余繼鳳

(湖北交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，武漢 430074)

水泥穩(wěn)定材料是路面基層材料中應(yīng)用最為廣泛的材料之一，在施工過程中應(yīng)按基層施工技術(shù)細(xì)則規(guī)定的頻率抽檢水泥劑量[1]，水泥劑量試驗(yàn)方法為EDTA滴定法[2]。

每個(gè)試樣的實(shí)測(cè)水泥劑量均要由標(biāo)準(zhǔn)曲線來確定，工地上一般做法是將標(biāo)準(zhǔn)曲線打印出來，用查圖法確定水泥劑量。但查圖法的工作量大，且EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量要準(zhǔn)確至0.1 mL，試驗(yàn)精度要求高，查圖法難以保證查圖結(jié)果的準(zhǔn)確性。文章研究標(biāo)準(zhǔn)曲線的水泥劑量計(jì)算公式，將查圖法轉(zhuǎn)化為查表法，既可提高工作效率，也可避免試驗(yàn)檢測(cè)人員在查圖時(shí)因?yàn)榇中?、估讀而造成的人為錯(cuò)誤。

該文以新疆某高速公路為例，用線性回歸、多項(xiàng)式回歸、牛頓插值對(duì)標(biāo)準(zhǔn)曲線的5個(gè)已知點(diǎn)進(jìn)行擬合，探究了EDTA標(biāo)準(zhǔn)曲線的公式及適用性。新疆某高速公路基層材料為水泥穩(wěn)定砂礫，水泥劑量設(shè)計(jì)值為4.5%，在施工準(zhǔn)備階段測(cè)出的EDTA標(biāo)準(zhǔn)曲線試驗(yàn)數(shù)據(jù)為：水泥劑量2.5%、3.5%、4.5%、5.5%、6.5%，對(duì)應(yīng)的EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量分別為7.8 mL、11.8 mL、15.2 mL、18.2 mL、21.2 mL。

施工工程中，每天抽檢拌合站水泥劑量4次，以2018年8月25抽檢的k138拌合站水泥劑量為例，測(cè)出的EDTA標(biāo)準(zhǔn)液滴定消耗量分別為15.1 mL、16.2 mL、15.6 mL、15.0 mL。

1 用線性回歸公式計(jì)算水泥劑量的方法研究

EDTA滴定法的化學(xué)原理是先用10%的氯化銨弱酸溶出水泥穩(wěn)定材料中的鈣離子，然后用EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液奪取鈣離子。水泥劑量的大小正比于鈣離子的數(shù)量，故EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液的消耗量與相應(yīng)的水泥劑量存在近似線性關(guān)系。

以EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液的消耗量為縱坐標(biāo)、水泥劑量為橫坐標(biāo)，用Excel繪制散點(diǎn)圖，設(shè)置趨勢(shì)線的選項(xiàng)為“線”，顯示公式及R2，見圖1。

從圖1可以看出，EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液的消耗量與水泥劑量線性相關(guān)。根據(jù)圖1中的趨勢(shì)線公式y(tǒng)=3.320 00x-0.100 00，反求水泥劑量x=(y+0.1)/3.32，將已知的5個(gè)點(diǎn)的EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液的消耗量y代入公式，求得水泥劑量x見表1。

表1 用線性回歸趨勢(shì)線公式計(jì)算水泥劑量的準(zhǔn)確性分析

從圖1和表1可以看出，線性回歸趨勢(shì)線偏離了已知的點(diǎn)，且會(huì)隨R2減小，標(biāo)準(zhǔn)曲線偏離已知點(diǎn)的距離會(huì)增加，因此，不能用線性回歸趨勢(shì)線畫標(biāo)準(zhǔn)曲線，用線性回歸公式計(jì)算水泥劑量會(huì)造成偏差。

2 用多項(xiàng)式趨勢(shì)線公式計(jì)算水泥劑量的方法研究

用Excel繪制散點(diǎn)圖，設(shè)置趨勢(shì)線的選項(xiàng)為“多項(xiàng)式”，設(shè)置順序?yàn)椤?”(即為4次多項(xiàng)式)，顯示公式及R2，見圖2。

圖2中的公式y(tǒng)=0.008 333x4-0.100 000x3+0.129 167x2+5.025 000x-4.332 813為4次多項(xiàng)式(多項(xiàng)式的次數(shù)以趨勢(shì)線穿過已知點(diǎn)即可，一般情況下3次及以上可滿足要求)，系數(shù)至少保留6位小數(shù)(經(jīng)多個(gè)案例驗(yàn)證，系數(shù)保留位數(shù)很重要，保留5位以下的小數(shù)位數(shù)，多項(xiàng)式趨勢(shì)線公式計(jì)算的水泥劑量與已知點(diǎn)的水泥劑量有偏差)。式中，x為水泥劑量(%)，y為EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液的消耗量(mL)，不方便求解EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液的消耗量所對(duì)應(yīng)的水泥劑量，只能將水泥劑量代入公式，計(jì)算EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液的消耗量，見表2。

