白鵬翔， 雷 冬， 朱飛鵬

（河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，南京210098）

0 引 言

非接觸測量技術(shù)在工業(yè)科研領(lǐng)域扮演著越來越重要的地位，光學(xué)測量方法是其中極為重要的一種技術(shù)。光學(xué)測量方法包括電子散斑干涉［1］、剪切散斑干涉［2］、全息干涉［3］、云紋干涉［4］等干涉技術(shù)，以其波長量級(jí)的靈敏度可用于微納米級(jí)的測量，也包括數(shù)字圖像相關(guān)［5］、柵線投影［6］、投影散斑［7］等非干涉技術(shù)，以其良好的適應(yīng)性使得測量范圍非常寬泛。

數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)是一種基于數(shù)字圖像處理和數(shù)值計(jì)算的非干涉變形測量方法，與其他測量方法相比，其優(yōu)勢明顯：無需激光照明，無需隔振，對測量環(huán)境要求低，可用于較為惡劣的測量現(xiàn)場；實(shí)驗(yàn)設(shè)備及操作簡單，實(shí)驗(yàn)過程僅需采集變形前后的數(shù)字圖像；與不同的成像設(shè)備相結(jié)合，可以實(shí)現(xiàn)多個(gè)尺度下的變形測量，擁有廣泛的測量范圍。作為一種靈活有效而功能強(qiáng)大的變形測量手段，數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)在工程實(shí)際應(yīng)用中開始顯示其實(shí)用性和優(yōu)越性。

作為光學(xué)測量技術(shù)中適應(yīng)性最強(qiáng)的測量技術(shù)之一，數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)以其非接觸、全場測量、設(shè)備簡單、數(shù)據(jù)處理方便、測量范圍涵蓋了從宏觀到微觀等優(yōu)點(diǎn)被廣泛使用在生物醫(yī)學(xué)、材料科學(xué)、土木交通、工業(yè)檢測等各個(gè)領(lǐng)域中［8-12］，并且擁有廣闊的應(yīng)用前景。雖然擁有各種優(yōu)勢，與電阻應(yīng)變測量技術(shù)相比數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)在測量精度方面卻存在較大的差距［13］，使得其在諸多方面的應(yīng)用存在限制，如對于混凝土等脆性材料在開裂之前階段的測量就具有較大誤差。這種誤差由多種因素造成，包括散斑大小及尺寸［14］、插值誤差［15］、形狀函數(shù)不匹配所造成的誤差［16］等，其中形函數(shù)不匹配所造成的誤差對非均勻變形尤其明顯。

本文針對形狀函數(shù)不匹配所造成的誤差進(jìn)行分析，提出一種簡單易行的方法，不需要對相關(guān)匹配過程進(jìn)行改動(dòng)，最大程度地保留了現(xiàn)有程序的復(fù)用性，只對一階形函數(shù)數(shù)字圖像相關(guān)的位移測量結(jié)果進(jìn)行簡單的后處理，雖不能完全消除由于形狀函數(shù)不匹配所造成的誤差，但能夠在很大程度上減小該誤差，提高了數(shù)字圖像相關(guān)的非均勻位移測量精度。使用基本函數(shù)和模擬數(shù)字圖像對該方法進(jìn)行檢驗(yàn)，證明了該方法的有效性，以及可以作為數(shù)據(jù)處理中提高精度的一步后處理過程。

數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)對于單個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的追蹤所利用的信息并不局限于該點(diǎn)本身，其對于目標(biāo)點(diǎn)的追蹤本質(zhì)上是對于目標(biāo)子區(qū)的追蹤，這樣目標(biāo)子區(qū)中散斑模式信息才能在運(yùn)算中發(fā)揮作用。對于目標(biāo)子區(qū)的比較判斷是基于及數(shù)字圖像相關(guān)中的一個(gè)基本概念——相關(guān)函數(shù)。相關(guān)函數(shù)是用于評(píng)價(jià)子區(qū)相似程度的一個(gè)函數(shù)，有學(xué)者對不同的相關(guān)函數(shù)進(jìn)行比較分析并做出過評(píng)價(jià)，而本文所使用的相關(guān)函數(shù)為歸一化最小平方距離相關(guān)函數(shù)，

