紀逸軒

【摘 要】本論文主要研究“同心協(xié)力”的團隊協(xié)作策略。基于對于人的理想化假設(shè)，不考慮到人的具體變化，將人只作為力的載體，在假設(shè)成立的基礎(chǔ)上逐個分析問題。對于問題1部分，基于基本的物理定律：1.運動學(xué)定律;2.動量守恒定律，尋找最優(yōu)的碰撞條件。最終得到要求高度下，各位成員的施力關(guān)于時間的變化關(guān)系對于問題2部分，先借助均質(zhì)圓柱類剛體對任意軸的轉(zhuǎn)動慣量計算方法，再通過對運動進行分解，分別獲得鼓面相對xoz，yoz平面的傾角變化，結(jié)合數(shù)學(xué)上求二面角的方法，構(gòu)造單位向量，獲得鼓面傾角的變化值，建立了理想狀態(tài)下的精確協(xié)作模型與貼近實際的動力學(xué)綜合調(diào)節(jié)模型。問題3引入了現(xiàn)實情形，各名隊員在拉鼓繩時難免會產(chǎn)生牽拉的時機、力度不同的情況，產(chǎn)生相對誤差，導(dǎo)致球的運動軌跡發(fā)生改變，使球跳出鼓面或未能達到指定高度，項目停止。問題3在問題1模型的基礎(chǔ)上根據(jù)實際情況改進了問題1的顛球模型，保證在球不飛出鼓面的前提下顛球高度始終大于40cm。問題4在限定條件下，綜合利用模型1和模型2，通過模型1獲分析繩對鼓提供位移的合力和作用時間，在調(diào)整球的偏轉(zhuǎn)角度時，利用問題2的已有結(jié)論，反解出xoz與yoz平面的轉(zhuǎn)動分量，由此獲得xoz和yoz平面上的合力矩，從而確定團隊的協(xié)作策略。

【關(guān)鍵詞】“同心協(xié)力”策略;精準協(xié)作模型;動力學(xué)綜合調(diào)節(jié)模型

一、引言

“同心協(xié)力”項目初始狀態(tài)是有一面牛皮雙面鼓，鼓身中間固定多根繩子，繩子在鼓身上的固定點沿圓周呈均勻分布，每根繩子長度相同。團隊成員每人牽拉一根繩子，使鼓面保持水平。項目開始時，球從鼓面中心上方豎直落下，隊員同心協(xié)力將球顛起，使其有節(jié)奏地在鼓面上跳動。顛球過程中，隊員只能抓握繩子的末端，不能接觸鼓或繩子的其他位置。此條件表明，在本問題中人只提供力去影響系統(tǒng)，不產(chǎn)生其他的附加效應(yīng)。

項目基本限制1.排球的質(zhì)量為270 g;2.鼓面直徑為40 cm;3.鼓身高度為22 cm;4.鼓的質(zhì)量為3.6 kg;5.隊員人數(shù)不少于8人;6.隊員之間的最小距離不得小于60 cm。球初始落點距鼓面中心上方40 cm，球被顛起的高度應(yīng)離開鼓面40 cm以上，如果低于40cm，則項目停止。項目的目標是使得連續(xù)顛球的次數(shù)盡可能多。

基于以上背景本文需要解決的問題為以下幾點：

1.設(shè)定在每個人都可以精確控制用力方向、時機和力度的理想狀態(tài)下，根據(jù)理想條件設(shè)計合適的方案以討論團隊的最佳協(xié)作策略。

2.中改變第一問中的條件，并給出了所研究的系統(tǒng)的隊員人數(shù)、繩長、與鼓面初始位置的具體值，使之變成更加符合實際且復(fù)雜的非理想情況。由題意，在非理想狀況下，隊員發(fā)力力度、方向與時機均無法精準掌握，使得鼓面不同時刻產(chǎn)生不同傾角，導(dǎo)致球的顛起方向偏離豎直方向，能夠達到的最大豎直方向的高度降低。

