林大超，杜景峰，劉海波，吳強(qiáng)杰

(華北科技學(xué)院 建筑工程學(xué)院，北京 東燕郊 065201)

0 引言

Mohr-Coulomb(M-C)準(zhǔn)則以其簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)形式和明確的物理意義描述了外力作用下材料破壞的強(qiáng)度關(guān)系。它在許多研究工作和工程技術(shù)問(wèn)題中得到廣泛應(yīng)用[1]，所涉及到的對(duì)象包括巖土介質(zhì)[2-6]、混凝土[7-9]、金屬材料[10-12]和金屬玻璃材料[13，14]，甚至于生物材料[15，16]。然而，M-C準(zhǔn)則在理論上的一般性以及強(qiáng)度預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性仍存在著某些爭(zhēng)議[17]。如何深入理解這個(gè)準(zhǔn)則依然是當(dāng)前研究工作值得關(guān)注的一個(gè)基本問(wèn)題。

M-C準(zhǔn)則的發(fā)展可以追溯到Coulomb在1773年所完成的工作[18]。他認(rèn)為材料剪切破壞強(qiáng)度滿足破壞面上法向應(yīng)力的線性關(guān)系。上世紀(jì)初，Mohr應(yīng)用極限狀態(tài)下應(yīng)力圓包絡(luò)線的線性近似，成功地解釋了這一關(guān)系的正確性[19]，同時(shí)開啟了M-C準(zhǔn)則應(yīng)用推廣的發(fā)展時(shí)代。

迄今，M-C準(zhǔn)則已經(jīng)得到了相當(dāng)普遍的認(rèn)可，但在某些情況下也發(fā)現(xiàn)理論與試驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果存在著明顯的差異，由此引起的質(zhì)疑仍是一個(gè)無(wú)法回避的話題[17]。問(wèn)題的焦點(diǎn)主要集中在三個(gè)方面：一是準(zhǔn)則的線性描述過(guò)于簡(jiǎn)單，無(wú)法反映材料破壞變形的非線性效應(yīng)[20]；二是準(zhǔn)則沒(méi)有考慮中間主應(yīng)力的影響，不符合試驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果所反映的事實(shí)[21]；三是準(zhǔn)則的空間描述存在不光滑的棱角，不便于數(shù)值模擬計(jì)算的實(shí)施[22]。圍繞Mohr極限應(yīng)力圓包絡(luò)線的改進(jìn)，采用不同極限應(yīng)力破壞面函數(shù)或參數(shù)形式構(gòu)造新的準(zhǔn)則，以克服這些不足，成為了近年來(lái)十分重要的探索方向[20-27]。對(duì)于給定的材料，相關(guān)研究確實(shí)呈現(xiàn)了與觀測(cè)數(shù)據(jù)更為吻合的理論結(jié)果。但出于模型描述的需要，它們也建議了新的材料參數(shù)。在大多數(shù)情況下，這些參數(shù)的物理意義并不是十分明確，使得新的理論關(guān)系喪失了原始M-C準(zhǔn)則所具有的一般性和良好的推廣能力。

Mohr極限應(yīng)力圓包絡(luò)線的概念很好地詮釋了不同應(yīng)力狀態(tài)與破壞發(fā)生臨界條件的聯(lián)系，但它無(wú)法解釋破壞現(xiàn)象發(fā)展過(guò)程的物理特征。其實(shí)，M-C準(zhǔn)則具有與其關(guān)聯(lián)的力學(xué)模型。該模型表明，材料的破壞源于內(nèi)部的剪切滑動(dòng)，滑動(dòng)啟動(dòng)的力平衡條件確定了破壞發(fā)生的臨界狀態(tài)。當(dāng)法向應(yīng)力所引起滑動(dòng)阻力滿足材料性質(zhì)相關(guān)的線性關(guān)系時(shí)，這個(gè)臨界條件恰好對(duì)應(yīng)于M-C準(zhǔn)則?？傻贸觯@其中存在一個(gè)尚未引起普遍關(guān)注的基本問(wèn)題，即破壞滑動(dòng)面位向該如何得到確定[28]。M-C準(zhǔn)則將其假設(shè)為一個(gè)材料常數(shù)，即內(nèi)摩擦角。顯然，該假定并不符合壓縮破壞時(shí)破壞位向壓力相關(guān)的試驗(yàn)結(jié)果[29]。力平衡條件本身無(wú)法回答這個(gè)問(wèn)題。它表明從新的視角認(rèn)識(shí)M-C準(zhǔn)則的必要性。

