孫艷鵬 彭世國(guó) 陳珂熙

摘要：為解決多智能體系統(tǒng)領(lǐng)導(dǎo)一跟隨一致性問(wèn)題，針對(duì)有向拓?fù)湎麓嬖跁r(shí)變通信時(shí)滯隨機(jī)發(fā)生問(wèn)題，考慮系統(tǒng)魯棒性及時(shí)滯對(duì)一致性的影響，設(shè)計(jì)分布式控制協(xié)議，并對(duì)該協(xié)議的有效性進(jìn)行理論分析。首先，根據(jù)每個(gè)智能體的動(dòng)力學(xué)模型及控制協(xié)議，通過(guò)模型變換建立誤差系統(tǒng)，將多智能體系統(tǒng)一致性問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檎`差系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題;其次，構(gòu)造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式理論，給出系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致性的充分條件，并求解線性矩陣不等式得到控制增益矩陣。最后，通過(guò)MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，驗(yàn)證結(jié)果的有效性。

關(guān)鍵詞：領(lǐng)導(dǎo)者;時(shí)變時(shí)滯;隨機(jī)非線性;多智能體系統(tǒng);一致性

DOI： 10. 11907/rjdk.191751

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

中圖分類號(hào)：TP301

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672-7800（2020）004-0125-06

Leader-following Consensus of Multi-agent Systems with Randomly Nonlinearities

SUN Yan-peng， PENG Shi-guo， CHEN Ke-xi

（Sch.ool of Autonzation ， Cuangdorzg Un iversity of Tech.nology ， Cua ngzhou 5 1 0006 . Ch.ina ）Abstract： Considering the influence of robustness and time delay， the main purpose of this paper is to study the leader-following con-sensus problem of multi-agent systems. In this paper， a distributed control protocol is proposed for multi-agent systems with randomlyoccurring nonlinearities and time-varying communication delay in a directed topology. At f'irst. according to the dynamic model of eachagent and the designed control protocol， the error system is established by model transformation. and the consensus problem of'multi-agent systems is transfonned into the stability of' error system. Then. based on Lyapunov stability theory and linear matrix in-equality theory， sufficient conditions are ohtained to achieve consensus by constructing a suitable Ly apunov-Krasovskii functional.and the control gain is obtained to solves the linear matrix inequality . Finally， a MATLAB numerical simulation is presented to verifythe ef'f'ectiveness of the theoretical results.Key Words ： leader; time-varying delay; randomly nonlinearities; multi-agent system; consensus

O 引言

近年來(lái)，多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制理論獲得了快速發(fā)展，產(chǎn)生了大量的理論成果。多智能體系統(tǒng)一致性在不同領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，已成為熱點(diǎn)研究課題[1-2]，如分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)中的協(xié)同目標(biāo)跟蹤、車輛及移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)控制等。一般來(lái)說(shuō)，根據(jù)系統(tǒng)中領(lǐng)導(dǎo)者數(shù)量，一致性問(wèn)題大致分為無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者的一致性和有領(lǐng)導(dǎo)者的一致性，后者也稱為分布式跟蹤問(wèn)題，其目標(biāo)是使各跟隨者的狀態(tài)與領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)保持一致[3]。過(guò)去數(shù)十年來(lái)，許多研究者從多種視角研究不同動(dòng)力學(xué)模型的領(lǐng)導(dǎo)一跟隨一致性，并涌現(xiàn)出許多有價(jià)值的成果。

在許多物理系統(tǒng)，如通訊及工業(yè)控制系統(tǒng)中，由于信息傳輸速度受限、傳輸通道擁堵等原因，時(shí)滯在網(wǎng)絡(luò)化多智能體系統(tǒng)中總是不可避免地出現(xiàn)[4]。時(shí)滯的出現(xiàn)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的性能影響很大，例如系統(tǒng)穩(wěn)定性、收斂速度等。因此，研究存在時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)一致性問(wèn)題非常必要。文獻(xiàn)[5-7]研究?jī)H含有通信時(shí)滯的一致性問(wèn)題。通信時(shí)滯主要指某個(gè)智能體與其鄰居之間信息傳遞過(guò)程中產(chǎn)生的時(shí)間延遲;文獻(xiàn)[8-9]研究?jī)H帶有輸入時(shí)滯的系統(tǒng)一致性問(wèn)題;文獻(xiàn)[10]對(duì)帶有輸入時(shí)滯及通信時(shí)滯的系統(tǒng)進(jìn)行一致性分析;文獻(xiàn)[11-12]對(duì)含有常數(shù)通信時(shí)滯的二階多智能體系統(tǒng)進(jìn)行一致性分析，并求得達(dá)到一致性的充分條件。從兩類時(shí)滯角度看，上述研究更關(guān)注線性系統(tǒng)和常數(shù)時(shí)滯。但是，由于在復(fù)雜控制系統(tǒng)中時(shí)滯具有不確定性，時(shí)變時(shí)滯更具有研究?jī)r(jià)值。文獻(xiàn)[13]使用脈沖控制方法研究了具有不確定和隨機(jī)發(fā)生非線性的多智能體系統(tǒng)一致性;文獻(xiàn)[14]研究了具有非線性輸入項(xiàng)的非線性多智能體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)一跟隨一致性，且該分布式控制協(xié)議保證系統(tǒng)一致性;文獻(xiàn)[15]研究具有時(shí)變輸入時(shí)滯的線性多智能體系統(tǒng)分布式一致性;文獻(xiàn)[16]研究具有時(shí)變通信時(shí)滯的非線性多智能體系統(tǒng)一致性;文獻(xiàn)[17-19]基于模型簡(jiǎn)化法研究多常數(shù)時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)一致性問(wèn)題，將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為不含時(shí)滯的系統(tǒng)。然而對(duì)帶有時(shí)變時(shí)滯的非線性多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題研究成果相對(duì)較少。