表2 用多項(xiàng)式趨勢(shì)線公式計(jì)算水泥劑量的準(zhǔn)確性分析

從圖2可看出，標(biāo)準(zhǔn)曲線的4次多項(xiàng)式趨勢(shì)線穿過已知點(diǎn)；表2中，計(jì)算值偏差為0。因此，5個(gè)點(diǎn)確定的4次多項(xiàng)式趨勢(shì)線可對(duì)標(biāo)準(zhǔn)曲線進(jìn)行擬合，可將水泥劑量代入Excel散點(diǎn)圖趨勢(shì)線顯示的4次多項(xiàng)式公式，計(jì)算出的EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量準(zhǔn)確且偏差為0。

但在施工過程中抽檢水泥劑量是已知EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)曲線來確定水泥劑量。可按水泥劑量0.1%的間隔計(jì)算EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量，將EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量與水泥劑量的關(guān)系用表格來表示，見表3。

在施工過程中抽取混合料測(cè)水泥劑量，例如，EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量為15.1 mL、16.2 mL、15.6 mL、15.0 mL，查表3，確定水泥劑量分別為4.5%、4.8%、4.6%、4.4%。

由于在工程應(yīng)用中，已知EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量，求水泥劑量，而表3中的EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量是按多項(xiàng)式趨勢(shì)線的公式，由0.1%間隔的水泥劑量求算，不是0.1 mL間隔的EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量列表，故查表時(shí)不是很方便，需要探究一種以EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量為自變量、水泥劑量為因變量的函數(shù)表達(dá)式。

表3 EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量與水泥劑量關(guān)系對(duì)照表(由4次多項(xiàng)式趨勢(shì)線公式計(jì)算)

3 用牛頓插值公式計(jì)算水泥劑量的方法研究

3.1 牛頓插值公式

已知n個(gè)點(diǎn)為：(x0,f(x0))，(x1,f(x1))……(xn-1,f(xn-1))，牛頓插值法求穿過已知點(diǎn)的多項(xiàng)式函數(shù)表達(dá)式見式(1)。

f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)

(1)

式中，f[x0,x1]……f[x0,…,xn]為差商，見表4。

表4 差商表

一階差商計(jì)算公式見式(2)、二階差商計(jì)算公式見式(3)、k階差商計(jì)算公式見式(4)。

(2)

(3)

(4)

3.2 牛頓插值公式應(yīng)用

1)求差商表

上述案例的標(biāo)準(zhǔn)曲線，已知5個(gè)點(diǎn)為(7.8，2.5)、(11.8，3.5)、(15.2，4.5)、(18.2，5.5)、(21.2，6.5)，代入式(2)～式(4)計(jì)算差商見表5。

表5 EDTA標(biāo)準(zhǔn)曲線差商表

2)求水泥劑量f(x)的函數(shù)表達(dá)式

將差商代入式(1)，得到上述案例標(biāo)準(zhǔn)曲線的水泥劑量f(x)的函數(shù)表達(dá)式見式(5)。

f(x)=2.5+0.25(x-7.8)+0.005 96(x-7.8)(x-11.8)+

0.000 02(x-7.8)(x-11.8)(x-15.2)+

(-0.000 05)(x-7.8)(x-11.8)(x-15.2)(x-18.2)

(5)

3)制作EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量與水泥劑量關(guān)系對(duì)照表

按0.1mL間隔EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量，計(jì)算對(duì)應(yīng)的水泥劑量，見表6。

表6 EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量與水泥劑量關(guān)系對(duì)照表(由牛頓插值公式計(jì)算)

例如，EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量x=16.2 mL，水泥劑量計(jì)算如下

f(x)=2.5+0.25×(16.2-7.8)+0.005 96×(16.2-7.8)×(16.2-11.8)+

0.000 02×(16.2-7.8)×(16.2-11.8)×(16.2-15.2)+(-0.000 05)×

(16.2-7.8)×(16.2-11.8)×(16.2-15.2)×(16.2-18.2)≈4.8%

4)查表應(yīng)用示例

在施工過程中抽取混合料測(cè)水泥劑量，例如，EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量為15.1 mL、16.2 mL、15.6 mL、15.0 mL，查表6確定的水泥劑量分別為4.5%、4.8%、4.6%、4.4%。

4 結(jié) 語

標(biāo)準(zhǔn)曲線的EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量與水泥劑量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用查表方式比查圖方式更為方便快捷，但兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系需用公式進(jìn)行計(jì)算。

用EDTA滴定法測(cè)水泥劑量時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)曲線可用函數(shù)式表示，但由于線性回歸趨勢(shì)線不穿過已知點(diǎn)，會(huì)因數(shù)據(jù)處理方法不當(dāng)而造成實(shí)測(cè)水泥劑量數(shù)據(jù)錯(cuò)誤。

標(biāo)準(zhǔn)曲線可用多項(xiàng)式趨勢(shì)線函數(shù)式表示，但要注意多項(xiàng)式的次數(shù)及系數(shù)保留的小數(shù)位數(shù)。多項(xiàng)式趨勢(shì)線穿過已知點(diǎn)，系數(shù)保留6位小數(shù)位數(shù)的函數(shù)表達(dá)式可以用來表示標(biāo)準(zhǔn)曲線的EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量與水泥劑量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。但由于自變量為水泥劑量，使代公式計(jì)算的EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量比0.1 mL間隔大些，不滿足方便快捷查表要求。

標(biāo)準(zhǔn)曲線的水泥劑量可用EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量來表示，用牛頓插值可求出水泥劑量的計(jì)算公式，求出0.1 mL間隔的EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液消耗量對(duì)應(yīng)的水泥劑量，可滿足方便快捷查表要求。