋的黏聚斷裂韌度計算問題有較多討論[15-17]，但值得注意的是，這些文獻普遍采用了著名的Tada-Paris-Irwin早期應力強度因子手冊[18]中作用在裂紋面任意位置的一對集中力P引起的K解公式，即式（16）的格林函數(shù)：

為便于積分，文獻[17]還用式（17a）的“通用權函數(shù)” 表達式對式（16b）進行了最小二乘擬合（擬合偏差 ＜ 1.5%）。

與式（17a）對應的格林函數(shù)為：

式中的系數(shù)M1-4見文獻[15，17]。

本文作者在文獻[10-11]中采用多種方法，對有限寬矩形板邊緣裂紋的各種權函數(shù)的精度做了綜合驗證和評價，發(fā)現(xiàn)式（16）和式（17）的精度存在較大問題：其誤差與α和ζ/α有關，局部最大值超過了15%，并非所稱的2%[17-18]。這必然會明顯影響KIC，c和后續(xù)KIC，ini的計算精度。

圖4 三點彎曲梁（S/W = 2, 4, 8, 16和純彎曲）的SIF和CMOD的比較Fig. 4 Comparison of SIF and CMOD for three-point bending beam（for S/W = 2, 4, 8, 16 and pure bending）（a）SIF；（b）CMOD

利用文獻 [9～11] 的權函數(shù)（即本文式（3）），可以很方便地計算黏聚應力引起的黏聚斷裂韌度KIC，c。在圖 5（a）中，當裂紋面的任意區(qū)段受任意區(qū)段的線性分布應力作用時, 可以把該應力寫為：

圖5（a）中的區(qū)段線性分布應力引起的無量綱應力強度因子為[9-11]：

圖5 裂紋面受區(qū)段線性應力和兩種黏聚應力分布（a）裂紋面受區(qū)段線性應力；（b）第一種黏聚應力分布；（c）第二種黏聚應力分布Fig. 5 Linear stress segment acting on part of the crack and two cohesive stress distributions（a）linear stress segment acting on part of the crack；（b）the first cohesive stress distribution； （ c） the second cohesive stress distribution

利用式（18）和（19），可以方便地求得圖 5（b，c）的兩種黏聚應力分布引起的黏聚斷裂韌度KIC，c。

5 結(jié)論

（1）利用有限寬板邊緣裂紋的Wu-Carlsson解析權函數(shù)，結(jié)合無裂紋應力分布的Filon解析解，根據(jù)三點彎曲梁的無裂紋應力分布的多項式系數(shù)和冪函數(shù)應力下的權函數(shù)封閉解，通過簡單的四則運算，求得了跨寬比S/W= 2、4、8、16和∞的三點彎曲梁的應力強度因子和裂紋嘴張開位移；其中，S/W=4的計算結(jié)果與公認的Kaya和Erdogan積分方程解高度一致。針對工程應用需求，給出了任意跨寬比的寬范圍應力強度因子和裂紋嘴張開位移的擬合表達式。

（2）對利用權函數(shù)法計算材料的黏聚斷裂韌度KIC，c做了討論，指出了文獻中所采用的Tada-Paris-Irwin早期手冊中的格林函數(shù)及其后續(xù)擬合的權函數(shù)公式的精度問題，以及對計算結(jié)果的影響。