控制系統(tǒng)在工作過(guò)程中時(shí)常發(fā)生故障，且不可避免，如控制輸入傳輸故障15及執(zhí)行器失效等。執(zhí)行器失效[16]可能影響系統(tǒng)的滿意性能，破壞系統(tǒng)穩(wěn)定性?；谙到y(tǒng)的安全需求及更高的可靠性和魯棒性，設(shè)計(jì)一個(gè)有效的分布式控制協(xié)議十分重要。由于外部環(huán)境的不確定性及外部干擾的出現(xiàn)，每個(gè)智能體的內(nèi)部動(dòng)力學(xué)模型一般是動(dòng)態(tài)變化的，故隨機(jī)非線性出現(xiàn)在所難免。但多智能體系統(tǒng)存在隨機(jī)發(fā)生非線性行為和執(zhí)行器失效情況，而在現(xiàn)有文獻(xiàn)中未發(fā)現(xiàn)被研究。

受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文主要研究含有隨機(jī)發(fā)生非線性行為及時(shí)變時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)。通信拓?fù)洳捎糜邢驁D，在系統(tǒng)存在執(zhí)行器故障情況下設(shè)計(jì)合理的分布式控制協(xié)議，保證系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)一跟隨一致性。與文獻(xiàn)[16]相比，本文在智能體模型中加入隨機(jī)非線性行為更具有普遍意義。相較于文獻(xiàn)[15]，本文執(zhí)行器故障是隨時(shí)間改變不斷變化的，且時(shí)變時(shí)滯發(fā)生在信息傳輸過(guò)程中，其應(yīng)用范圍更廣。與以往文獻(xiàn)不同的是，無(wú)論系統(tǒng)中的執(zhí)行器是否完好，系統(tǒng)都能在控制器作用下達(dá)到理想的一致性效果。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1圖論

智能體之間的信息傳遞用有向拓?fù)鋱D表示，即 ，其中G中包含Ⅳ個(gè)跟隨智能體， ， 是有向圖的節(jié)點(diǎn)。 表示邊集，G的有向邊 表示智能體i向J傳遞信息。 是G的加權(quán)鄰接矩陣 的元素含義如下：若 ，那么 ，否則 。假設(shè)G中無(wú)重復(fù)邊即 ，

2， 另外 是節(jié)點(diǎn)V;的相鄰節(jié)點(diǎn)集。拉普拉斯矩陣定義為 ，，節(jié)點(diǎn)o表示向其它智能體發(fā)送信息的領(lǐng)導(dǎo)智能體。其中，領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者的通信拓?fù)溆糜邢驁DG表示。圖G的結(jié)構(gòu)用矩陣 表示 ， ，若（0，i）是G的邊，則 ，否則 。

1.2相關(guān)引理

引理1[20]：存在任意對(duì)稱正定矩陣 ，使以下不等式成立。

引理2[21]（柯西不等式）：對(duì)于任意適當(dāng)維數(shù)的對(duì)稱正定矩陣 ，使得以下不等式成立：

引理3[21]（schur補(bǔ)定理）：對(duì)于一個(gè)給定對(duì)稱矩陣

等價(jià)。

2模型描述

隨機(jī)發(fā)生非線性及時(shí)變時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)N個(gè)跟隨智能體動(dòng)力學(xué)模型如下：

其中 ，表示智能體i的狀態(tài); 是表征智能體白身動(dòng)力學(xué)行為的非線性函數(shù)， 是伯努利分布序列，A，B是已知的實(shí)常數(shù)矩陣，UF（t）表示智能體i在執(zhí)行器失效情況下的控制輸入。領(lǐng)導(dǎo)者動(dòng)力學(xué)模型如下：