在物理概念上，破壞的能量解釋應(yīng)該具有更強(qiáng)的說(shuō)服力[30]。遺憾的是，能量描述的應(yīng)用實(shí)踐[31-33]還沒(méi)有獲得突破性的發(fā)現(xiàn)。

本文立足M-C準(zhǔn)則相關(guān)聯(lián)的力學(xué)模型，給出了破壞面上一點(diǎn)的破壞能函數(shù)。依據(jù)其極值條件，確定了破壞發(fā)生的位向和破壞能的大小。在此基礎(chǔ)上，利用破壞能與裂紋表面能的守恒關(guān)系，給出了壓縮條件下M-C準(zhǔn)則模型能量描述所對(duì)應(yīng)的臨界破壞條件。在平面壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，它的主應(yīng)力坐標(biāo)描述與M-C準(zhǔn)則具有完全一致的函數(shù)形式。在側(cè)限壓縮條件下，體積應(yīng)變飽和近似給出它與M-C準(zhǔn)則的明確聯(lián)系。

1 M-C準(zhǔn)則及其力學(xué)模型

M-C準(zhǔn)則可以用Mohr極限應(yīng)力圓直觀地圖解表示，如圖1(a)所示。圖1中的直線AL給出了不同應(yīng)力狀態(tài)下Mohr極限應(yīng)力圓包絡(luò)線的線性近似，確定了材料破壞強(qiáng)度的臨界條件。強(qiáng)度曲線AL與σ軸的夾角為φ，定義了材料的內(nèi)摩擦角。強(qiáng)度曲線AL與τ軸的截距為c，定義了材料的粘結(jié)(內(nèi)聚)力。它與最大主應(yīng)力分量σ1和最小主應(yīng)力分量σ3所確定的應(yīng)力圓相切于D點(diǎn)。該點(diǎn)的應(yīng)力給出了材料的極限平衡狀態(tài)，可以表示為

τ=c+σtanφ

(1)

另一方面，在平面應(yīng)力分量σ1和σ3作用下(僅考慮壓縮狀態(tài)，并取壓應(yīng)力為正)，可以給出一點(diǎn)極限應(yīng)力狀態(tài)圖示，如圖1(b)所示。圖中，與水平方向呈仰角θ的斜面表示了破壞面。該仰角θ又稱為破斷角，它是斷裂角的余角，與內(nèi)摩擦角φ之間具有如下關(guān)系

2θ=90°+φ

(2)

在圖1(b)中，τ和σ分別為破壞面上的切應(yīng)力和正應(yīng)力分量。當(dāng)材料的純剪破壞抗力為c，且正應(yīng)力σ所引起破壞面的滑動(dòng)阻力滿足線性關(guān)系時(shí)，破壞滑動(dòng)方向的力平衡條件恰好給出式(1)。因此，圖1(b)表示了M-C準(zhǔn)則相關(guān)聯(lián)的力學(xué)模型。

圖1 M-C準(zhǔn)則的圖示描述

然而，圖1(b)的力學(xué)模型本身無(wú)法確定破壞面的方位。雖然這個(gè)問(wèn)題由式(2)得到解決，但卻留下了一些值得思考之處。首先，直線AL是極限應(yīng)力圓包絡(luò)線的近似，表明真實(shí)的內(nèi)摩擦角φ不可能是一個(gè)恒定的材料常數(shù)。其次，極限應(yīng)力圓包絡(luò)線的直線近似可能使切點(diǎn)D略為偏離真實(shí)的極限平衡狀態(tài)，因此，根據(jù)式(2)從摩擦角φ得到的破斷角θ并不代表破壞面的真實(shí)位向。此外，調(diào)整極限應(yīng)力圓包絡(luò)線的函數(shù)形式(相當(dāng)于將內(nèi)摩擦角視為可變的材料參數(shù))，可以獲得與試驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)更為吻合的描述結(jié)果，但是目前仍不清楚理論上的最佳包絡(luò)線應(yīng)該滿足哪些基本要求。