3.對第一問中的策略和第二問中的模型進行回顧，通過現(xiàn)實背景，顯出了原有的模型的漏洞，引導(dǎo)模型的改進方向。

4.引入第二問的實際情況，即當(dāng)鼓面發(fā)生傾斜時，球跳動方向不再豎直。同時，引入第一問中的所有隊員都能精準控制發(fā)力時機和力度的條件。因此，調(diào)整拉繩策略，即是給出在可精確控制條件下所有隊員的發(fā)力時機及力度的同時，能夠在現(xiàn)實情形中檢驗這種調(diào)整策略所對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并分析調(diào)整后的拉繩策略的實用性。

二、模型假設(shè)

1.假設(shè)牛皮雙面鼓為一個質(zhì)地均勻的剛性圓柱體，鼓的平動只沿豎直方向。

2.假設(shè)團隊成員之間距離相等，到鼓中心的距離也相等，且在拉動繩子的過程中各成員位置保持不變。

3.假設(shè)在拉動過程中每根繩子與水平面的夾角相同，忽略由于鼓面傾斜造成繩子與水平面的夾角的變化。

三、模型的建立與求解

3.1問題一

3.1.1建立模型

根據(jù)已知條件，“同心協(xié)力”協(xié)作項目的目標是使得連續(xù)顛球的次數(shù)盡可能多。最終顛球次數(shù)取決于球飛行的角度和高度，如果球偏離豎直方向的角度過大，則會導(dǎo)致球飛出鼓面正上方的范圍，如果球被顛起的高度低于40cm則項目終止。

在理想狀態(tài)下，每個人都可以精確控制用力方向、時機和力度，故團隊成員可同時以相同大小的力拉繩，這樣既可以使團隊成員平均分攤比賽時消耗的體力，又可以使拉力在水平方向上的分力相互抵消，使鼓面保持水平狀態(tài)，從而使球保持豎直方向的運動，保證球不飛離鼓面正上方的范圍。

球從初始位置下落的過程中，所有隊員應(yīng)當(dāng)控制鼓先向下運動再向上做加速運動且剛好在球下落40cm時球與鼓發(fā)生碰撞。在碰撞瞬間，保持所有繩的拉力在豎直方向上的合力F等于鼓的重力，此瞬間系統(tǒng)合外力為0，動量守恒，當(dāng)碰撞后球的速度與碰撞前的速度等大反向時，球在碰撞后上升的最大高度剛好為40cm。碰撞后，球開始上升，在球上升階段，保持所有繩的拉力的合力F等于鼓的重力，使鼓保持靜止?fàn)顟B(tài)，直到球達到最高點，此時球和鼓又都回到初始狀態(tài)，如此循環(huán)往復(fù)，可使項目一直進行下去。

3.1.2模型求解過程

設(shè)每名隊員拉繩的拉力 是一個周期為2t的周期函數(shù)，則在一個周期內(nèi)的函數(shù)滿足

其中F為所有繩拉力在豎直方向上的合力， 為繩與豎直方向的夾角。

F的分段函數(shù)時間的關(guān)系， 為繩拉力為0的時間， 為繩拉力為的時間。

球下落40cm的時間，球下落40cm時的速度，令碰撞瞬間所有繩拉力的合力F等于鼓的重力，碰撞瞬間系統(tǒng)合外力為0，由動量守恒定理[1]，由于碰撞后球的速度與碰撞前的速度等大反向，即于要使繩的合力所 做的功最小，就要使系統(tǒng)在循環(huán)過程中鼓所浪費的能量盡可能少，即碰撞后鼓的速度，鼓的速度與時間的關(guān)系，鼓的位移與時間的關(guān)系，由受力分析可知

