曹立靜 姚守峰

(1.山東協(xié)和學(xué)院，山東 濟(jì)南 250107；2.山東省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限公司，山東 濟(jì)南 250031)

1 數(shù)學(xué)模型

觀測邊長在進(jìn)行平差計(jì)算的過程中，要經(jīng)過高程歸化改正和投影改正。一般海拔較高地區(qū)兩點(diǎn)之間的觀測邊長D在進(jìn)行高程歸化時(shí)邊長縮短。設(shè)兩點(diǎn)之間的平均概略高程為H，兩點(diǎn)所處地球位置平均曲率半徑為Rm，則歸化至參考橢球面時(shí)其長度近似變形值ΔD計(jì)算公式為：

觀測邊長D歸化至參考橢球面的距離S計(jì)算公式為：

歸化至參考橢球面的邊長S再歸算至高斯平面時(shí)，其長度會(huì)增加ΔS。設(shè)兩點(diǎn)平均橫坐標(biāo)(即觀測邊長中點(diǎn)距離中央子午線的偏移量)為ym，則其近似計(jì)算公式為：

由(1)式、(3)式可見觀測邊長D在高程歸化和高斯投影改正存在抵消關(guān)系，經(jīng)過高程歸化和高斯投影改正后的邊長L為：

帶入(2)式得L與觀測邊長D關(guān)系式為：

由(5)式可推算出觀測邊長D經(jīng)過高程歸化、高斯投影后變形值Δ為：

設(shè)D為1000m，則根據(jù)(6)式可以計(jì)算出偏移量ym、每千米允許變形值Δ與觀測邊長D兩點(diǎn)之間平均高程H的數(shù)學(xué)模型：

由(7)式可知，已知一點(diǎn)P的高程及限差要求，可以推算出以該點(diǎn)為中點(diǎn)的任意觀測邊距離待確定中央子午線的最佳偏移量ym的范圍值。

2 平均曲率半徑

根據(jù)《公路勘測細(xì)則》規(guī)定，Rm為參考橢球體在測距邊方向上的法截弧曲率半徑，因?yàn)槿我夥ń鼗∏拾霃脚c法截弧方位角有關(guān)，而方位角是任意不確定的，因此Rm的值在M(最小值，子午圈曲率半徑)和N(最大值，卯酉圈曲率半徑)之間，為便于計(jì)算，在日常計(jì)算中選取任一點(diǎn)P的平均曲率半徑作為Rm的值，公式為：

式中a為地球長半軸，e為第一偏心率，B為P點(diǎn)的緯度值。

3 歸化投影數(shù)學(xué)模型案例應(yīng)用

京臺(tái)高速濟(jì)南至泰安段起點(diǎn)位于晏城樞紐立交，途經(jīng)德州市齊河縣、濟(jì)南市槐蔭區(qū)、市中區(qū)、長清區(qū)、泰安市岱岳區(qū)，長度約80km，方向南北偏東，地形穿越平原、丘陵和山地，測區(qū)海拔從20～230m不等，根據(jù)(1)式計(jì)算可知，當(dāng)海拔超過159m時(shí)，每千米高程歸化變形值超過25mm，不符合《公路勘測規(guī)范》規(guī)定，因此需要利用(7)式數(shù)學(xué)模型確定該線路合適的中央子午線進(jìn)行高斯投影改正，使變形值滿足規(guī)范規(guī)定的要求。

沿路線每隔1km選取約83個(gè)點(diǎn)，將每個(gè)點(diǎn)Pi的緯度帶入(8)式，計(jì)算出其對(duì)應(yīng)的平均曲率半徑Rm，將Rm、海拔H和限差Δ帶入(7)式，利用EXCEL函數(shù)即可推算出Pi點(diǎn)在變形值限差為-25、25、-10、10對(duì)應(yīng)的偏移量ym值，如點(diǎn)P66，緯度36.25°，高程為223.2，經(jīng)公式(8)計(jì)算的該位置處曲率半徑為6371688m，帶入公式(7)可分別算得變形值限差為-25、25、-10、10對(duì)應(yīng)的偏移量ym值為69.8km、60.4km、45.1km、28.5km。

4 經(jīng)度差計(jì)算公式

赤道每隔經(jīng)度1度的實(shí)際長度約為111km，緯線的周長越靠南北兩極越小，同一緯度B每隔經(jīng)度1度距離就會(huì)變成111乘COSB，因此同一緯度只要知道2點(diǎn)之間的經(jīng)度差ΔL就可以計(jì)算出2點(diǎn)之間的距離，如式(9)；

ym=ΔL*111*cosB(9)，

由(9)式可得經(jīng)度差計(jì)算公式，

式中ym為任一點(diǎn)至中央子午線的距離，即偏移量，

將(10)式帶入EXCEL計(jì)算表，可得每點(diǎn)4個(gè)ym值對(duì)應(yīng)的經(jīng)度差，如點(diǎn)66，分別算得的經(jīng)度差為0.78°、0.68°、0.50°、0.32°。

5 經(jīng)緯度范圍確定

經(jīng)度差確定后，可由點(diǎn)Pi的精度加經(jīng)差(Pi對(duì)應(yīng)的中央子午線位于該點(diǎn)東側(cè))獲得該點(diǎn)高斯投影對(duì)應(yīng)的中央子午線值，也可由點(diǎn)Pi的精度減經(jīng)差(Pi對(duì)應(yīng)的中央子午線位于該點(diǎn)西側(cè))獲得該點(diǎn)高斯投影對(duì)應(yīng)的中央子午線值，如點(diǎn)66向西偏時(shí)所得中央子午線范圍值為116.20°、116.30°、116.48°、116.66°。經(jīng)對(duì)所有點(diǎn)中央子午線范圍進(jìn)行對(duì)比可以確定當(dāng)選取116.50度作為中央子午線時(shí)，全線每個(gè)測區(qū)觀測邊長經(jīng)高程歸化、高斯投影改正后邊長變形值可以滿足規(guī)范規(guī)定。

6 變形值驗(yàn)算

將最終確定的中央子午線116.50度帶入(6)式，計(jì)算出每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)變形值，依次進(jìn)行驗(yàn)證中央子午線選取的可靠性，如點(diǎn)2，116.8248，36.7673，23.85，經(jīng)計(jì)算得歸化投影變形值為6.6mm；點(diǎn)P66，116.9787，36.2534，223.17，經(jīng)計(jì)算得歸化投影變形值為-12.4mm。

利用ECXEL表將所有點(diǎn)帶入，經(jīng)驗(yàn)算，當(dāng)選取116.50度作為中央子午線進(jìn)行高斯投影改正時(shí)，整個(gè)測區(qū)最大邊長變形值為12.4mm，平均數(shù)學(xué)變形值為-1.5mm，可以滿足《公路勘測規(guī)范》中關(guān)于測區(qū)內(nèi)投影長度每千米變形值小于2.5cm；大型構(gòu)造物投影長度每千米變形值應(yīng)小于1cm的要求。

7 總結(jié)

在中低海拔地區(qū)用偏移中央子午線抵消高程歸化邊長變形的方法確定合理的中央子午線是非常方便和合理的，投影的中央子午線不會(huì)較大地偏離實(shí)際坐標(biāo)系正確的中央子午線，避免了選取抵償高程面帶來的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題，便于設(shè)計(jì)人員在超圖等GIS軟件中進(jìn)行BIM設(shè)計(jì)的應(yīng)用，具有較好的參考價(jià)值。