郭業(yè)才， 陳 晨， 胡國樂

（1.南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，南京210044；2.江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，南京210044；3.安徽大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，合肥230601）

0 引 言

波束形成作為陣列信號處理中的一個主要方面，廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、通信系統(tǒng)以及醫(yī)學(xué)影像等領(lǐng)域［1-2］，其實質(zhì)是根據(jù)陣列接收信號對各個陣元加權(quán)并進行空域濾波，增強期望信號，抑制干擾信號。標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器是最為經(jīng)典的波束形成算法，但在實際應(yīng)用中，由于陣列接收協(xié)方差矩陣中包含期望信號，算法對導(dǎo)向矢量失配等非常敏感，抗干擾性能受到很大的影響［3］。

近年來，出現(xiàn)了很多穩(wěn)健的波束形成算法。主要有：對角加載算法［4-7］，實現(xiàn)起來較為簡單，但對于不同環(huán)境下最優(yōu)加載量的選擇沒有一個明確的標(biāo)準(zhǔn)；特征空間法［8-10］，利用期望信號導(dǎo)向矢量在信號子空間上的投影來代替期望信號的導(dǎo)向矢量，能減少信號自消現(xiàn)象的出現(xiàn)，但在低信噪比時，由于子空間纏繞（信號子空間與噪聲子空間不滿足正交性），導(dǎo)致性能嚴(yán)重下降；最壞性能優(yōu)化法［11-15］，通過經(jīng)驗將期望信號的導(dǎo)向矢量約束在一個不確定集合中，繼而使干擾加噪聲的輸出功率最小化，但在實際應(yīng)用時，不確定集合的約束參數(shù)往往難以確定，影響算法的性能。之后，文獻(xiàn)［16］中給出了干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)法，該方法通過對期望信號方向以外的范圍空間譜積分以重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，去除期望信號，從而提高了魯棒性，但該方法計算量較大。文獻(xiàn)［17-18］中通過迭代法獲得空間譜以重構(gòu)協(xié)方差矩陣，避免了積分計算和凸優(yōu)化問題求解，提高了導(dǎo)向矢量失配時的輸出性能，但仍然計算量較大。文獻(xiàn)［19-21］中用干擾來波方向的大致范圍代替期望信號方向以外的范圍，并用求和代替積分，大大減少了計算量，但低信噪比時，性能會出現(xiàn)一定程度的下降。

本文提出了一種基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健波束形成算法。該算法首先利用空間譜估計以及陣列接收信號的稀疏性，對期望信號和干擾的大致方位區(qū)間積分估計出導(dǎo)向矢量，然后利用主模式抑制去除信號間由于低快拍數(shù)產(chǎn)生的多余相關(guān)性，以得到新的協(xié)方差矩陣，最后利用新的導(dǎo)向矢量以及重構(gòu)的協(xié)方差矩陣代入標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器得到最優(yōu)權(quán)值。與其他方法相比，在沒有引入復(fù)雜計算量的情況下，在低快拍數(shù)與低信噪比時，本文的方法能取得一定的性能提升。

1 陣列信號模型

考慮一個陣元間距為d 的N 陣元均勻線陣（ULA），假設(shè)一個角度為θ0的期望信號和P -1 個角度分別θi（i ＝1，2，…，P -1）的干擾信號入射到線陣上，各信號均為窄帶信號，陣元噪聲為理想的平穩(wěn)高斯白噪聲。為了確保不過載，信源數(shù)P需小于陣元數(shù)N。經(jīng)采樣，第k個快拍時的陣列接收信號表示為

式中：a（θ0）表示期望信號的導(dǎo)向矢量；a（θi）表示干擾信號的導(dǎo)向矢量；s0（k）和si（k）分別表示第k 個快拍時期望信號與干擾信號的復(fù)包絡(luò)；L表示快拍數(shù)；n（k）表示加性噪聲。

陣列接收信號的協(xié)方差矩陣為

式中：Rs表示期望信號加干擾的協(xié)方差矩陣；σ2n表示噪聲功率；陣列流形a（θP-1）］；陣列接收數(shù)據(jù)表示矩陣轉(zhuǎn)置運算；（·）H表示矩陣共軛轉(zhuǎn)置運算。

陣列接收信號的協(xié)方差矩陣可用有限次快拍數(shù)的采樣數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣來近似，即

波束形成器的輸出為

標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器又稱最小方差無畸變響應(yīng)（Minimum Variance Distortionless Response，MVDR），該方法在已知陣列結(jié)構(gòu)的前提下先估計期望信號的導(dǎo)向矢量（θ0），然后利用最大信干噪比準(zhǔn)則得到最優(yōu)權(quán)值，

