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        基于ARIMA 模型的未知觀測噪聲協(xié)方差矩陣的卡爾曼濾波技術(shù)

        2020-06-23 09:03:10邢思遠(yuǎn)徐國亮
        艦船電子對抗 2020年2期
        關(guān)鍵詞:協(xié)方差卡爾曼濾波差分

        邢思遠(yuǎn),張 遜,徐國亮

        (江蘇自動化研究所,江蘇 連云港222061)

        0 引 言

        雷達(dá)量測數(shù)據(jù)可以看作是1組有序、隨機(jī)的時間序列數(shù)據(jù)[1],此數(shù)據(jù)實(shí)際是由目標(biāo)真值和量測誤差綜合組成。對該量測時間序列的一種處理方法是時間序列分析法。這種方法通過序列自身建立可以直觀體現(xiàn)出觀測數(shù)據(jù)序列與噪聲序列之間關(guān)系的模型,再進(jìn)一步利用此模型進(jìn)行分析和研究[2-3]。在某些工程中,存在著無法精確獲得觀測噪聲矩陣的情況,而根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取的觀測噪聲矩陣值的準(zhǔn)確性將直接影響到標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方法的性能,最嚴(yán)重的后果就是狀態(tài)估計(jì)發(fā)散而徹底無法工作[4],這種情況下研究未知觀測噪聲協(xié)方差矩陣的卡爾曼濾波方法是很有必要的。本文主要工作就是解決這一問題。通過構(gòu)建時間序列模型,在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)未知觀測噪聲協(xié)方差矩陣的遞推式,并用于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波中進(jìn)行狀態(tài)濾波。經(jīng)過建模仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,取得了良好的效果。

        1 建立時間序列模型

        t時刻的序列可以通過公式表示為:

        式中:φi(i=1,2,…,p)為自回歸(AR)參數(shù);p為AR 的階數(shù);θj(j=1,2,…,q)為滑動平均參數(shù),q為MA 的階數(shù);{a t}之一序列為白噪聲序列。

        式(1)稱為{x t}的自回歸滑動平均模型[5],記為ARMA(p,q)模型。

        ARMA 模型處理的數(shù)據(jù)要求是平穩(wěn)的,但在實(shí)際的雷達(dá)測量中,數(shù)據(jù)通常是非平穩(wěn)的。處理方法是通過數(shù)據(jù)差分除去序列中的趨勢項(xiàng),直到序列平穩(wěn)為止。對于該處理后的平穩(wěn)數(shù)據(jù)先進(jìn)行ARMA建模[6],再根據(jù)差分的次數(shù)計(jì)算出差分算子,最后反向得到原始序列的時間序列模型,即自回歸和滑動平均(ARIMA)模型。

        所以,對于非平穩(wěn)時間序列模型,ARIMA 模型可表示為:

        其中:

        式中:p、q意義與式(1)中相同;d為差分階數(shù);L為后移算子,滿足Lx k=x k-1。

        與式(1)相比,式(2)包含d階差分算子?d=(1-L)d,在處理非平穩(wěn)數(shù)據(jù)時,通過將d階差分算子作用于原始序列{x t},獲得平穩(wěn)的時間序列{x′t}。通過對平穩(wěn)時間序列建立ARMA(p,q)模型,可以得到原始非平穩(wěn)時間序列的ARIMA(p,q,d)模型[7]。

        對于{x′t}建立的ARMA 模型Φx′t=Θa t,通過令x t=?d x′t,得到關(guān)于原始非平穩(wěn)時間序列的ARIMA 模型Φx t=Θa t,即Φ?d x′t=Θa t。至此,非平穩(wěn)時間序列的處理過程可以分成3步:

        (1)通過差分運(yùn)算求得原始序列的差分后平穩(wěn)序列,并得到差分階數(shù)d;

        (2)對處理后的平穩(wěn)序列進(jìn)行ARMA 建模,得到ARMA(p,q)模型;

