（江西理工大學(xué)，江西 贛州 341000）

1 引言

馬爾科夫跳變系統(tǒng)是一類特殊的跳變系統(tǒng)，該類系統(tǒng)中各個模態(tài)之間的隨機跳變符合一定的統(tǒng)計規(guī)律，即系統(tǒng)中各離散有限狀態(tài)空間中的不同模態(tài)之間的轉(zhuǎn)移服從馬爾科夫過程。由于隨機馬爾科夫跳變系統(tǒng)能很好地描述一些實際系統(tǒng)，因此自從其被提出后，該類系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制器綜合問題就成為了控制理論研究與應(yīng)用的熱點之一。本文針對馬爾科夫跳變系統(tǒng)中存在的多時滯現(xiàn)象，基于李雅普洛夫穩(wěn)定理論研究該類系統(tǒng)的能量峰值穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計方法。得到的相關(guān)定理均采用線性矩陣不等式描述，可以方便地通過Matlab線性矩陣不等式工具箱進行求解。

2 模型描述

多時滯馬爾科夫跳變系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述如下：

式（1）中：x（t）、u（t）、ω（t）、z（t）分別為系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入、外部干擾信號輸入及被控輸出；A[r（t）]、Al[r（t）]、B[r（t）]、Bω[r（t）]及C[r（t）]為適當(dāng)維數(shù)的已知矩陣；dl為系統(tǒng)時滯；r（t）為有限集合r（t）?{1，2，3，…，N}中隨機取值的馬爾科夫隨機過程，跳變轉(zhuǎn)移矩陣為∏={πij}{i，j∈S}。

轉(zhuǎn)移概率為：

式（2）中：h＞0且當(dāng)j≠i時，表示從時間t的模態(tài)i到時間t+h的模態(tài)j的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率且有

定義1：對于ω（t）=0均有則馬爾科夫跳變系統(tǒng)被稱為均方漸進穩(wěn)定。

定義2：如果存在一個常數(shù)γ＞0使得系統(tǒng)在u（t）=0的情況下均方漸進穩(wěn)定，且在0初始條件x（t）=0，?t∈[-τ，0]下，對于任意ω（t）∈L2[0，∞），均有則系統(tǒng)為能量峰值穩(wěn)定。

定義3：如果存在控制器u（t）=K[r（t）]x（t）使得系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)下能量峰值穩(wěn)定，則系統(tǒng)為能量峰值可鎮(zhèn)定。

3 穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計

定理1：對于給定γ＞0，如果存在正定對稱矩陣Pi、Q1、U1，非奇異矩陣S，標(biāo)量βi及γ1i＞0使得不等式成立，則系統(tǒng)為能量峰值穩(wěn)定。

定理2：對于給定γ＞0，如果存在正定對稱矩陣非奇異矩陣，標(biāo)量βi及γ1i＞0使得不等式成立，則系統(tǒng)為能量峰值可鎮(zhèn)定。

4 實例

考慮如下雙模態(tài)跳變系統(tǒng)，系統(tǒng)包含兩個時滯項，且有d1=0.1，d2=0.2，C1=C2=[0.10.1]，B1=B2=[21]T，Bω1=Bω2=

圖1 來自EI Centro1940的地震激勵信號

經(jīng)計算機仿真可得開環(huán)狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖2所示。從圖2可知開環(huán)狀態(tài)下系統(tǒng)是發(fā)散的。

基于上文相關(guān)參數(shù)，現(xiàn)求解定理2可得不等式有解，且得到控制器增益矩陣：K1=[-1.3835-0.9067]，K2=[-1.5570-0.7945]

圖2 開環(huán)狀態(tài)下系統(tǒng)響應(yīng)曲線

經(jīng)計算機仿真可得系統(tǒng)在該控制器作用下的狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖3所示。從圖3可知系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的，且有進而有即閉環(huán)系統(tǒng)滿足能量峰值條件。

圖3 閉環(huán)狀態(tài)下系統(tǒng)響應(yīng)曲線

5 總結(jié)

本文基于李雅普洛夫穩(wěn)定理論及線性矩陣不等式技術(shù)研究了多時滯馬爾科夫跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計問題，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定及鎮(zhèn)定控制器存在的充分條件，并通過實例驗證了相關(guān)理論的有效性。得到的相關(guān)定理均描述成了線性矩陣不等式形式，可以方便地通過Matlab軟件自帶的線性矩陣不等式工具箱進行求解。