◆俞鐘行/文

《六西格瑪綠帶手冊(cè)》[1]第6章對(duì)一個(gè)全因子設(shè)計(jì)實(shí)例用回歸建模取得最優(yōu)解。本文提出不同的方法，可以獲得更合理、更精確的答案。

1.原例簡(jiǎn)介

為降低加工的平面度，研究3個(gè)因子各2個(gè)水平，又設(shè)0水平，見(jiàn)表1。

實(shí)際做了23+4次試驗(yàn)，具體方案和結(jié)果見(jiàn)表2。

及它們的交互作用AB是顯著的，繼而對(duì)這3項(xiàng)回歸建模，得到回歸方程：

Y=-219.412+0.267A+109.625B-0.116250AB（使用未編碼單位的數(shù)據(jù)）

最后用MINITAB的響應(yīng)優(yōu)化器，得因子最佳組合為A=900、B=2.8，預(yù)測(cè)最佳值y=32.8875。

原例討論說(shuō)：表1中運(yùn)行序8的試驗(yàn)已達(dá)到32.3，為什么預(yù)測(cè)最佳值明顯地比它大？這就還要看運(yùn)行序4的試驗(yàn)結(jié)果為33.5，這兩次試驗(yàn)的條件只差一個(gè)非顯著因子C（傾角），況且（32.3+33.5）/2=32.9，很接近預(yù)測(cè)最佳值。

《六西格瑪綠帶手冊(cè)》的242頁(yè)倒數(shù)第4行起有 一段話：“要注意的是：如果一個(gè)高階項(xiàng)（交互作用或二次項(xiàng)）是顯著的，則此高階項(xiàng)所包含的主因子也必須包含在模型中。例如，二階交互作用BC項(xiàng)顯著，則B及C這兩個(gè)主效應(yīng)也一定要被包含在模型中，即使表面上看這兩個(gè)主效應(yīng)項(xiàng)本身并不顯著?！边@段話對(duì)回歸建模有影響，無(wú)以名之，姑且稱其為“金科玉律”。

2.是否一定要對(duì)因子編碼

3因子2水平是很普通的試驗(yàn)，即使加幾個(gè)中心點(diǎn)也如此。原例用MINITAB軟件作分析，其實(shí)用excel也可以。原例強(qiáng)調(diào)，回歸建模前必須先對(duì)因子編碼，即高水平=1，低水平=-1，0水平=0。試以原例最后得到的回歸方程加以說(shuō)明：其實(shí)編碼不是必須的。若以表3所示的excel電子表格，這里因子并未編碼，用excel“數(shù)據(jù)分析”中“回歸”模塊分析，可得圖1所示結(jié)果。圖中最下表的Coefficients這列，就給出該回歸方程的各項(xiàng)系數(shù)，與前述相同。而且，《六西格瑪綠帶手冊(cè)》第249頁(yè)圖中給出原例的S=1.10997、R-Sq=88.11%、R-Sq=83.66%等值，也與圖1最上表相同。在excel中直接以原始數(shù)據(jù)做回歸分析，顯然是簡(jiǎn)捷可靠的，至少省略了從編碼后獲得的回歸方程再返回到原始數(shù)據(jù)回歸方程的麻煩。

表1 因素水平表

表2 試驗(yàn)方案和結(jié)果

表3 原例最佳方程用excel做回歸分析的界面

3.因子C（傾角）是非顯著因子嗎

對(duì)表2可以用excel畫出因素趨勢(shì)圖如圖2。

各因子的趨勢(shì)圖有顯著的交叉，提示它們之間可能有顯著的交互作用。實(shí)際上以表4所示的excel電子表格界面，用“回歸”分析，可以得到擬合很好的回歸方程，而且因子C是顯著的（圖3）。

從圖3的最上表看，諸如S=1.070933、R-Sq=90.3192%、R-Sq=84.7873%等值都比原例好；最下表的4項(xiàng)因子或交互作用的p值也全都小于0.05。

圖1 原例最佳方程的回歸結(jié)果（直接用原始數(shù)據(jù)）

圖2 因素趨勢(shì)圖（自左向右為A、B和C）

表4 參考圖2的excel電子表格界面

圖3 由表4所得的回歸結(jié)果

若看《六西格瑪綠帶手冊(cè)》的246頁(yè)所示圖，當(dāng)對(duì)原例3個(gè)因子及其2階交互作用進(jìn)行回歸建模時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)誤差S=1.23956，故因子C、交互作用BC都不是顯著的。但在圖3所示情況下，標(biāo)準(zhǔn)誤差S降為1.070933，C和BC成為顯著就不足為奇了。