2 破壞能函數(shù)與破壞能

當(dāng)材料以斷裂或開裂形式發(fā)生破壞時(shí)，裂紋的表面能直觀反映了破壞所需能量。該能量來(lái)源于外力作用下材料內(nèi)部?jī)?chǔ)存的彈性應(yīng)變能。對(duì)應(yīng)于圖1(b)所示力學(xué)模型，剪切變形驅(qū)動(dòng)了剪切破壞運(yùn)動(dòng)。因此，切應(yīng)力τ關(guān)于彈性切應(yīng)變?chǔ)盟鶅?chǔ)存的應(yīng)變能eτ確定了破壞面上一點(diǎn)材料破壞的驅(qū)動(dòng)能。在該點(diǎn)，體積變形均勻分布于各個(gè)方向。沿破壞面切向，它提供了疊加于剪切滑動(dòng)的變形成分，但正反向運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性使其無(wú)法通過(guò)切應(yīng)力的作用儲(chǔ)存能量。沿破壞面法向，它保持著與正應(yīng)力σ一致的作用方向，使正應(yīng)力σ關(guān)于體積應(yīng)變?chǔ)臯儲(chǔ)存彈性應(yīng)變能eV。這部分能量以體積應(yīng)變?yōu)檩d體，影響到破壞面的剪切運(yùn)動(dòng)，屬于材料破壞的影響能。由此可見，驅(qū)動(dòng)能eτ和影響能eV共同構(gòu)成了一點(diǎn)處材料破壞的總能量。

若材料破壞卸載的剪切彈性模量為μ，破壞面上一點(diǎn)的彈性切應(yīng)變?chǔ)每梢员硎緸?/p>

γ=τ/μ

(3)

因此，破壞面上一點(diǎn)的剪切彈性應(yīng)變能，即驅(qū)動(dòng)能eτ為

eτ=τ2/(2μ)

(4)

若材料的體積割線彈性模量為K，破壞面上一點(diǎn)的體積應(yīng)變?chǔ)臯可以用該點(diǎn)的體積應(yīng)力σV表示為

εV=σV/(3K)

(5)

破壞發(fā)生時(shí)，破壞面上的作用力隨之卸除。由于壓縮應(yīng)力σ對(duì)破壞具有抑制作用，因此，它所提供的彈性應(yīng)變能為負(fù)。此外，體積變形在兩個(gè)破裂面上同時(shí)恢復(fù)(或者說(shuō)在兩個(gè)相對(duì)方向上與正應(yīng)力同時(shí)發(fā)生作用)，因而正應(yīng)力σ相關(guān)的影響能eV應(yīng)為

eV=-σVσ/(3K)

(6)

驅(qū)動(dòng)能和影響能之和給出了破壞面上一點(diǎn)處材料的破壞能e為

e=eτ+eV=τ2/(2μ)-σVσ/(3K)

(7)

在導(dǎo)出這個(gè)方程時(shí)，必須預(yù)先設(shè)定破壞面，因此，破壞能e是破壞面位向的函數(shù)。

為了確定破壞面的真實(shí)位向，不妨將問(wèn)題置于主應(yīng)力分量σ1、σ2和σ3(σ1≥σ2≥σ3)構(gòu)成的應(yīng)力空間中。假定破壞面的外法線方向余弦為{l1，l2，l3}，切應(yīng)力τ可以表示為

(8)

正應(yīng)力σ為

(9)

考慮到限制條件

(10)

式(8)和(9)的切應(yīng)力和正應(yīng)力表述關(guān)系可以改寫為

(11)

(12)

將式(11)和(12)代入式(7)，有

(13)

式中，參數(shù)k定義為

k=μ/(3K)

(14)

真實(shí)的破壞面應(yīng)使破壞能函數(shù)e取得最大值，它要求

?e/?l1=?e/?l2=0

(15)

由此得到方程組

(16)

(17)

注意到l1≠0，可以給出這個(gè)方程組的解為

(18)

它給出了破壞面的位向，從理論上消解了確定剪切破壞滑動(dòng)方向的困惑。

將式(18)代入式(13)得到破壞能函數(shù)e的最大值為

(19)