式中：f和g分別為參考圖像和變形圖像；fm和gm分別是參考子區(qū)和變形子區(qū)的圖像均值。該相關(guān)函數(shù)對于圖像的整體明暗變化并不明顯，因而對于照明條件并不理想條件下的散斑圖像具有較好的兼容性，圖像質(zhì)量不佳時(shí)也能保證一定的測量精度。

形函數(shù)即位移模式是數(shù)字圖像相關(guān)中用于描述圖像子區(qū)基本變形的典型函數(shù)，是對物體變形的所作的一個(gè)基本假設(shè)。常用的形函數(shù)有一階形函數(shù)和二階形函數(shù)，其中一階形函數(shù)運(yùn)算簡單計(jì)算量小，比較易于實(shí)現(xiàn)；二階形函數(shù)相對復(fù)雜一些，在某些非均勻變形測量場合效果優(yōu)于一階形函數(shù)，但運(yùn)算量比一階形函數(shù)有明顯的增大，因而在一般場合，一階形函數(shù)的使用比二階形函數(shù)相對廣泛一些。

圖1 所示即為一階形函數(shù)的示意圖，用數(shù)學(xué)公式表達(dá)如下：

1 數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)原理

數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)是上世紀(jì)80 年代提出的一種非接觸、全場光學(xué)測量手段。主要是在變形前、后對物體的被測表面拍攝數(shù)字圖像，利用物體表面的自然紋理或人工在表面制造紋理特征作為物體表面信息的載體。對采集到的圖像進(jìn)行數(shù)字圖像處理，當(dāng)物體表面的點(diǎn)發(fā)生位置移動(dòng)時(shí)，其移動(dòng)信息就會(huì)在附近的散斑特征之中有所表現(xiàn)。通過相應(yīng)的算法比較變形前、后物體表面的數(shù)字圖像，對產(chǎn)生位移的點(diǎn)進(jìn)行識(shí)別和追蹤，獲取其位移信息［5］。當(dāng)對圖像上所有目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行追蹤時(shí)，就能夠得到物體表面的位移場信息，通過對位移場信息進(jìn)行差分等運(yùn)算就可以獲得表面的應(yīng)變場信息。

圖1 一階形函數(shù)示意圖

圖像子區(qū)遵循一階變形形式，有6 個(gè)變形參數(shù)，包括2 個(gè)剛體位移參數(shù)和4 個(gè)位移梯度參數(shù)。

值得注意的是，不管是一階還是二階形函數(shù)，都是對物體表面變形所作的基本合理假設(shè)，意味著形函數(shù)都不可能完全表征物體表面的變形形式，只要采用了形函數(shù)，必然會(huì)引入由于形函數(shù)不匹配所造成的誤差。圖1 所示的一階形函數(shù)，除均勻變形之外，物體表面的真實(shí)變形幾乎不可能完全符合式（2）所描述的變形形式。

2 位移精度優(yōu)化方法

2.1 誤差來源分析

在數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)中，關(guān)于形函數(shù)不匹配所造成的誤差，已有學(xué)者對其做出了理論分析［16］，表明對于一階形函數(shù)，位移計(jì)算結(jié)果相當(dāng)于經(jīng)過了一次濾波，該濾波的核如下式所示

式中：h表示濾波的核；M表示圖像計(jì)算子區(qū)的半模板尺寸。即位移計(jì)算結(jié)果等同于真實(shí)位移經(jīng)過了一次均值濾波，而濾波尺寸即為圖像子區(qū)的尺寸。而由于形函數(shù)不匹配所造成的誤差本質(zhì)上是該均值濾波所造成的平均效應(yīng)，均值濾波從信號(hào)處理的角度來說是一種低通濾波器，不可避免會(huì)對位移信號(hào)的高頻造成影響。對于均勻變形或者線性變形來說該濾波理論上不會(huì)造成額外的誤差，反而會(huì)由于其平均效應(yīng)使高頻的隨機(jī)誤差得到一定程度的抑制，這也就是圖像子區(qū)選擇越大導(dǎo)致位移計(jì)算結(jié)果越平滑的原因。而對于非均勻變形來說情況就不同了，雖然隨機(jī)噪聲同樣會(huì)得到抑制，但位移數(shù)據(jù)本身的高頻分量同樣被濾波器濾掉了，只有低頻分量得以保留，造成位移數(shù)據(jù)顯得越來越平緩，峰峰值必然會(huì)減小的情況。即如果能夠存在一種方法對均值濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行恢復(fù)，也就能夠抑制甚至消除位移模式不匹配所造成的誤差了。