在實際應(yīng)用中，由于快拍數(shù)不足，陣列協(xié)方差矩陣中包括期望信號以及期望信號導(dǎo)向矢量估計不準(zhǔn)確等問題的影響，Capon 波束形成器的抗干擾性能會急劇下降，波束方向圖會發(fā)生畸變。

2 基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的波束形成算法

2.1 導(dǎo)向矢量估計

式中：a（θ）是角度為θ 的導(dǎo)向矢量。為了計算出期望信號以及干擾信號的導(dǎo)向矢量，預(yù)先使用一些低復(fù)雜度的方法。例如，由MUSIC算法等獲得期望信號以及干擾信號來波的大致方向，必然會存在角度誤差，但足以推斷出來波方向的范圍。

假設(shè)Θi表示估計的第i 個信源的來波方向范圍（i ＝0，1，…P-1）。由于陣列接收信號在空間范圍內(nèi)具有稀疏性，第i 個信源的空間譜主要分布在其估計方向的鄰域中，在其他方向幾乎沒有，所以第i個信源的協(xié)方差矩陣估計為

式中的積分結(jié)果難以直接獲得。為了減少計算量，將積分轉(zhuǎn)化為求和。將積分區(qū)域Θi等間隔劃分為K點，則求和式為

對協(xié)方差矩陣進行特征分解，得：

式中：λij代表Ci分解后的特征值，按從大到小的順序排列；uij代表與之對應(yīng)的特征矢量。根據(jù)子空間理論，協(xié)方差矩陣特征分解后，大特征值對應(yīng)的特征矢量張成的信號子空間包含了信號的導(dǎo)向矢量。所以取Ci特征分解后最大特征值對應(yīng)的特征矢量作為導(dǎo)向矢量，同時結(jié)合理想情況下導(dǎo)向矢量的范數(shù)限制則第i個信源的導(dǎo)向矢量估計為

顯然，在Θi范圍內(nèi)包含來波方向的前提下，當(dāng)Θi的范圍越小時，冗余信息越少，得到的協(xié)方差矩陣誤差越小。

2.2 干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)

在重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣之前，利用主模式抑制去除信號間由于快拍數(shù)不足所產(chǎn)生的相關(guān)性［22］，由式（2）得：

式（11）為超定方程組，Rs為未知量，利用偽逆求得其最小二乘解為

式中：A的偽逆為A＋＝（AHA）-1AH；Rs為期望信號加干擾的協(xié)方差矩陣，當(dāng)信號間沒有相關(guān)性時，Rs應(yīng)當(dāng)只有主對角線上有元素，這些元素代表著信號功率。但是，由于快拍數(shù)限制，信號間可能會產(chǎn)生多余的相關(guān)性，這些因素都會導(dǎo)致波束形成器的抗干擾性能下降。舍棄Rs主對角線以外的元素得到新的對角陣Rd即可去除信號間的相干性。

3 仿真與性能分析

為了驗證本文算法的性能，進行仿真實驗研究，并與對角加載算法、最差性能最優(yōu)法、文獻(xiàn)［16］以及文獻(xiàn)［19］的算法進行比較。每次實驗進行100 次蒙特卡羅仿真?？紤]一個陣元數(shù)為10 的均勻線陣，陣元間距為半波長。遠(yuǎn)場窄帶信號源包括一個期望信號和兩個干擾信號，期望信號與干擾之間統(tǒng)計無關(guān)，陣元噪聲為復(fù)高斯白噪聲。期望信號的真實來波方向為3°，估計來波方向為0，角度區(qū)域Θ0＝［0-5°，0＋5°］；兩個干擾信號的真實來波方向分別為-20°和40°；估計來波方向為1和2，角度區(qū)域分別為：Θ1＝［1-5°，角度區(qū)域的采樣點數(shù)K根據(jù)區(qū)間內(nèi)每0.1°劃分一個采樣點來設(shè)置。兩個干擾信號的干噪比（Interference to Noise Ratio，INR）均為30 dB。其中，對角加載算法的加載量取噪聲功率的10 倍，最差性能最優(yōu)法的參數(shù)設(shè)置參見文獻(xiàn)［10］。

3.1 無誤時性能仿真

考慮無導(dǎo)向矢量失配以及陣列結(jié)構(gòu)都準(zhǔn)確已知，即信號真實來波方向與估計來波方向一致時，本文算法的輸出性能。圖1（a）為快拍數(shù)L ＝30 時，算法輸出信干噪比（Signal to Interference plus Noise Ratio，SINR）隨輸入信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）的變化曲線。圖1（b）為輸入SNR ＝20 dB 時，算法輸出SINR隨快拍數(shù)L的變化曲線。