它給出了導(dǎo)致材料破壞發(fā)生的真實(shí)破壞能。

3 壓縮破壞的臨界條件

若材料的單位表面能為γs，破壞形成兩個(gè)裂紋面的總表面能應(yīng)為2γs。根據(jù)能量守恒原理，破壞發(fā)生時(shí)，破壞能轉(zhuǎn)化為破壞面的表面能，因此，有臨界能量條件

(20)

在純剪應(yīng)力狀態(tài)下，有σV=0。由式(18)知，此時(shí)的破壞面與最大剪應(yīng)力面重合。若材料純剪破壞強(qiáng)度為τ0，由式(20)可以得到

(21)

它表明材料的表面能可以借助其純剪破壞強(qiáng)度得到確定。將式(21)代回式(20)，整理后，有

(22)

方程(22)給出了壓縮條件下M-C準(zhǔn)則模型能量描述對(duì)應(yīng)的臨界破壞條件。與原始的M-C準(zhǔn)則類似，它是一個(gè)包含兩個(gè)材料參數(shù)的強(qiáng)度關(guān)系。不同的是，能量描述結(jié)果不再是一個(gè)線性關(guān)系，并通過(guò)體積應(yīng)力反映了中間主應(yīng)力對(duì)強(qiáng)度的影響。參數(shù)τ0是材料的純剪破壞強(qiáng)度，與M-C準(zhǔn)則關(guān)系(1)中粘結(jié)力c完全一致，有τ0=c。參數(shù)k由式(14)所定義，它與材料剪切彈性模量μ和體積模量K的比值相關(guān)。

對(duì)于均勻各向同性材料，在完全彈性變形狀態(tài)下，剪切模量和體積模量滿足關(guān)系

μ=(E/2)/(1+ν)

(23)

K=(E/3)/(1-2ν)

(24)

式中，E為材料的楊氏模量，ν是材料的泊松比。將上述式(23)和(24)代入式(14)，可得

k=0.5(1-2ν)/(1+ν)

(25)

當(dāng)材料的泊松比在0到0.5之間變化時(shí)，參數(shù)k具有與之相同的變化范圍。

在大多數(shù)情況下，剪切彈性模量μ隨應(yīng)力狀態(tài)的變化不是十分顯著，可以近似為一常數(shù)。相對(duì)而言，體積模量的變化更為復(fù)雜一些。當(dāng)壓力較小時(shí)，體積變形具有近似線性關(guān)系。但是，隨壓力增大，體積變形的變化速率迅速降低，呈現(xiàn)逐漸飽和的趨勢(shì)。若以單軸壓縮破壞作為參考狀態(tài)，不妨將這種變化近似為

εV=(σC/3K0)(σV/σC)m

(26)

式中，K0是單軸壓縮破壞時(shí)的體積模量，m是體積變形非線性特征指數(shù)。如圖2所示，當(dāng)m取 0時(shí)，體積應(yīng)變?yōu)槌?shù)，對(duì)應(yīng)于體積應(yīng)變飽和狀態(tài)。當(dāng)m取 1時(shí)，體積變形一直保持著壓力的線性關(guān)系，體積模量為常數(shù)。更為一般地，體積變形在線性發(fā)展與飽和狀態(tài)之間變化。應(yīng)用單軸壓縮的體積應(yīng)變曲線，考慮到描述非線性特征的需要，對(duì)方程(26)進(jìn)行擬合，易于計(jì)算確定體積變形非線性特征指數(shù)m。

圖2 體積—應(yīng)變曲線的簡(jiǎn)化描述

對(duì)比式(5)和(26)，有

K=K0(σV/σC)1-m

(27)

當(dāng)剪切彈性模量為常數(shù)時(shí)，由參數(shù)k的定義式(14)，得到

k=k0(σC/σV)1-m

(28)

式中，k0為單軸壓縮破壞時(shí)參數(shù)k的取值。

4 分析與討論

4.1 單軸壓縮強(qiáng)度

單軸壓縮時(shí)，有σ2=σ3=0及σV=σ1，式(22)簡(jiǎn)化為

(1-2k)σ1=2τ0

(29)