如圖2 所示為一個(gè)簡單函數(shù)的演示，原始數(shù)據(jù)為如下式所示的簡單正弦函數(shù)，

圖2 原始數(shù)據(jù)與均值濾波后數(shù)據(jù)比較

經(jīng)過一次均值濾波后的曲線與原曲線的對比，該次濾波窗口尺寸為1?？梢钥吹皆瓟?shù)據(jù)的峰峰值存在明顯減小的情況，理論上正弦函數(shù)的最大值和最小值分別為1 和-1，濾波后上升峰和下降峰的峰值均有所減小，最大值和最小值分別減小到了0.95 和-0.95左右。

另外一個(gè)值得注意的現(xiàn)象是，均值濾波造成的誤差是非均勻的。由圖2 看出，在峰值處誤差較大，在最大值處誤差達(dá)到最大，而在非峰值處誤差較小，某些點(diǎn)甚至不存在誤差，誤差的非均勻性也給誤差的抑制帶來了比較大的困難。

2.2 簡單函數(shù)中的數(shù)據(jù)恢復(fù)

針對均值濾波所造成影響的規(guī)律，注意到如果對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行二次濾波（見圖3），再與原始數(shù)據(jù)和一次濾波數(shù)據(jù)比較，則會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律則與一次濾波所造成的影響相類似，數(shù)據(jù)的峰峰值將進(jìn)一步降低，原誤差較小處的誤差仍然較小，原峰值處的誤差依然保持最大，實(shí)質(zhì)上這也是由原數(shù)據(jù)本身的特性所決定。

圖3 原始數(shù)據(jù)和一次及兩次均值濾波數(shù)據(jù)比較

因此，對兩次均值濾波所造成的誤差進(jìn)行分析，如圖4 所示一次濾波數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)之差為紅色曲線，兩次濾波與一次濾波數(shù)據(jù)之差為綠色曲線。毫無疑問兩次的數(shù)據(jù)之差必然存在一定的差別，然而從圖4 可以看出，兩次的數(shù)據(jù)差之間的區(qū)別并不大，即兩次濾波對于數(shù)據(jù)曲線的平均效應(yīng)是相似的，即一次濾波對原數(shù)據(jù)所造成的誤差，與兩次濾波對一次濾波曲線所造成的誤差，兩者之間有較強(qiáng)的類比性。所以，本文提出以后者作為前者的估計(jì)，即以第2 次濾波對曲線所造成的“削減”作用來估計(jì)或者替代第1 次濾波對曲線所造成的“削減”作用。

圖4 兩次濾波造成的數(shù)據(jù)之差

在實(shí)際操作層面上，原數(shù)據(jù)往往是未知而需要去求解的，能夠獲得的只有一次濾波后的數(shù)據(jù)，即圖3 中的紅色曲線，問題可以歸結(jié)與在一次濾波數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，想辦法獲取原數(shù)據(jù)或原數(shù)據(jù)的估計(jì)，并盡量減小誤差。所以本文提出的方法是：在一次濾波數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行一次均值濾波，以第2 次均值濾波所造成的誤差作為第1 次濾波所造成誤差的估計(jì)，將之疊加到一次濾波數(shù)據(jù)之上，作為原數(shù)據(jù)的估計(jì)，以此盡量減小由于均值濾波對原數(shù)據(jù)所造成的誤差。