聯(lián)立上述各式可得以下方程組：

3.2問題二

3.2.1建立模型

在現(xiàn)實情形中，隊員在拉鼓繩時難免會出現(xiàn)拉繩的時機不同步、力度不相同的情況，于是鼓面可能出現(xiàn)傾斜。本題模型只關(guān)心鼓面的轉(zhuǎn)動情況，不考慮鼓的平動情況。在研究鼓的轉(zhuǎn)動時，把鼓視為一個質(zhì)地均勻的圓柱體剛體，所以鼓面的角度變化可以轉(zhuǎn)化為圓柱體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的問題。

3.2.2模型求解過程

以鼓的中心為原點，以鼓的旋轉(zhuǎn)對稱軸為z軸，建立空間直角坐標系。鼓繞中心的轉(zhuǎn)動可以分解為鼓面以x軸為軸的轉(zhuǎn)動與以y軸為軸的轉(zhuǎn)動的和轉(zhuǎn)動。

由力矩通過力距的矢量分解可得以x軸為軸轉(zhuǎn)動的力矩以y軸為軸轉(zhuǎn)動的力矩，兩者的表達式分別為：

代入數(shù)據(jù)計算鼓以x軸或y軸為軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量J=0.05052

代入式可求出鼓面以x軸為軸的轉(zhuǎn)動角與以y軸為軸的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動角為了得到鼓面與xoy平面的夾角，考慮通過求二面角的方法解決問題，而前式得到的僅有兩個方向的偏角，為了獲得夾角，分別取xoz平面和yoz平面關(guān)于沿先前得到的兩個轉(zhuǎn)動方向的單位向量，通過兩個向量叉乘，得到旋轉(zhuǎn)后鼓面的法向量，取沿z軸的一個單位向量，通過數(shù)學(xué)上求二面角的方法得到兩平面的偏角，即為鼓面0.1s時的傾斜角。通過matlab編程，計算得到鼓面的傾斜角度。[3]計算結(jié)果如下表：

3.3問題三

3.3.1建立模型

在現(xiàn)實情形中，根據(jù)問題2的結(jié)果，問題1中的策略是需要經(jīng)行調(diào)整的。

在現(xiàn)實情形中，隊員發(fā)力力度與發(fā)力時機均無法精準掌握，使得鼓面無法一直保持水平，會在不同時刻產(chǎn)生不同傾角，導(dǎo)致球的顛起方向偏離豎直方向，實際運動路徑將為一條拋物線，球被顛起的高度很可能會低于40cm，導(dǎo)致項目停止。本模型對問題1中模型進行改進，進一步考慮實際問題中由于鼓面傾斜導(dǎo)致球顛起高度發(fā)生的改變。

3.3.2模型求解過程

由于實際顛球時球的軌跡可以近似為一條拋物線，所以當(dāng)球的水平位移超過鼓的直徑40cm時，球?qū)⒙湓诠拿嫱?。?dāng)球的水平位移大于或等于鼓的直徑40cm時，速度在豎直方向的分量 ，球飛行到最高點的時間速度沿水平方向的分量合速度所以最小顛球高度 將 代入問題1方程組中解得合力，作用時間 故改進后每名隊員拉繩的拉力的函數(shù)為

其中l(wèi)為繩的長度，n為團隊人數(shù)。

3.4問題四

3.4.1建立模型

任何剛體的一般運動都可以分解成質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。本題應(yīng)當(dāng)結(jié)合問題1與問題2中的模型，綜合考慮運動過程中鼓的位移與鼓面的方向。

3.4.2模型求解過程

鼓的位移：將h=0.6m代入問題1中的方程組，解方程組得到繩對鼓提供位移的合力大，作用時間 每名隊員距離鼓旋轉(zhuǎn)軸的最短距離 繩與豎直方向的夾角 則每名隊員對繩的拉力，拉力沿繩方向。