        (3)通過差分算子,求取原始序列的ARIMA模型,ARIMA(p,q,d)。

        其中關(guān)鍵步驟是求取ARMA 模型,從過程x的N次觀察中估計(jì)ARMA 模型需要3個步驟:

        (1)確定ARMA 模型的類型,為AR、MA或ARMA 模型;

        (2)階數(shù)選擇:確定模型階數(shù)、參數(shù)數(shù)量;

        (3)參數(shù)估計(jì):確定模型的參數(shù)模型φi和θj。

        具體建模流程如圖1所示。

        圖1 建模流程框圖

        通過上述分析可知,原始序列是非平穩(wěn)時間序列,數(shù)據(jù)預(yù)處理即是對數(shù)據(jù)的差分處理過程,直到滿足平穩(wěn)性檢驗(yàn)。令序列{x′t}表示經(jīng)過差分處理之后的平穩(wěn)時間序列[2]。

        平穩(wěn)性檢驗(yàn)中采用Daniel方法假設(shè)檢驗(yàn)。做出如下假設(shè):H0表示序列平穩(wěn),H1表示序列非平穩(wěn)。取統(tǒng)計(jì)量如下:

        當(dāng)‖T‖≤tα/2(n-2)時,接受H0假設(shè)。若序列非平穩(wěn),則對該序列繼續(xù)做差分運(yùn)算。經(jīng)過d階差分后,得到平穩(wěn)時間序列[8]。

        即:

        根據(jù)式(16)建立卡爾曼濾波模型,可以得到

        本方法中觀測噪聲協(xié)方差矩陣的初始值取值條件是不能為零矩陣,同樣地,取值越接近真實(shí)值濾波收斂的速度越快。本實(shí)驗(yàn)中,協(xié)方差矩陣取小值,通過圖4的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看到,經(jīng)過約0.2 s的濾波震蕩之后,開始收斂到真值附近。

        圖4 測量值與預(yù)測值結(jié)果圖

        將該模型應(yīng)用于仿真中剩余的數(shù)據(jù),為查看方便,去除濾波未收斂部分,得到圖5結(jié)果。

        圖5 剩余數(shù)據(jù)濾波結(jié)果

        從圖4與圖5可以看出,經(jīng)過此方法濾波之后的數(shù)據(jù)要比測量數(shù)據(jù)更接近真值,在真值附近小幅度震蕩,隨機(jī)誤差得到了抑制。通過差分剔除趨勢項(xiàng)后,求得濾波前后隨機(jī)誤差方差如表2所示。

        表2 量測數(shù)據(jù)濾波前后隨機(jī)誤差方差統(tǒng)計(jì)(m/s)

        從表2可以看出,對于前400點(diǎn)量測數(shù)據(jù),量測值隨機(jī)誤差方差為1.432 4,經(jīng)過建模、濾波之后降到了0.245 2,隨機(jī)誤差方差為原始的17.12%;余下數(shù)據(jù)通過建立的模型進(jìn)行濾波之后,誤差方差為原始數(shù)據(jù)的13.60%,誤差得到了大的抑制。

        4 結(jié)束語

        本文首先通過平穩(wěn)時間序列建立了ARIMA 時間序列模型,其次推導(dǎo)出觀測噪聲協(xié)方差的遞推公式;然后將建立的時間序列模型應(yīng)用于未知觀測噪聲協(xié)方差矩陣的標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波。利用前400點(diǎn)有限數(shù)據(jù)所設(shè)計(jì)的濾波器對所有數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)誤差濾波處理,濾波后的誤差分別為原始數(shù)據(jù)的17.12%和14.60%。數(shù)據(jù)結(jié)果表明:本文提出的基于ARIMA 模型的未知觀測噪聲協(xié)方差矩陣的標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波能有效地抑制隨機(jī)誤差,可以有效地進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測,具有實(shí)用意義,對未知觀測噪聲協(xié)方差矩陣的卡爾曼濾波有較大的應(yīng)用價值。

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