若將單軸壓縮強(qiáng)度記為σC，參數(shù)k記為k0，考慮到τ0=c，可以得到

σC=2τ0/(1-2k0)=2c/(1-2k0)

(30)

在σ1-σ3坐標(biāo)中，M-C準(zhǔn)則給出的單軸壓縮強(qiáng)度σC為[1，34]

σC=2ccosφ/(1-sinφ)

(31)

要使上述兩個(gè)表述形式的單軸壓縮強(qiáng)度σC保持一致，須有

k0=0.5[1-(1-sinφ)/cosφ]

(32)

由此可見，若將參數(shù)k作常數(shù)近似，可以從M-C準(zhǔn)則的兩個(gè)材料參數(shù)c和φ確定其能量表述關(guān)系中的兩個(gè)基本參數(shù)τ0和k0。

單軸壓縮試驗(yàn)不僅可以確定材料的壓縮強(qiáng)度σC，也可以測(cè)定破斷角θ。破斷角的余弦給出了式(18)第一式中的l1。注意到單軸壓縮的應(yīng)力狀態(tài)特征，從該式易于得到

k0=0.5-cos2θ

(33)

它給出一種由試驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果對(duì)參數(shù)k0進(jìn)行估計(jì)的方法。

4.2 兩向壓縮強(qiáng)度

兩向壓縮時(shí)，若σ1和σ3分別表示兩個(gè)壓縮主應(yīng)力，按應(yīng)力大小排序，作代換{σ1→σ1，σ2→σ3，σ3→σ2=0}后，式(22)簡(jiǎn)化為

(1-2k)σ1-2kσ3=2τ0

(34)

將參數(shù)k近似為常數(shù)k0，考慮到式(30)，得到

σ1=σC+2k0/(1-2k0)σ3

(35)

在σ1-σ3坐標(biāo)中，M-C準(zhǔn)則可以表示為[1，34]

σ1=σC+(1+sinφ)/(1-sinφ)σ3

(36)

對(duì)比得到，式(35)和(36)具有完全一致的數(shù)學(xué)描述形式，但二者關(guān)于應(yīng)力分量σ3的系數(shù)完全不同。如果常數(shù)k0由式(32)所確定，式(35)中應(yīng)力分量σ3相關(guān)項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)為

2k0/(1-2k0)=[(1+sinφ)-(2-cosφ)]/(1-sinφ)

(37)

它明顯小于M-C準(zhǔn)則式(36)所給出的相關(guān)系數(shù)值。

由于內(nèi)摩擦角在0到90°之間變化，式(36)中應(yīng)力分量σ3的系數(shù)恒大于1。它表明：在兩向壓縮時(shí)，隨σ3增大，σ1單調(diào)增加，材料不會(huì)發(fā)生兩向等壓破壞。事實(shí)上，鑄鐵[35]和混凝土[36]兩向壓縮試驗(yàn)結(jié)果均表明，當(dāng)σ3較小時(shí)，σ1隨σ3的增大而增大。一旦σ3增大到某個(gè)定值時(shí)，σ1將隨σ3的增大逐漸降低，直到出現(xiàn)兩向等壓破壞?？傻贸?，當(dāng)k0<0.25時(shí)，式(35)以線性近似形式反映了試驗(yàn)觀測(cè)到的這種變化規(guī)律。當(dāng)k0>0.25時(shí)，式(35)中σ3的系數(shù)大于1，給出了與M-C準(zhǔn)則一致的變化性態(tài)。由此可見，M-C準(zhǔn)則模型的能量描述相比原始的M-C準(zhǔn)則具有更好的試驗(yàn)現(xiàn)象解釋能力。

若將式(28)中的特征指數(shù)m取為0，并代入式(34)，考慮到σV=σ1+σ3和式(30)，可以得到，兩向壓縮時(shí)材料的破壞強(qiáng)度是一個(gè)等于單軸壓縮強(qiáng)度σC的常數(shù)。它給出了脆性材料最為簡(jiǎn)單的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚37]關(guān)于兩向壓縮強(qiáng)度的描述結(jié)果。這個(gè)結(jié)果顯示了能量描述用于兩向壓縮破壞強(qiáng)度定量分析的適用性。