按照上述方法對圖3 中數(shù)據(jù)進(jìn)行恢復(fù)結(jié)果（見圖5），包括原數(shù)據(jù)、一次濾波、二次濾波和本方法恢復(fù)的數(shù)據(jù)。原數(shù)據(jù)曲線為黑色，本方法恢復(fù)的數(shù)據(jù)為藍(lán)色，由圖5 局部放大圖可以看出，黑色的原數(shù)據(jù)和藍(lán)色的恢復(fù)數(shù)據(jù)大致重合，且與紅色的一次濾波數(shù)據(jù)截然分開。為了更清晰地表明本方法的效果，將一次濾波數(shù)據(jù)、兩次濾波數(shù)據(jù)、恢復(fù)數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)之差進(jìn)行比較，如圖6 所示?？梢钥闯觯瑑纱螢V波數(shù)據(jù)的誤差大致為一次濾波數(shù)據(jù)的2 倍，而恢復(fù)數(shù)據(jù)的誤差基本在零附近徘徊，雖然并不完全等于0，但已明顯比紅色的一次濾波數(shù)據(jù)誤差曲線小了一個(gè)數(shù)量級(jí)以上。

圖5 原數(shù)據(jù)、一次、兩次濾波、恢復(fù)數(shù)據(jù)對比

圖6 一次、兩次濾波、恢復(fù)數(shù)據(jù)誤差對比

上述是對一種簡單正弦函數(shù)的誤差所作的分析，事實(shí)上本方法使用與各種復(fù)雜連續(xù)函數(shù)，如基本函數(shù)的混合，如下式所示

對該函數(shù)進(jìn)行窗口尺寸為0.7 的均值濾波，并將本方法應(yīng)用到一次均值濾波曲線上，對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行恢復(fù)（見圖7、8）。

圖7 混合函數(shù)的原數(shù)據(jù)、一次濾波和恢復(fù)數(shù)據(jù)

圖8 混合函數(shù)的一次濾波和恢復(fù)數(shù)據(jù)的誤差

2.3 模擬數(shù)字散斑圖中位移數(shù)據(jù)的恢復(fù)

為了驗(yàn)證本方法對于數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)不匹配位移模式造成誤差抑制的有效性，以數(shù)值模擬的方式生成了兩幅散斑圖，如圖9 所示。在兩幅模擬圖像中預(yù)設(shè)了非均勻位移如下式所示：

圖9 模擬數(shù)字散斑圖像

將模擬散斑圖像用數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)運(yùn)算，獲得橫向位移場，如圖10 中紅色曲線所示，將本方法應(yīng)用與所得橫向位移場，得到恢復(fù)出的位移如圖10 中綠色曲線所示。將兩曲線與圖10 中黑色曲線所代表的預(yù)設(shè)位移數(shù)據(jù)比較，看出恢復(fù)的位移數(shù)據(jù)更接近預(yù)設(shè)位移場數(shù)據(jù)。為了更清晰地對結(jié)果進(jìn)行比較，將兩者與預(yù)設(shè)數(shù)據(jù)的誤差繪制曲線，如圖11 所示?？梢钥吹奖痉椒ɑ謴?fù)的位移場誤差數(shù)值明顯較小，可見由于形函數(shù)不匹配所造成的誤差得到了很大程度的抑制。

圖10 模擬圖像位移場的恢復(fù)結(jié)果

圖11 模擬圖像位移場誤差比較

3 結(jié) 語

對數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)中由于形函數(shù)不匹配所造成的誤差進(jìn)行了分析，確定了在一階形函數(shù)下，該誤差與一次均值濾波所造成的誤差等同。發(fā)現(xiàn)了二次均值濾波的平滑效應(yīng)與一次濾波類似，提出了以二次濾波的差值作為一次濾波的插值，用來對原位移數(shù)據(jù)進(jìn)行恢復(fù)的方法。對簡單正弦函數(shù)和混合函數(shù)進(jìn)行了測試，結(jié)果表明該方法能夠較好地對原數(shù)據(jù)進(jìn)行恢復(fù)，誤差減小了一個(gè)數(shù)量級(jí)以上。另外，還以數(shù)值方法生成了模擬散斑圖，對模擬的散斑圖進(jìn)行數(shù)字圖像相關(guān)運(yùn)算，并將本方法應(yīng)用于數(shù)字圖像相關(guān)計(jì)算的位移數(shù)據(jù)，結(jié)果表明由于形函數(shù)不匹配所造成的誤差在很大程度上被抑制了，取得了良好的效果。