4.“金科玉律”對(duì)嗎

按照“金科玉律”，圖3所得的回歸方程是不可取的。因?yàn)榇朔匠汤镉?階交互作用BC和AB，卻沒(méi)有主效應(yīng)B。更何況從圖2看，B是最強(qiáng)的因子。

有些人認(rèn)為“金科玉律”來(lái)自“效應(yīng)排序原則”和“效應(yīng)遺傳原則”。“效應(yīng)排序原則”（i）為“低階效應(yīng)應(yīng)比高階效應(yīng)更重要”。根據(jù)這條，似乎可依邏輯推得：2階交互作用沒(méi)有相關(guān)的主效應(yīng)重要，所以既然有2階交互作用，就必須保留相關(guān)的主效應(yīng)，而這就是“金科玉律”所述。但是，這條原則接著解釋：“在因子效應(yīng)的數(shù)目較大而不能全部進(jìn)行估計(jì)時(shí)特別有效，這是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)原則”[2]。應(yīng)當(dāng)說(shuō)現(xiàn)在已有豐富的經(jīng)驗(yàn)證明，像圖3那樣判斷效應(yīng)顯著性是合理與可行的，如“六西格瑪管理”（第二版）例7-7就是。

“效應(yīng)遺傳原則”為“要使一個(gè)交互作用是顯著的，至少它的一個(gè)親本因子應(yīng)該是顯著的”[2]。按這個(gè)原則看，回歸方程里沒(méi)有顯著的主效應(yīng)不一定不允許，這個(gè)原則是針對(duì)交互作用項(xiàng)的。而且用生活常識(shí)作比喻：肉、菜和蘿卜熬成的湯里肉看不見(jiàn)了，但菜、蘿卜和湯里充滿了肉味，這是可以的吧。

總之，應(yīng)當(dāng)認(rèn)為“金科玉律”的要求并不合理，它會(huì)導(dǎo)致回歸建模受到不應(yīng)有的束縛，影響改進(jìn)。有的MINITAB專家說(shuō)明：“MINITAB15以前不能刪除交互作用重要而主效應(yīng)不重要的主效應(yīng)項(xiàng)的，從16版本開(kāi)始就增加了一個(gè)選項(xiàng)，由使用者自行決定刪不刪除這樣的主效應(yīng)項(xiàng)，這一改進(jìn)帶來(lái)了靈活性，方便讀者使用！”還有知情方說(shuō)明：金科玉律“是在用MINITAB的DOE模型構(gòu)建時(shí)所必須的”，如果“采用GLM（廣義線性模型）做的，當(dāng)然不受剛才這句話（指金科玉律）的約束了”。因此，我們應(yīng)當(dāng)呼吁：讓原例也享受采用GLM（廣義線性模型）的待遇，如“六西格瑪管理”（第二版）例7-7所示，否則就有削足適履之謬。

5.對(duì)殘差的正態(tài)性檢驗(yàn)

對(duì)圖3最下表獲得的回歸方程y=74.325+0.258058A+1.301116 BC-3.48915C-0.11281AB，用excel的“規(guī)劃求解”選優(yōu)，得到最佳組合為A=900、B=2.4、C=84，即表2中運(yùn)行序8的試驗(yàn)。此時(shí)預(yù)測(cè)值y=32.12218，比實(shí)測(cè)值32.3還小些，可視作誤差。

那么這個(gè)回歸方程是否真的擬合得很好，除了圖3表明的各項(xiàng)參數(shù)外（包括中間表的Significance F=0.001175、殘差占比=8.028286/82.93=9.68%），下面以W檢驗(yàn)法（又名“夏皮羅-威爾克正態(tài)檢驗(yàn)法”）[3]對(duì)它的殘差作檢驗(yàn)，以增加信心。這個(gè)檢驗(yàn)當(dāng)8<=n<=50時(shí)可以利用，適合本例n=12。表5是殘差計(jì)算表，殘差的平均值=1.0445E-12。

這個(gè)檢驗(yàn)是建立在次序觀測(cè)值的基礎(chǔ)上，將殘差按升序排列，記為x(1),x(2),…x(n),然后計(jì)算：

這里k=n/2=6(n為偶數(shù)時(shí))，系數(shù)ak從文獻(xiàn)[3]查得。S2的計(jì)算見(jiàn)表6。

表5 殘差計(jì)算

表6 S2的計(jì)算表