圖1 無誤差時性能

圖1 表明，在不存在誤差時，本文算法與文獻(xiàn)［19］中理論最優(yōu)值幾乎完全一致，對角加載與最差性能最優(yōu)法在高SNR時性能都會有所下降，但隨著快拍數(shù)增加，會有一定程度的提升，而在動態(tài)調(diào)節(jié)各種SNR 情況下的對角加載量仍然可以獲得較好的輸出性能。但是在低快拍數(shù)時，對角加載與最差性能最優(yōu)法的性能嚴(yán)重下降，這是由于小特征值擾動以及信號之間會產(chǎn)生多余的相關(guān)性引起的。

3.2 存在導(dǎo)向矢量失配時穩(wěn)健性能仿真

考慮在導(dǎo)向矢量分別出現(xiàn)小角度（3°）和大角度（8°）失配誤差時，本文算法的輸出性能。導(dǎo)向矢量出現(xiàn)3°誤差時，期望信號的估計來波方向0設(shè)定為6°，干擾的估計來波方向1和2設(shè)定為-23°和43°。圖2（a）和圖2（b）分別為出現(xiàn)3°失配時，算法輸出SINR隨輸入SNR和快拍數(shù)L 的變化曲線。導(dǎo)向矢量出現(xiàn)8°誤差時，期望信號的估計來波方向θ＾0設(shè)定為11°，角度區(qū)域Θ0改為［0-10°，0＋10°］。圖3（a）和圖3（b）分別為出現(xiàn)8°失配時，算法輸出SINR隨輸入SNR和快拍數(shù)L的變化曲線。

圖2 和圖3 表明，隨著導(dǎo)向矢量失配程度的增大，各算法的輸出性能都會有不同程度的下降。由于文獻(xiàn)［16、19］中的算法使用了協(xié)方差矩陣重構(gòu)法去除了陣列接收協(xié)方差矩陣中的期望信號，所以在高信噪比時不會受到太大的影響。在低信噪比時，本文算法輸出SINR與文獻(xiàn)［16］接近，都優(yōu)于其他算法。在高信噪比時，本文算法性能又比文獻(xiàn)［16］好。總體而言，本文算法在出現(xiàn)導(dǎo)向矢量失配時優(yōu)于其他算法。

圖2 導(dǎo)向矢量3°失配時穩(wěn)健性能

圖3 導(dǎo)向矢量8°失配時穩(wěn)健性能

3.3 同時存在導(dǎo)向矢量失配和相干局部散射時穩(wěn)健性能仿真

考慮同時出現(xiàn)導(dǎo)向矢量3°失配誤差和相干局部散射時，本文算法的輸出性能，假設(shè)出現(xiàn)相干局部散射時的導(dǎo)向矢量表示為

其中：a0為直達(dá)信號的導(dǎo)向矢量；a（θn）表示從θn方向入射的相干散射信號；φn是直達(dá)信號與相干散射信號之間相位差。相干散射信號的入射方向服從均值為0°，標(biāo)準(zhǔn)差為2°的高斯隨機分布，相位差φn服從［0，2π］間的均勻分布。圖4（a）和圖4（b）分別為同時存在導(dǎo)向矢量失配和相干局部散射時時，算法輸出SINR隨輸入SNR和快拍數(shù)L的變化曲線。

圖4 表明，基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法的性能仍然優(yōu)于其他算法，本文的算法性能總體仍是最優(yōu)的，此時對角加載算法的性能也獲得了提升，應(yīng)該是對角加載量剛好符合要求。此外，在低快拍數(shù)時，本文算法由于去除了信號間多余的相干性，輸出SINR 高于其他算法，進一步提高了算法的穩(wěn)健性能。

4 結(jié) 語

本文提出了一種基于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健波束形成算法。該算法利用空間譜積分估計出期望信號以及干擾的導(dǎo)向矢量，通過主模式抑制去除了信號間多余的相干性，并對協(xié)方差矩陣進行重構(gòu)，最終得到自適應(yīng)波束形成的最優(yōu)權(quán)值。仿真實驗表明，在存在期望信號導(dǎo)向矢量失配誤差和局部相干散射時，本算法都具有更好的穩(wěn)健性，在不同輸入SNR、不同快拍數(shù)時，輸出SINR更接近理論最優(yōu)值。

圖4 同時存在失配和非相干局部散射時穩(wěn)健性能