4.3 側(cè)限壓縮強(qiáng)度

側(cè)限壓縮時(shí)，側(cè)限壓力滿足條件σ2=σ3。此時(shí)，材料所受到的壓力較大，有必要考慮到體積模量的變化。為分析方便起見，參數(shù)k依然采用體積應(yīng)變飽和近似，即將式(28)中的特征指數(shù)m取為0并代入式(22)，得到

(38)

[(σ1-σ3)/σC]2=1-4k0+4k0(σ1+σ3)/σC

(39)

圖3給出了由上述關(guān)系計(jì)算得到的理論強(qiáng)度曲線。在這里，體積應(yīng)變飽和假設(shè)高估了體積模量的增大速率，使得參數(shù)k較其真實(shí)情況明顯偏小。對(duì)照式(22)可以看出，式(39)的計(jì)算結(jié)果低估了壓縮強(qiáng)度隨側(cè)限壓力增加的增大量。它表明圖3所給理論強(qiáng)度應(yīng)比真實(shí)值偏低。

圖3 側(cè)限壓縮的理論強(qiáng)度曲線

當(dāng)4k0|1-(σ1+σ3)/σC|?1時(shí)，式(39)可以作如下近似

(40)

它可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

σ1≈σC+(1+2k0)/(1-2k0)σ3

(41)

與M-C準(zhǔn)則式(36)對(duì)比可見，二者具有相同的函數(shù)形式。特別地，當(dāng)k0取 sinφ/2時(shí)，它們完全一致。

在體積應(yīng)變假設(shè)條件下，由式(28)知，k=k0σ0/σV，式(18)的第一式給出軸向應(yīng)力與破壞面法線方向夾角(與破斷角θ相等)的余弦l1為

(42)

巖石三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果表明[38]，側(cè)限壓力σ3的增加使壓縮破壞強(qiáng)度σ1大幅度增加。因此，隨σ3的增大，σ1-σ3增大，使得l1增大。由此可見，破斷角θ將隨σ3的增大而逐漸減小。這個(gè)推論與試驗(yàn)觀測(cè)現(xiàn)象完全吻合[29]。它表明通過(guò)能量描述所確定破壞面位向的正確性。

4.4 直剪強(qiáng)度

當(dāng)剪切面上的切向應(yīng)力和法向應(yīng)力分別為τ和σ時(shí)，直剪破壞能可以由式(7)確定。破壞的臨界能量條件表明，該破壞能應(yīng)等于破壞面的表面能?？紤]到σV=σ，由式(7)和(21)，得

(43)

利用式(30)，將上式改寫為

(44)

將式(28)代入，得

(45)

它給出了直剪強(qiáng)度τ隨法向壓力σ的變化關(guān)系。

取k0=0.38，m=0.18以及k0=0.43，m=0.35，通過(guò)式(45)計(jì)算得到如圖4所示的兩條理論直剪強(qiáng)度曲線。與無(wú)初始裂紋和有初始裂紋混凝土試樣的試驗(yàn)數(shù)據(jù)[39]對(duì)比可見，能量描述給出了與試驗(yàn)數(shù)據(jù)基本一致的理論結(jié)果。但這兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的M-C準(zhǔn)則擬合結(jié)果在σ<0.15σC時(shí)的誤差明顯偏大[39]。

圖4 混凝土直剪理論與試驗(yàn)強(qiáng)度對(duì)比

4.5 真三軸壓縮強(qiáng)度

將式(28)代入式(22)，得

(46)

(47)

由此得到了真三軸壓縮時(shí)的破壞強(qiáng)度關(guān)系。

為了驗(yàn)證強(qiáng)度關(guān)系(47)的三軸壓縮強(qiáng)度預(yù)測(cè)能力，這里選擇Westerly花崗巖作為分析對(duì)象。試驗(yàn)結(jié)果表明[40]，Westerly花崗巖的單軸抗壓強(qiáng)度σC為201 MPa，破斷角θ為75°。由式(33)計(jì)算得到，參數(shù)k0為0.433。根據(jù)Westerly花崗巖單軸壓縮軸向應(yīng)力-體積應(yīng)變曲線[41]，取其開始達(dá)到最大壓縮應(yīng)變一半至達(dá)到最大應(yīng)變的一段，用方程(26)作線性擬合，計(jì)算出參數(shù)m為 0.59。將上述參數(shù)代入式(47)，計(jì)算得到Westerly花崗巖三軸壓縮強(qiáng)度理論預(yù)測(cè)結(jié)果，如圖5所示。