鼓面轉(zhuǎn)動：

以鼓的中心為原點，以鼓的旋轉(zhuǎn)對稱軸為z軸，建立空間直角坐標系。對10名隊員按逆時針方向進行編號，隊員編號依次為0-9，設(shè)編號為0的隊員站在x軸上。由于球的反彈高度為60cm，相對于豎直方向產(chǎn)生1度的傾斜角度，設(shè)傾斜方向在水平面的投影指向編號為0和1的隊員之間，與這兩位隊員的夾角之比為1：2。球的速度在豎直方向的分量球飛行到最高點的時間，球的速度沿水平方向的分量合速度與豎直方向的夾角，

滿足解得球的合速度與豎直方向的夾角

要將球調(diào)整為豎直狀態(tài)彈跳，則鼓面水平方向夾角應(yīng)為0.25度，則鼓面的法向量可表示為

由交線的方向向量得到鼓面沿x軸轉(zhuǎn)動的角度鼓面沿y軸轉(zhuǎn)動的角度球下落的時間為又有，其中， 為繩對球提供轉(zhuǎn)動的力在x軸，y軸上的分量

解方程得，

根據(jù)實際情況可由編號為1的隊員施加額外的拉力，拉力沿繩方向。

由編號為0的隊員施加額外的拉力 拉力沿繩方向。

綜合鼓的位移和鼓面轉(zhuǎn)動，列表給出隊員們的不同發(fā)力時機和力度的策略：

由于編號為0和1的隊員相比其他隊員多用大約0.4N的力，且0.4N在總拉力中的占比約為十分之一，導(dǎo)致這兩名隊員對拉升的過程中多用的0.4N力感覺較明顯。因此，這兩名隊員能夠有意識地控制增加的力度，所以以上策略在實際情形中較容易實現(xiàn)。

四、模型檢驗與結(jié)果分析

本文中建立的模型所求出的結(jié)果符合客觀事實，通過對比查閱同心鼓游戲項目相關(guān)的技巧，發(fā)現(xiàn)根據(jù)模型提出的策略與同心鼓游戲的實際經(jīng)驗相吻合，由此可見，本文中提出的模型是正確的。

問題一針對理想狀態(tài)下的團隊顛球策略，建立了每名隊員發(fā)力隨時間變化的周期函數(shù)，使得團隊成員在盡可能省力的情況下，盡可能地保證項目不停止。問題2針對實際情況中鼓面的轉(zhuǎn)動情況，建立了每名隊員對繩的拉力與鼓面傾斜角之間的動態(tài)關(guān)系，通過matlab程序計算，可以快速得到鼓面的傾斜角度。根據(jù)問題2中的求得的數(shù)據(jù)對比可以發(fā)現(xiàn)，提前拉繩與同時拉繩相比，拉力大小不同，且對鼓面傾斜角的影響更大。問題3對問題1中的模型在現(xiàn)實背景下進行優(yōu)化，得到更貼近現(xiàn)實情況的實用模型。問題4綜合運用了問題1和問題2中的模型來解決角度修正的問題。

根據(jù)本文中各個問題的結(jié)果，最終得到以下幾條“同心協(xié)力”游戲的技巧：

1.無論如何，一定要保證團隊成員注意力高度集中，統(tǒng)一行動，盡可能保證 同時拉繩，可以讓力氣大小差不多的隊員面對面，這樣可以使鼓面盡可能保持水平。

2.顛球高度不宜過高，可以控制實際顛球高度約為最低高度的110%，以減小由于鼓面傾斜導(dǎo)致的球偏離鼓心的距離。

3.在發(fā)現(xiàn)球偏離鼓心位置時，處在球偏離方向的隊員應(yīng)該主動加大對繩的拉力，消除鼓面的傾斜角，盡可能保持球在豎直方向上運動。

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[3]司守奎，孫兆亮.數(shù)學(xué)建模算法及應(yīng)用（第二版）.北京：國防工業(yè)出社，2018年9月.

（作者單位：華北電力大學(xué)（保定）能源動力與機械工程學(xué)院）