表示領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)， 表示領(lǐng)導(dǎo)者白身動(dòng)力學(xué)行為的非線性函數(shù)。

假設(shè)1： （2）r（t）具有以下性質(zhì)：概率的取值用r表示，取值范圍是r∈[0，1]，E{r（t）-r）=0。

假設(shè)2：非線性函數(shù)f （xl（f），f）對(duì)任意向量x，y∈RN，存在非負(fù)常數(shù)s，滿足 ，則稱該函數(shù)滿足Lipschitz條件。

定義：如果對(duì)任意初始條件 成立，那么誤差系統(tǒng)（6）是漸近穩(wěn)定的，從而多智能體系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)領(lǐng)導(dǎo)一跟隨一致性。

為了保證各個(gè)跟隨者狀態(tài)與領(lǐng)導(dǎo)者一致，設(shè)計(jì)帶有時(shí)變通信時(shí)滯的分布式控制協(xié)議形式如下：

從上述協(xié)議可以看出，各智能體通過(guò)與鄰居智能體或領(lǐng)導(dǎo)者進(jìn)行信息交換更新當(dāng)前狀態(tài)信息。其中，d（t）表示通信時(shí)滯且滿足以下條件：0≤d（t）≤d，d（t）≤U<1，K表示控制增益矩陣。

將式（3）代人式（1）得到動(dòng)力學(xué)模型（4）。

令領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的狀態(tài)誤差表示為 xN（t），基于公式（4）可得到以下誤差系統(tǒng)表達(dá)式：

其中， 。

綜上所述，將系統(tǒng)模型簡(jiǎn)化為如下誤差動(dòng)力學(xué)模型：

其中， 表示誤差狀態(tài)向量，表示非線性函數(shù)， 代表時(shí)變故障函數(shù)。

3 主要結(jié)果

定理：給定任意常數(shù) ，存在正定矩陣 ，和任意矩陣Z，使以下不等式成立：誤差系統(tǒng)（6）在控制協(xié)議作用下是漸近穩(wěn)定的，從而使多智能體系統(tǒng)中的跟隨者狀態(tài)與領(lǐng)導(dǎo)者保持一致。其中：

計(jì)算函數(shù)沿著系統(tǒng)（6）的解軌跡導(dǎo)數(shù)：

根據(jù)假設(shè)2可以得出：

將式（6）代入上式：

應(yīng)用引理2，對(duì)于任意對(duì)稱正定矩陣 ，保證以下兩個(gè)不等式成立。

綜上可得：

則矩陣各元素表示如下： 其余的元素項(xiàng)取值是0。

由于控制增益K的影響，H不是線性矩陣不等式，令 ，矩陣H分別左乘和有乘6次，根據(jù)P= ，得到公式（7）的左邊矩陣。若 .則 。由此可以得出結(jié)論，誤差系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，證畢。

4數(shù)值仿真

假設(shè)多智能體系統(tǒng)具有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)智能體0和跟隨智能體1，2，3，4，系統(tǒng)拓?fù)淙鐖Dl所示。

各智能體初始狀態(tài)取值 隨機(jī)變量取值為l時(shí)其概率r=0，5，時(shí)變時(shí)滯取值為 ，非線性函數(shù)表示成，使函數(shù)滿足Lipschitz條件。假設(shè)故障函數(shù)是 ，其中 ，是2x2的單位矩陣，令系統(tǒng)矩陣為：

結(jié)合上述給出的系統(tǒng)參數(shù)，利用MATLAB軟件的LMI工具箱求解不等式（7），并驗(yàn)證其可行性。然后從求解式（7）可以得到狀態(tài)反饋增益矩陣。

根據(jù)以上參數(shù)和增益矩陣K，得出誤差系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖2所示。

圖2表明：隨時(shí)間的增加，各個(gè)智能體與領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)誤差逐漸減小并趨于零，最終穩(wěn)定于零。這表明在控制協(xié)議（3）作用下，該多智能體系統(tǒng)也實(shí)現(xiàn)了領(lǐng)導(dǎo)一跟隨一致性，協(xié)議有效件得到驗(yàn)證。

5 結(jié)語(yǔ)

本文主要研究了存在有界時(shí)變時(shí)滯的隨機(jī)非線性多智能體系統(tǒng)領(lǐng)導(dǎo)一跟隨一致性問(wèn)題?；贚yapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式理論得到系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致性的分布式控制協(xié)議及控制參數(shù)。最終的數(shù)值仿真證明了控制算法的有效性。未來(lái)將研究含有常數(shù)輸入時(shí)滯及分布式時(shí)滯多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題，并在設(shè)計(jì)控制器時(shí)引入脈沖控制及事件觸發(fā)控制等，使控制效率更高，收斂速度更快，以有效降低控制成本。

參考文獻(xiàn)：

[1]LI Z，DLAN Z. Cnoperative control of multi-agent systems：a consen-sus region approach[J]. CRC Press， NewYork. 2014. 20 （10）：203-210

[2]張振華，彭世國(guó).二階多智能體系統(tǒng)拓?fù)淝袚Q下的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性[J].廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2018（2）：75-80.