圖5 Westerly花崗巖破壞強(qiáng)度的理論與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

圖5的理論預(yù)測(cè)結(jié)果同時(shí)包含了平面壓縮(σ3=0)、側(cè)限壓縮(σ2=σ3)和真三軸壓縮三種情況。與離散點(diǎn)所示試驗(yàn)結(jié)果[40]對(duì)比可見，當(dāng)側(cè)限壓力較高時(shí)，理論預(yù)測(cè)結(jié)果很好地再現(xiàn)了試驗(yàn)觀測(cè)到的強(qiáng)度變化規(guī)律。理論與試驗(yàn)結(jié)果相對(duì)百分誤差絕對(duì)值的平均值為6.4%，最大值為20.8%，有8個(gè)點(diǎn)的誤差超過(guò)10%，其余均小于10%。事實(shí)上，這組試驗(yàn)數(shù)據(jù)關(guān)于Cristensen準(zhǔn)則和Hoek-Brown經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)則的研究表明[42]，只有數(shù)據(jù)擬合才能達(dá)到這里理論預(yù)測(cè)的吻合程度。它顯示了M-C準(zhǔn)則模型的能量描述良好的理論強(qiáng)度預(yù)測(cè)能力。但當(dāng)側(cè)限壓力較低時(shí)，理論破壞強(qiáng)度隨中間主應(yīng)力變化仍存在著較大的偏差。它與參數(shù)k不夠準(zhǔn)確的模型化描述有關(guān)。此外，在式(47)中，壓縮破壞強(qiáng)度作為體積應(yīng)力的組成部分，既不便于直觀分析，也使求解計(jì)算比較麻煩。這些都是有待進(jìn)一步探討的問(wèn)題。

5 結(jié)論

(1) M-C準(zhǔn)則可以用Mohr極限應(yīng)力圓包絡(luò)線進(jìn)行解釋，也可以看作為極限條件下破壞面上的力平衡描述。但它們都難以準(zhǔn)確回答破壞面如何確定以及破壞位向的壓力相關(guān)性這兩個(gè)基本問(wèn)題。本文以M-C準(zhǔn)則的力學(xué)模型為基礎(chǔ)，通過(guò)能量描述，探索了一種可行的解決方法。

(2) 在破壞面上一點(diǎn)處，切應(yīng)力所確定的剪切彈性應(yīng)變能以及正應(yīng)力關(guān)于體積應(yīng)變所儲(chǔ)存的彈性應(yīng)變能共同構(gòu)成了破壞發(fā)生的能量成分。它的極值條件從理論上明確了壓縮破壞面位向的確定方法，并給出了該位向所對(duì)應(yīng)的破壞能。

(3) 破壞發(fā)生時(shí)，破壞能轉(zhuǎn)化為破壞面的表面能。這兩種能量之間的守恒關(guān)系給出了破壞的臨界能量條件。在純剪破壞時(shí)，通過(guò)該能量條件可以得到裂紋表面能的剪切強(qiáng)度描述關(guān)系，并進(jìn)一步建立壓縮條件下M-C準(zhǔn)則模型能量描述的強(qiáng)度關(guān)系。

(4) 在平面壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，能量描述結(jié)果與M-C準(zhǔn)則的主應(yīng)力坐標(biāo)描述具有完全一致的函數(shù)形式。在側(cè)限壓縮條件下，體積應(yīng)變飽和近似的分析結(jié)果明確了這個(gè)關(guān)系與M-C準(zhǔn)則的聯(lián)系。M-C準(zhǔn)則模型的能量描述通過(guò)體積應(yīng)力的引入考慮到中間主應(yīng)力對(duì)破壞強(qiáng)度的影響。與經(jīng)典的M-C準(zhǔn)則相比，它表現(xiàn)出更強(qiáng)的試驗(yàn)現(xiàn)象解釋能力。試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比分析表明，從能量描述獲得的強(qiáng)度關(guān)系具有更為突出的材料破壞強(qiáng)度理論預(yù)測(cè)能力。