[3]YANC S，CAO Y， PENG Z， et al. Di-strihuted formation control ofnon-holonomic autonomous vehicle via RBF neural network[J]. Me-chanical Svstems and Signal Processing， 2017（6）：81-95

[4]LI L， HO D W，LU J. Event-hased network consensus with communi-cation delays[J]. Nonlinear Dvnamics. 2017. 13（7）：1847-1858.

[5]羅賀富，彭世國(guó)多時(shí)變時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)的分布式編隊(duì)控制[J].廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2017. 34（4）：89-96.

[6]JIA Q， TANG W S，HALANG W A. Leader following of nonlinearagents with switching connective netwnrk and coupling delay [J].IEEE Trans， Circuits SVstems， 2011.45（14）： 2508-2519.

[7]HU J Q，YU J，CAO J D.Distributed contain-ment control for nonlin-ear multi-agent systenis with time-delayed protocol[J] Asian J，Con-trol， 2016， 33（12）： 747-756.

[8]梁有明，劉成林，劉飛具有不同輸入時(shí)延的多智能體系統(tǒng)的一致性[J]東南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010， 40（1）：121-126.

[9]GAO H J，ZHANG W B. KLRTHS J. Leader-following consensus of aclass of stochastic delayed multi-agent systems with partial mixed im-pulses[J]. Automatic：a. 2015 .21 （5） ： 346-354.

[10]MENG Z， REN W. CAO Y， et al. Leaderless and leader-followingconsensus with communication and input delavs under a directed net-work topology [J].IEEE Trans. Svst.Man，Cyhern，201I.42（1） ：75-88.

[ll]OIN J， GAO H . ZHENC W X. Second-order consensus for multi-agent systems with switching topology and cnmmunication delaY[J].Systems & Control Letters . 2011.115） ： 390-397.

[12]WEN H，MIhr Y F. Distributed consensus of third-order multi-agentsystem with communication delay[J]. Asian journal of control ， 2018 ，20（2） ：956-966.

[13]L1 D， MA J， ZHU H. et al. The consensus of multi-agent systemswith unceries via impulsi， e cnntrol [J].International Journal of Con-trol.Automation and Systems， 2016， 33（14） ： 1005-1011.

[14]YI S， WEEN C， YIN Y， et al. Distrihuted leader-folloWing c：onsensusof nonlinear multi-agent systems with nonlinear input dynamics [J] .Nreurocomputing， 2018 ， 22 （7） ： 193-197.

[15]FATTAHI M ， AFSHAR A. Distrihuted consensus of niulti-agent sys-tems with fault in transmission of control input and time-varying de-lays[J] . Neurocomputing， 2016， 11（3） ： 11-24.

[16]SLiBRAMANrIAN K， MUTHUKLMAR P， HOON Y. Leader-follow-ing consensus of nonlinear multi-agent systems via reliahle cnntrolwith time-rarying communicatinn delay [J] . International Journal ofCnntrnl. Automation and Systems . 2019 ， 23（11）：298-306.研究 [J].軟 H-導(dǎo)刊 .2019 ， 18（3） ： 65-69.

[18]ZUO Z， WANG C， DINC Z. Crnsensus control of a class of Lip-schitz nonlinear systems with input delay [J]. lEEE transactions oncircuits and svstems ， 2015 .62（11） ： 2730-2738.

[19]WANG C Y， ZUO Z Y. Consensus cnntrol of a class of Lipschitz non-linear systems with input delay[J] . IEEE transac：tions on circuits andsystems ， 2015 ， 62（11） ： 2730-2738.

[20]KWON O M. PARK M J， CHA E J. On stahility anaLYsis for neuralnetworks with interral time-varying delays via some new augmentedLyapunoV，Krasovskii functional [J]. Communications in NonlinearScienc.e and Numerical Simulation . 2014 ， 45 （26） ： 3184-3201.

[21]THUAN M V， PHATV N. Optimal guaranteed cost cont-rol of linearsystems With mixed interval time-varying[EB/OL] . http ： //www.docin.com/p-427385872.html

收稿日期：2019-05-23

基金項(xiàng)目：廣東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（ S2013010013034）

作者簡(jiǎn)介：孫艷鵬（1992-），女，廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)槎嘀悄荏w系統(tǒng)分布式一致性;彭世國(guó)（1967-），男，博

士，廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院教授，研究方向?yàn)榉蔷€性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步;陳珂熙（1994-），男，廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院碩士研

究生，研究方向?yàn)槎嘀悄荏w系統(tǒng)異步一致性。